摘 要我國是世界上滑坡災害最為嚴重的國家之一。滑坡災害往往會造成嚴重的經濟損失，威脅人民生命安全。據統計，我國有70多個城市，460多個縣收到滑坡災害的威脅及危害，每年平均至少造成15億23億元的經濟損失，由于近年來自然災害增多，滑坡也相應增加。如果我們能夠知道滑坡發生的時間，積極采取應對措施，就可以將滑坡危害降到最低，減少不必要的人員傷亡和經濟損失。因此對滑坡時間進行預測預報研究具有十分重要的意義。本文基于以上目的，針對滑坡預測預報中存在的問題進行時間預測預報研究。本文主要通過對小波理論和灰色模型的介紹和研究，將小波降噪和灰色模型應用于滑坡時間預測預報。主要研究內容如下：（1）對滑坡時間預測預報及其發展趨勢做了簡單的介紹。介紹了滑坡監測技術和滑坡預測模型。（2）時間預測預報之前需要對觀測的位移時間數據進行處理，去除噪聲，以提高預測精度。本文選用小波的方法對滑坡觀測的位移數據進行去噪處理。在此之前介紹了小波理論，小波函數和小波閾值的選取規則。后面通過選用不同的閾值來對滑坡數據進行降噪處理，并利用信噪比來比較降噪效果。（3）簡單介紹灰色系統模型，利用matlab編寫相應的程序。并利用灰色模型對已經降噪處理的數據進行時間預測，并分析結果。（4）把小波閾值降噪方法和灰色模型應用到新灘滑坡，對觀測數據進行降噪處理并預測時間，并將結果與真實值進行對比分析。關鍵詞：滑坡 小波分析 小波閾值 灰色模型 降噪 時間預測AbstractChina is one of the countries which have the most serious landslide calamity in the world。Landslide calamity can always cause serious economic losses, which threatens the safety of peoples life.According to the statistics, about 70 cities and 460 counties in our country have been threatened and damaged by the landslide hazard. As a result, the economic usually suffers from a loss between at least 1.5 billion and 2.3 billion every year. As the natural disasters increase recently, the landslides also increase accordingly.If we know that the landslide occurred at certain time and take actions, then the landslide hazard can be reduced at most, besides we can reduce unnecessary casualties and economic losses.Consequently, research of forecasting Landslide-time is significant.Based on the purpose above, in this paper, for the problems in the prediction of landslide, we will make a detailed research. According to the introduction and study of wavelet theory and Grey model, wavelet noise reduction and Grey model can be applied to landslide prediction.The main research contents are as follows:（1）A succinct introduction of the landslide-time prediction and development tendency, including the landslide monitoring technology and landslide prediction model.（2）Before theTime prediction, In order to improve prediction accuracy, it is necessary to process observed displacement time data and remove noise. In this paper, the technique of wavelet is applied to remove the noise in the observed landslide displacement data.Wavelet theory, wavelet function and the selection rules of wavelet threshold are proposed before, Then conduct noise reduction for landslide data by different threshold values, besides, through the signal to noise ratio to compare the result of noise reduction.（3）Proposing Grey model succinctly, programming by MATLAB and using Grey model to estimate the time of the noise reductive data, then analyzing the results.（4）Apply the noise reduction method for wavelet threshold and Grey model to the new beach landslide, conduct noise reduction for the observed data and estimate the time, then compare the results to the true value.Keyword: Landslide;wavelet analysis;wavelet threshold;Grey model;wavelet denosing ;Time prediction目 錄第一章 緒論11.1 論文的研究背景11. 2滑坡災害時間預測預報及其發展趨勢21.3 滑坡預測預報研究目的和意義41.4論文的主要內容5第二章 滑坡監測技術與預測模型62.1 滑坡監測技術62.2 滑坡預報模型6第三章 小波理論83.1小波變換83.2 小波變換原理與分類93.2.1 小波變換原理93.2.2 小波變換分類93.3 多分辨率分析133.4 Mallat算法153.4.1 Mallat算法綜述153.4.2 Mallat分解算法163.4.3 Mallat合成算法173.5 常用的小波函數183.6 小波變換用于信號降噪的原理223.6.1 基本降噪模型與原理223.7 非線性小波變換閾值法253.7.1 算法實現253.7.2 閾值的選取263.8 小波降噪效果評價指標28第四章 滑坡監測灰色模型304.1 灰色系統介紹304.2 滑坡監測數據的生成314.2.1 累加生成(AGO)324.2.2 累減生成（IAGO）334.2.3 均值生成344.2.4 級比生成344.3 滑坡監測灰色建模方法354.3.1 灰色模型的一般形式（GM(n,h)）354.3.2 GM(1.1)模型364.4 GM(1,1)模型的精度檢驗394.4.1 相對誤差檢驗法394.4.2 后驗差檢驗法394.4.3 關聯度檢驗法41第五章 小波降噪與灰色模型預測的實例分析425.1 新灘滑坡簡介425.1.1 滑坡復活的地質環境425.1.2 新灘滑坡的基本特征425.2 小波數據處理435.2.1 小波閾值法降噪445.2.2 去噪結果分析495.3 灰色預測預報505.3.1 滑坡灰色模型預測505.3.2 時間預測結果分析52結論與展望53參考文獻54致謝5759長安大學碩士論文第一章 緒論1.1 論文的研究背景滑坡是斜坡上的巖土體沿某一界面發生剪切破壞向坡下運動的現象（DB 50/1432003，地質災害防治工程勘察規范）。是一種突發的而且具有嚴重危害的地質災害。由于滑坡發生的頻率較大、范圍比較廣，其災害性已經非常嚴重，是僅次于地震的地質災害。滑坡多發生在山區，我國是一個多山的國家，山區面積占到全國陸地面積的69%，因而我國也是滑坡災害極為頻繁、損失程度極大的國家。在過去的二十多年，我國相繼發生了一系列重大的滑坡災害，1998年，全國共發生滑坡、崩塌和泥石流達18萬處，較大規模的有447處，造成1157人死亡，1萬多人受傷，50多萬間房屋被毀壞，經濟損失270億元人民幣；二零零年6-7月，陜西省南部的安康等地連續受到5次特大暴雨襲擊，誘發了規模不等的滑坡、崩塌、泥石流等災害超過4000處，造成213人死亡，并使多處橋梁、路基被毀，5條國、省干線公路和49條縣鄉級公路中斷，襄渝鐵路中斷行車達7天之久1。在國外，滑坡災害一樣嚴重而且廣泛。1938年加拿大Montagneuse河谷發生m的歷史大滑坡，堵塞河流形成1.5長的水庫，至1952年被湖相沉積填滿，1988年才潰決；1952年冬天美國洛杉磯滑坡造成750萬美元的損失；1963年意大利瓦伊昂水庫發生體積約為m的大滑坡，致使當時世界上最高的雙曲拱壩失效，涌浪奪去了該壩下游2600多人的生命。1970年，秘魯因地震引起的Huascaran山區的一起山崩，造成18000人死亡。1977年瑞典維塔滑坡， 150多間房屋收到破壞或重創，9人死亡，直接經濟損失約為1 5000萬瑞典克朗；1999年10月，因大雨墨西哥普遍引發滑坡，造成死亡、失蹤約600人，20多萬人無家可歸。事實上，許多國家、地區，如日本的新潟縣及其臨縣，英國的南威爾士，俄羅斯的高加索與黑海沿岸，美國加州、新澤西、德克薩斯，肯尼亞的中部地區，法國南部阿爾卑斯，意大利中部等，均為滑坡多發地區或曾經報道過大型滑坡災害32 34。通過上面的敘述可以發現，滑坡災害危害非常大，如果我們可以預先知道其發生的地點、時間、強度和影響，就可以預先進行防范，減少損失，因此對滑坡災害預測預報進行深入、系統的研究是十分必要的，該研究具有重要的學術價值和實用意義。20世紀60年代滑坡預測預報研究是才開始發展起來，現在已經成為滑坡研究中的一個熱門課題。因為滑坡問題比較復雜，現在滑坡時間預測預報還是一個世界性的科學難題。在滑坡研究領域，國內外專家學者已取得了一些成績，也有預報成功的例子，如長江三峽的新灘滑坡等。但這些成功預報大多是通過監測工作實現的。但是并沒有完全解決該用怎樣的理論，建立何種理論模型對滑坡進行預測的問題。甚至我們不知道是否有這個模型，是否能夠對崩塌、滑坡進行有效的時間預報，還是一個處于探索研究中的問題33。從日本學者齋藤迪孝(M. Satio)提出的滑坡時間預報經驗公式至今四十多年的研究歷史，可以把滑坡預測預報研究歷史劃分為四個階段2：1、現象、經驗預測預報階段(20世紀60-70年代)60年代日本學者齋藤迪孝(M. Satio)提出一個預報滑坡的經驗公式及圖解，即著名的“齋藤法”。根據1969年智利Chuquicamata礦滑坡監測時間-位移曲線Hoek(1977)，提出了與齋藤類似的外延線預測預報法。F.O.Jones（1961）、P.C.Stevenson（1977）、T.H.Nilsen,et al.(1970)、E.Fussganger(1976)、G.Guidicini（1976）等先后對滑坡預報的統計學或經驗法方法進行研究。2、統計、灰色預測預報階段(20世紀80年代) 應用統計數學理論建立滑坡變形參數和時間之間相互關系來進行滑坡預測預報，其主要有回歸預測模型、時間序列分析預測模型及灰色系統模型等三大類。3、非線性理論預測預報階段(20世紀90年代)這一階段的特點有多種預報方法的綜合研究與應用；廣泛的現代數理科學新理論應用于滑坡預報理論研究；滑坡預報的技術手段得到前所未有的發展。4、系統綜合和實時跟蹤動態預測預報階段(20世紀90年代末期-至今)。1. 2滑坡災害時間預測預報及其發展趨勢滑坡的時間預測預報分為三個階段，即長期，短期，臨滑三個階段32：1、長期預報 滑坡災害長期預報是以某地區或某一滑坡對象在今后可能活躍的年份范圍為預測目標，其結果是近似的。長期預測需要的資料有：歷史滑坡及其活動性材料、易滑坡地區的地質情況。例如:一些地方的區域性滑坡災害大部分情況與特殊的氣象情況有聯系。大區域的滑坡活動很多時候是由長時間下雨與特大暴雨引發的。因此，通過研究滑坡災害活動與氣候情況之間的關系，了解滑坡旋回周期和氣候變化周期之間的對應關系對滑坡災害長期時間預測是有很大的作用。另外，地震也很容易產生新的滑坡并會使老滑坡復活，通過地震活動與區域構造應力場的周期性與規律性的特點，可以大概預測沿活動構造帶的滑坡活動性的特點，然而這是趨勢性的、超長周期的預測。自然界許多的大型滑坡，特別是一些千萬方的特大型滑坡，不單單和外界條件有關，很大程度上是受地質條件與內動力因素影響，這種滑坡的發生、發展和演化具有自身演化的旋回周期性。因此研究這些滑坡災害活動的歷史對研究滑坡長期預測預報有很大的意義。2、短期預報 滑坡短期時間預報是指依據滑坡影響因素對滑坡作用的強度與隨時間的變化規律，在掌握滑坡動態發展趨勢的基礎上，分析推斷滑坡短時間內的演化情況，預測可能發生滑坡的時間，一般是預測的月份。該預測的兩個重要途徑為:滑坡自身運動的內在規律和活動性趨勢分析。滑坡活動性觸發因素的規律性與滑坡活動性之間關系的研究途徑。3、臨滑預測預報 滑坡災害臨滑預測與預報是不盡相同的，滑坡時間預測不僅是一個科學問題，而且是一個實際問題，臨滑預報還有管理上的特征。但是滑坡時間臨滑預測與預報又是一體的。滑坡預測正確的例子顯示，只有持續的監測滑坡才能夠避免滑坡的發生。但是實際上，我們不可能不間斷的去監測所有對我們有危害的滑坡，因為我們沒有足夠資本。因此，從這個方面來說，我們無法避免滑坡造成的損失，但是如果我們能夠在滑坡發生前能夠通過滑坡的一些信息預測出滑坡發生的具體時間，就可以減輕滑坡造成的危害。滑坡研究初期，日本學者日本學者齋藤迪孝(M. Satio)研究認為土質類滑坡運動分為三個階段：初始蠕變階段，等速蠕變階段，加速位移階段。我們可以利用第三階段的滑坡位移監測數據根據曲線圖解法對滑坡進行臨滑預報。但是，我們并不知道是不是所有的滑坡都適合這個規律。因此，滑坡時間臨滑預測預報需要不間斷的位移監測數據，而且觀測數據必須有好的精度，數據也應該足夠多。只有這樣，才能更準確的預測時間。另外，開展位移場以外的物理監測，如摩擦熱、聲發射等監測，也是擴大臨滑預測預報的重要途徑。目前滑坡預測預報已經取得了巨大的成就。但是因為一些不可控制的，隨即的因素影響，滑坡時間預測預報現在仍然是一個世界性的難題，很難準確的預報滑坡發生的時間。現在絕大部分的滑坡都不可能做到發生前進行預報，主要是因為以下兩方面的原因：一是由于造成滑坡災害的因素非常復雜，有眾多的不確定因素，滑坡的本身破壞方式，變形機制與變形過程多種多樣。主要造成我們很難準確預報滑坡。另外，由于受到各種條件的限制，絕大部分的滑坡都沒有進行長時間的監測，也沒有采取防治措施，因此造成很大部分滑坡突然發生。還有部分人覺得滑坡時間預測非常難，而滑坡空間預測比較簡單，因此導致滑坡時間預測的研究被忽視。以上都是現階段我們國家滑坡預測中存在的問題。近三十多年來，國內外專家學者對滑坡的研究做了大量的工作，獲得了一定的成果，但是現有的研究成果還是難以實現滑坡災害的滑動時間，活動強度，危害程度等方面進行全面，快速，準確的預報，因此防災決策部門對滑坡預報有進一步更高的要求。目前對于滑坡災害時間預測預報還處在初級階段，需要有更大的發展。普遍適用性和外推適應性程度低是現在已經有的滑坡時間預測預報理論和方法存在的主要問題。因而在以后的滑坡時間預測預報的研究中將會向以下幾個方面發展：(1)滑坡動態變形的系統監測和綜合參數預測預報模型研究。(2)基于非線性科學理論的滑坡時間預測預報技術研究。 (3)人類工程活動與滑坡活動之間的相互作用關系研究。 (4)滑坡動態變形過程中地表水和地下水的作用機理研究。(5)滑坡變形破壞作用機理研究。 (6)滑坡時間預測預報的組合預測模型研究。 (7)滑坡變形破壞的計算機仿真模擬預測研究。(8)新理論新方法在滑坡預測預報工作中的應用研究。1.3 滑坡預測預報研究目的和意義滑坡災害與土地資源利用、能源開發、建筑物穩定性、環境保護、生命與財產保障等具有密切的關系。滑坡預測預報，不管是空間預測預報、時間預測預報，還是災情損失預測預報，都是工程地質和環境地質研究領域內的世界難題，開展滑坡災害預測預報的目的可概括為以下幾點：(1)為重大國民經濟建設的規劃提供宏觀災害的預防，減災和避災的科學依據。 (2)為具體建筑物和建設場地的布置，選擇無滑坡且不易形成新的滑坡的地段，使得工程能夠正常進行。 (3)預測滑坡防治的必要性和可能的措施，預測不加固斜坡而使用建筑場地的可能性。 (4)及時預報滑坡災害活動和工程或建筑物的危險位移量，以此來預測滑坡發生的時間，避免滑坡產生大位移所造成的危害。減少或防止人員傷亡和經濟損失。 (5)為滑坡多發危害性大的地區制定相關政策法規提供科學的理論依據。確定相關的防治措施。1.4論文的主要內容近年來，小波理論在地球科學領路得到了廣泛的應用，滑坡過程是一個復雜的過程，我們如果能夠利用小波理論來對滑坡預測預報進行研究，將有利于我們了解滑坡過程的本質。本文將采用小波理論和灰色模型結合的方式來對滑坡數據進行處理預測預報。我們知道小波在信號處理方面已經有很好的成績，特別是在信號去噪方面，所以我們將利用小波分析的信號降噪的方法來對滑坡體位移監測曲線進行降噪處理，在此基礎上再利用灰色預測模型來預測滑坡發生的時間。本文的主要內容有下面幾個方面：1、滑坡監測技術與預報的模型介紹。2、小波理論與灰色理論介紹。3、利用小波理論在滑坡時間預測預報前對滑坡體位移時間曲線的降噪。小波降噪的閾值選取規則，通過選取不同閾值來對滑坡時間位移曲線進行處理并通過信噪比來比較結果的優劣。4、建立灰色模型，并把小波降噪后的數據代入到灰色模型中，以新灘滑坡為例進行時間預測預報輸出預測預報結果。第二章 滑坡監測技術與預測模型2.1 滑坡監測技術 從不同監測方法獲得的觀測量的屬性來看，監測內容可以分為四大類：變形監測分為地表變形監測和深部位移監測。地表變形監測以常規測量為主要監測技術（如大地測量、GPS測量等），滑坡體位移監測是滑坡體最直觀的信息。地下水監測主要監測地下水位（或地下水壓力）、孔隙水壓力和地下水水質等。應力應變監測主要監測地應力以及地應力變化引起的巖土聲發射現象、邊坡錨固后的錨桿和錨索的應力應變等。誘發因素監測主要監測氣象、地震、人類工程活動等30。滑坡體地表變形監測一般采用常規大地測量方法、全球定位系統（GPS）方法、測量機器人技術、三維激光掃描技術、地面數字攝影測量方法、遙感（RS）方法等。滑坡體深部位移監測主要通過對埋設在地質鉆孔中的測斜管、多點位移計、滑動變形計以及埋設在豎井和平硐中的伸縮儀等儀器設備的變位情況來獲取資料。另外還有滑坡地下水觀測，巖石邊坡聲發射監測，邊坡錨固力監測，地溫和地應力監測和誘發因素大氣降雨、氣溫、相關人類活動監測和宏觀地質巡查等。滑坡監測剖面可以分為重要監測剖面和一般監測剖面。滑坡監測剖面的選擇應該結合地質結構、成因機制、變形特征，監測點則布置在滑動面的兩側或者滑動面的上下盤面上，并分析該剖面上全部監測點的功能并予以綜合，建立該剖面在水平方向和豎直方向上代表滑坡體的變形塊體范圍及其組合。滑坡變形監測網和監測點應分為滿足不同的布設及要求。其他專用監測儀器，如伸縮儀、測縫計、水平位錯計、液體靜力水準儀等，根據勘探平硐、豎井所在位置，適量布設在滑動面兩側或上下。邊坡錨固監測應依據規范和設計要求按一定比例安裝監測儀器進行錨固力變化觀測。滑坡監測的監測網點、水準點、基巖標埋設以及多點位移計埋設安裝等，必須滿足相關規范和設計的要求。用于滑坡監測的各類儀器設備必須經過檢定合格后才可以使用。針對不同的監測儀器設備，原始數據采集可以分別設計為人工采集、半自動采集、自動采集三種方式來完成。2.2 滑坡預報模型滑坡預測預報研究的核心和關鍵問題就是建立一種與滑坡體相適應，能夠準確預報，操作性強的預測預報模型。國內外許多的專家學者經過一段時間的研究，從不同的角度提出了各種各樣的預報模型。綜合目前國內外已有的預報方法可以分為以下三類。1.確定性預報模型確定性預報模型是把與滑坡以及環境有關的各類參數用測定的量予以數值化，并利用明確的函數來表達其數學關系。該模型的預測反映了滑坡的物理性質，更適合于斜坡或者山體滑坡單體的預測。確定性方法有齋藤迪孝方法、有限元，邊界元，離散元，耦合方法，還有極限平衡分析法。最先發展起來的齋藤迪孝方法和與它相關的一些方法預測的精度不高，計算的時間也屬于大概的時間，并不準確，這些方法適合滑坡中短期、臨滑預報。有限元，邊界元，離散元的運用可以模擬分析滑坡穩定性以及滑坡位移變化，因此來對滑坡進行預報。考慮滑坡各種影響因素的極限分析法具有物理概念清晰，計算也很簡單的特點，這種方法適合滑坡長期預報。2.非確定性預報模型非確定性預報模型主要的重點是對已經存在的滑坡和與其相關的外界因素，地質環境條件進行調查，掌握這些統計規律，并不注重滑坡機理嚴格的數學表達。非確定性模型比較適合區域性的土地的利用和國土開發規劃。建立在因果分析和統計分析基礎上的各種預報模型都可以歸屬此類。例如移動平均法、灰色模型、指數平滑、非線性預測模型、時間序列分析預測模型、回歸分析法、趨勢疊加法、生長曲線法、卡爾曼濾波法、動態跟蹤法等多種方法。這些模型和滑坡觀測的數據有關系，只要滑坡觀測的位移數據足夠多，分布規律就能夠很好的進行滑坡預測預報。非確定性模型適用于滑坡中短期預報。3.工程地質類比模型 工程地質類比模型是比較被測對象近似的參照對象，類比推理被測對象以后的發展情況，是介于確定性模型與非確定性模型之間的一種方法。一些直觀的評判方法、黃金分割法、綜合信息預報模型以及力學圖解法都屬于此種模型。黃金分割法簡單適用，精度也高，多適用于滑坡的中長期預報。綜合信息預報模型適用于臨滑預報，可以識別滑坡所處的變形階段，便于現場操作。力學圖解法可用做滑坡的判據，并能判定滑坡的破壞型式。模糊評判法、神經網絡法也可以歸入此類。第三章 小波理論3.1小波變換為了克服短時傅里葉變換的單一分辨率缺陷，發展了小波變換。小波變換是一種工具，它把數據、函數或算子分割成不同頻率的成分，然后再用分解的方法去研究對應尺度下的成分。小波變換繼承并發展了短時傅里葉變換的局部化思想，并且克服了其窗口大小與形狀固定不變的缺點。它不但可以同時從時頻域觀測信號的局部特征，而且時間分辨率和頻率分辨率都是可以變化的，是非常好的信號處理方法。由于小波變換分析時、頻局域化的卓越效果而譽滿全球，因此它成為分析非平穩信號的重要工具。因此，小波變換成為信號處理、信息獲取與處理等多領域首選的數學分析工具，在國內外形成一次又一次的研究高潮。它與分形理論、神經網絡聯合互補，對當今自然科學產生巨大的沖擊力和推動作用67。1981年，法國物理學家Morlet在分析地質數據時基于群論首先提出了小波變換這一概念。1985年，法國數學家Meyer首先提出光滑的小波正交基，后被稱為Meyer基，對小波理論做出了巨大貢獻。1988年，數學家Daubechies提出了具有緊支集的光滑正交小波基Daubechies基，為小波應用研究增添了催化劑。后來，信號分析專家Mallat提出了多分辨分析的概念，給出了構造正交小波基的一般方法。Mallat受金字塔算法的啟發，以多分辨分析為基礎提出了著名的快速小波算法Mallat算法，這是小波理論突破性的成果，Mallat算法的提出，宣告了小波從理論研究走向寬廣的應用研究8。小波變換是傅里葉變換發展史上的里程碑式的進展910111213。它是一種信號的時間尺度（時間頻率）分析方法，它具有多分辨分析（Multiresolution Analysis）的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小（即窗口面積）固定不變，而其形狀是可以改變的。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率與較低的時間分辨率，而在高頻部分具有較高的時間分辨率與較低的頻率分辨率，被譽為“數學顯微鏡”，它能根據觀察的對象自動“調焦”，對信號進行多尺度細化分析，以取得令人滿意的最佳效果；正是這種特性，使小波變換具有對信號的“自適應性”，它能根據被分析的對象自動調整有關參數，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態反常現象并展示其成分，可見利用連續小波變換進行動態系統故障檢測與診斷具有良好的效果。3.2 小波變換原理與分類3.2.1 小波變換原理小波變換從誕生開始，已經有了幾種改型，其中常見的三種形式如下。（1） 經典的小波變換。 （3.1）式中，基本小波滿足允許條件和非零條件。（2） 改正的小波變換。 （3.2）（3） 進一步改正的小波變換。 （3.3）式中，即為經典小波變換式（3.1）；即為改正的小波變換式（3.2）。3.2.2 小波變換分類小波變換有很多種形式，所有形式都來源于基本公式。有連續小波變換和離散小波變換兩種。在離散小波變換中我們進一步做如下定義：有冗余的離散系統（框架）和正交小波基及其他小波基。3.2.2.1 連續小波變換一維信號的連續小波變換，就是利用一個小波函數將信號變換到時間尺度域上。它的時頻局部化是變化的，在高頻處時間分辨率高，低頻處時間分辨率低。其定義如下：設（其中代表平方可積的實數空間，即能量有限的信號空間），它的傅里葉變換是，則當滿足下面的條件： （3.4）時，則是一母小波或基本小波。把經伸縮、平移就得到一個小波序列： （3.5）式中，代表伸縮因子；代表平移因子。對于任意函數，其連續小波變換定義為： （3.6）小波變換的逆變換（重構公式）為： （3.7）因為在小波變換中起著觀測窗的作用，所以還應該滿足一般函數的約束條件： （3.8）故是R中的一個連續函數。為了使重構公式成立，在原點必定為零，即： （3.9）由式（3.9）可以發現小波函數必然具有振蕩性。為了使信號重構的實現在數值上是穩定的，不僅要完全重構條件外，還需要小波的傅里葉變換滿足以下的穩定性條件： （3.10）從穩定性條件出發，可以定義一個對偶小波： （3.11）連續小波變換具有如下性質：（1）線性性：各個分量的小波變換之和與一個多分量信號的小波變換相等。設，則 （3.12）（2）平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為 （3.13）（3）伸縮共變性：若的小波變換為，則的小波變換為 （3.14）式中，。（4）自相似性：相對于不同的平移參數和不同的尺度參數的連續小波變換之間是自相似的。（5）冗余性：連續小波變換中存在信息表述的冗余度（redundancy）。盡管冗余可以提高信號重建時計算的穩定性，但是它增加了小波變換的計算時間和分析、解釋小波變換結果的困難。小波變換的冗余性事實上也是自相似性的直接反映，它主要表現在以下兩個方面：（1）由連續小波變換恢復原信號的重構分式不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構不存在一一對應關系。（2）小波變換的核函數即小波函數存在許多可能的選擇，它們可以是非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關的。3.2.2.2 離散小波變換如果在每個可能的尺度下都去計算小波系數，計算量將相當大，會產生驚人的數據量。在實際應用過程中，特別是在計算機上實現的時候，連續小波必須加以離散化。這一離散化只是針對連續的尺度參數和連續平移參數的，而不是針對時間變量的。連續小波變換中小波函數的定義為式（3.5），在離散化時，通常總限制只取正值，令，可見在離散小波變換中，相容性條件為 （3.15）一般最常用的辦法就是將尺度參數和平移參數分別令，。對應的離散小波函數： （3.16）對應的離散小波系數為 （3.17）其重構公式為 （3.18）式中，是一個與信號無關的常數。為了使小波變換具有可變化的時間分辨率與頻率分辨率，適應待分析信號的非平穩性，通常需要改變尺度參數和平移參數的大小，使得小波變換具有“變焦距”的功能。在實際應用中主要采用二進制動態采樣網絡。經這種離散化后的小波和相應小波變換，稱之為二進小波（Dyadic Wavelet）和二進小波變換。此時，取，。式（3.16）變為 （3.19）二進小波對信號的分析具有變焦距的功能。如果有一個放大倍數為，它對應的為觀測到信號的某部分內容。二進小波不同于連續小波的離散化，它只是對尺度參數進行離散化，而對時間域上的平移參數保持連續變化。二進小波不破壞信號在時間域上的平移不變量，這也正是二進小波和正交小波基相比所具有的獨特的優點。設函數，假設存在兩個常數、，且使得穩定性條件幾乎全部滿足，即 （3.20）則為一個二進小波。若，則稱為最穩定條件。而函數序列叫做的二進小波變換，其中 （3.21） 式（3-21）對應的逆變換為 （3.22）3.3 多分辨率分析多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis，簡稱MRA）的概念是1988年S.Mallat在構造正交小波基時，將計算機視覺領域內的多分辨率思想率先引入小波變換，在空間的概念上形象地說明了小波變換的多分辨特性，并使用多分辨分析將此前Meyer等提出的各種具體小波基的構造法統一起來，在Burt and Adelson圖像分解和重構的塔式算法的啟發下，基于它的多分辨框架，提出了塔式多分辨率分解與重構算法7，給出了正交小波的構造方法以及正交小波的快速算法Mallat快速小波分解和重構算法81415。對于多分辨率分析的理解，可以用一個三層的分解進行說明，其小波分解樹如圖3.1所示。SA1D1A2D2D3A3 圖3.1 三層多分辨分析樹結構圖 上圖中，A表示低頻，D表示高頻，末尾的序號數表示小波分解的層數（也即尺度數）。從圖上可以看出，多分辨分析僅僅是對低頻的部分進行進一步分解，而不予以考慮高頻的部分。信號S的分解關系式為：。需要強調的是，這里僅僅是用一個層分解來進行說明的，如果要進行進一步的分解，則可以把低頻部分A3分解成低頻部分A4和高頻部分D4，如繼續再分解，則以此類推。多分辨分析的最終目的是為了構造一個在頻率上高度逼近L2(R)空間的正交小波基（或正交小波包基），這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。從三層多分辨分析樹型結構圖3.1可以看出，多分辨分析只對低頻空間部分進行進一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。 空間L2(R)中的多分辨率分析是指L2(R)中滿足如下條件的一個空間序列： (3.23)且有 (3.24) (3.25) (3.26)即空間序列中的每一個空間均為空間序列中心V0的尺度變換。多分辨分析的另一重要特性：空間V0在整數平移下的不變性，即 (3.27)上式蘊涵：若，則，有。另外，我們常常要求存在函數，使 是V0上的一個規范正交基 (3.28)其中，規定對于，。由此，式（3.26）和式（3.28）蘊涵：，是Vj上的一個規范正交基。我們通常稱為多分辨分析的“尺度函數”。多分辨分析的基本思想是：當一組閉子空間滿足式（3.23）式（3.28）時，存在一個一個上的規范正交基，其中。對于，有 （3.29）（為上的正交投影）。而且小波有顯式的構造公式。 對于，定義為在上的正交補空間，于是有 （3.30）及 （3.31）（事實上，假設，則）。于是，當時，有 （3.32）其中，全部所有的子空間都是正交的。根據式（3.24）和式（3.25），有 （3.33）上式將分解為一系列相互正交的子空間，而且空間繼承了尺度特性，即 (3.34)式（3.29）可等價地表達為：對于固定的，構成了上的一組規范正交基。再根據式（3.33）和式（3.34）可知：整個小波族是上的一個規范正交基。3.4 Mallat算法81415Mallat算法在小波變換里占據非常重要的地位，相當于傅里葉變換中的快速傅里葉算法。Mallat在1987年提出了多分辨分析的概念，通過將計算機的多尺度分析思想引入到小波分析中而提出的，統一了在此之前的所有具體正交小波基的構造，并且提出了相應的分解和重構的快速算法，即Mallat算法。3.4.1 Mallat算法綜述多分辨分析是構造正交小波基的有力工具，下面從多分辨分析出發，我們可以得到正交小波變換和反變換的快速算法。設是中的正交小波基，則對于任意信號，有下面的無窮級數展開式： （3.35）由于一般的不具有初等解析表達式，直接用公式求展開系數非常不方便。取任意的，設為空間到空間的正交投影算子，為空間到空間的正交投影算子，則有： （3.36）其中，小波系數實際上就是離散二進網格上的小波變換，這樣的多分辨分析和小波分析就聯系起來了。由得到：，即下面的式子成立： （3.37）3.4.2 Mallat分解算法Mallat分解算法是計算尺度系數和小波系數的算法，為了簡化分析，假設、都是實函數，在數學推導過程中忽略積分式中的復共軛。由二尺度方程得到： （3.38）從而有： （3.39）同理可以推出： （3.40）上面式（3.39）和（3.40）就是Mallat算法的分解公式。當時，充分逼近，因此，任取，可以取充分小的，使得。由于是一個雙向無限的空間帶，在數學上為方便起見，我們可以認為，則有下面的分解關系。空間上的分解關系為： （3.41）信號上的分解關系為（）： （3.42）Mallat算法的分解過程可以用一個金字塔逐次分解的圖來表示，令，系數的塔式分解圖如下圖3.2所示：C0DnD3D1C1CnCn-1C2D2圖3.2 Mallat算法塔式分解圖3.4.3 Mallat合成算法Mallat合成算法就是根據圖3.2中的系數Cn、Dn、D2 、D1推導出C0。由上面的推導得到： （3.43）將上式兩邊同時與作內積得： （3.44）即為： （3.45）還因為： （3.46） （3.47）將式（3.46）和式（3.47）帶入（3.45）于是得到Mallat算法的合成公式： （3.48）3.5 常用的小波函數1、Haar小波函數81516Haar小波函數是在小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數，A.Haar于1990年提出的一種正交函數系。Haar小波的構造過程為：給出尺度函數： （3.49）計算： （3.50）構造小波： （3.51）Haar小波函數具有正交性、雙正交性、緊支撐性（支撐長度為1）、對稱性。它既可以用于連續小波變換，也可以用于離散小波變換。其消失矩階數為1，濾波器長度為2。圖3.3 Haar小波的尺度函數和小波函數圖2、Meyer小波 Meyer小波是在頻率域中定義的。尺度函數： （3.52）小波函數； （3.53）Meyer小波不是緊支撐的，但是收斂得很快。圖3.4 Meyer小波的尺度函數和小波函數圖3、Daubechies(dbN)小波81516Daubechie函數是世界著名小波分析學者Inrid Daubechie對尺度為2的整數冪（即）構造的小波函數。Haar小波是其尺度為1的特例，其他的小波沒有明確的表達式。此小波函數具有正交性、雙正交性、緊支撐性，既可以進行連續小波變換也可以進行離散小波變換，其支撐寬度為2N-1，濾波器長度為2N，小波函數的消失矩階數為N。大多數dbN不具有對稱性，該小波還具有正則性。圖3-5 db6小波的尺度函數和小波函數圖4、Symlets小波它是對dbN小波函數的一種改進，性質與dbN小波相似，但更近似于對稱小波。5、Morlet小波該小波常用的是復值Morlet小波： （3.54）其傅里葉變換為： （3.55）由式（3.55）可以看出，當時，滿足容許條件，因此Morlet是容許小波。Morlet小波是一種復值小波，能夠提取信號中的幅值和相位信息，其時域、頻域都具有很好的局域性，常用于復數信號的分解及時頻分析中，Morlet小波在推廣到N維時具有很好的角度選擇性。另外，Morlet小波沒有尺度函數，而且是正交分解的。6、墨西哥帽(Mexican Hat)小波墨西哥帽(Mexican Hat)小波函數是Gauss函數的二階導數，由于其小波函數的圖形像墨西哥帽的截面，所以稱這個函數為墨西哥帽函數。墨西哥帽小波函數為 （3.56）其小波函數在時域與頻域都具有很好的局部性，具有對稱性，它適用于連續的小波變換，它的尺度函數不存在，因此不具有正交性。圖3-6 Morlet和Mexican Hat小波的小波函數圖7、雙正交小波（biorthogonal小波）雙正交小波（biorthogonal小波）的引入是為了解決對稱性與精確信號重構