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全方位課外輔導體系 Comprehensive Tutoring Operation System 二項式系數與各項的系數辨析一、基礎知識1、二項式系數與各項的系數的區別：二項展開式中各項的二項式系數為 ，它只與各項的項數有關，而與的值無關；而各項的系數則不僅與各項的項數有關，而且也與的值有關，當然，在某些二項展開式（如是系數為1的單項式）中，各項的系數與二項式系數是相等的。2、二項式系數性質：(1)對稱性：與首末兩端等距的兩項，二項式系數相同，即；(2)單調性：二項式系數先單增，后單減；當為偶數時，中間項的二項式系數最大；當為奇數時，中間兩項的二項式系數最大(3)所有二項式系數之和為，即(4)奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和，均為；即；二、有關二項式系數的性質及計算的問題：例1、的展開式中第6項與第7項的系數相等，求展開式中二項式系數最大的項和系數最大的項。分析：根據已知條件可求出，再根據的奇偶性；確定二項式系數最大的項.解：，依題意有的展開式中，二項式系數最大的項為；設第項系數最大，則有.系數最大的項為.【評注】：、求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質，為奇數時中間兩項的二項式系數最大；為偶數時中間一項的二項式系數最大。、求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的，需根據各項系數的正、負變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得。例2、在的展開式中的系數為（ ）A、160 B、240 C、360 D、800分析：本題考查二項式定理的通項公式的運用.應想辦法將三項式化為二項式求解.解：由 ，知的展開式中x的系數為，常數項為1，的展開式中的系數為，常數項為.因此原式中x的系數為。【評注】：多項展開通常轉化為二項展開，轉化的方式通常是配方，因式分解等.例3、已知，求(1) ；(2) ；(3) 分析：由對于而言是一個恒等式，于是通過的取值可進行求解解：(1)，令，得。令 得，。(2)令，得；由上式得；(3) 。【評注】：在解決與系數有關的問題時，常用“賦值法”，這種方法是一種重要的數學思想方法例4、設，若其展開式中關于的一次項的系數和為11，問為何值時，含項的系數取最小值？并求這個最小值。分析：根據已知條件得到的系數關于的二次表達式，然后利用二次函數性質探討最小值問題。解： ，項的系數取最小值，最小值為25。【評注】：二次函數的對稱軸方程為，即x=5.5，由于5、6距5.5等距離，且對， 距5.5最近，所以的最小
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