基本極限定理 第五章 切比雪夫不等式與大數定律 中心極限定理 第五章 切比雪夫不等式與大數定律 第一節 一 切比雪夫不等式 二 大數定律 即 引言 頻率的穩定性 用頻率代替概率的科學性 1 背景 2 內容 用來闡明大量隨機現象平均結果的穩定性的 一系列定理稱為大數定律 3 刻畫 定理1 設X的數學期望 方差 則 有 或 注 切比雪夫不等式常用來在E X 和D X 已知時 對事 一 切比雪夫不等式 例1 已知我校有1萬盞電燈 夜晚每一盞燈開燈的概率 均為0 8 且它們開關與否相互獨立 試用切比雪夫不等式 估計夜晚同時開燈7800 8200盞之間的概率 解 設X表示夜晚開燈數 則 又因為E X 8000 D X 1600 則由切比雪夫不 這說明只需供應8200盞燈的電力就能以相當大的概 率保證這1萬盞燈的正常使用 等式知 1 切比雪夫大數定律 二 大數定律 定理2 設相互獨立的隨機變量 具有有 限的期望和方差 若存在常數C使 則 有 即 推論 設相互獨立的隨機變量 服從相 同的分布 且 則有 注 該結論的實際意義在于 為了減少測量的隨機誤差 常常用測量的平均值來代替真實值 即 切比雪夫大數定律推論的特殊形式 2 伯努利大數定律 定理3 且 則有 注 該結論的實際意義在于 當試驗次數很大時 便可以 用事件發生的頻率來代替其概率 3 辛欽大數定律 定理4 注 辛欽大數定律要求同分布但并不要求方差存在 設相互獨立的隨機變量 服從相同的分布 且 則有 第五章 中心極限定理 第二節 一 獨立同分布中心極限定理 二 棣莫弗 拉普拉斯中心極限定理 設獨立隨機變量序列 則當n很大時 和方差都存在 2 內容 3 刻劃 的期望 1 背景 若一個量受到大量獨立的隨機因素綜合影響 而每一因素在總影響中所起的作用并不大 則這個量通常 近似服從正態分布 引言 設相互獨立的隨機變量 定理1 Levy Lindeberg中心極限定理 一 獨立同分布的中心極限定理 服從相 同的分布 且 則 有 即 例2 設某食品用機器裝袋 每袋凈重的期望為100g 標 準差為4g 一箱裝100袋 求一箱凈重大于10100g的概率 解 同分布 且 而一箱凈重 由獨立同分布的中心極限定理可知 所以 獨立同分布的中心極限定理的特殊形式 二 DeMoivre Laplace中心極限定理 定理2 且 則有 注 設 當n比較大時 對任意的a b有 的次數 例3 保險公司多年統計資料表明 因被盜理賠的用戶占 20 以X表示100個理賠用戶中因被盜理賠的個數 試寫出 X的概率分布 并利用拉普拉斯中心極限定理 求被盜理賠 用戶大于14且不多于30戶的概率近似值 解 1 易知 則X的分 2 已知n 100 p 0 2 由拉普拉斯中心極限定理得 布列為 內容小結 1 利用切比雪夫不等式進行近似計算 2 切比雪夫大數定律 3 伯努利大數定律 4 辛欽大數定律 6 獨立同分布的中心極限定理 7 德莫夫 拉普拉斯中心極限定理 5 利用中心極限定理進行近似計算 切比雪夫 1821 1894 切比雪夫 俄羅斯數學家 1821年5月 生于俄國卡盧加 1894年12月卒于彼得堡 他出身于貴族家庭 左腳生來有殘疾 因而童年時代的他經常獨坐家中 養成了 在孤寂中思索的習慣 16歲進莫斯科大學 1841年因 方 程根的計算 一文獲銀質獎章 1847年進彼得堡大學 兩 年后獲博士學位 1859年當選為彼得堡科學院院士 切比雪夫一生發表了70多篇科學論文 論 概率論 函數逼近論 積分學等方面 內容涉及數 辛欽 1894 1959 辛欽 現代概率論的奠 蘇聯數學家 基者之一 1894年7月生于莫斯科 1959年 11月去世 1916年畢業于莫斯科大學 先 后在莫斯科大學和蘇聯科學院斯捷克洛 夫數學研究所等處工作 1939年當選為蘇聯科學院通訊 院士 他還是俄羅斯教育科學院院士 辛欽在函數的度量理論 數論 概率論 信息論等 方面都有重要的研究成果 在分析學 數論及概率論對 統計力學的應用方面也有重要貢獻 拉普拉斯 1749 1827 拉普拉斯 法國數學家和天文學家 1749年3月生于博蒙昂諾日 1827年3月卒 于巴黎 他一生在科學上的貢獻僅次于牛 頓而居第二 拉普拉斯是天體力學的主要奠基人 是天體演化學的 創立者之一 是分析概率論的創始人 是應用數學的先軀 他發