1 2 常用函數的拉氏變換 1 例1 求階躍函數f t A 1 t 的拉氏變換 單位階躍函數f t 1 t 的拉氏變換為 2 例2 求單位脈沖函數f t t 的拉氏變換 數學知識回顧 2 3 例3 求指數函數f t 的拉氏變換幾個重要的拉氏變換 3 3 拉氏變換的基本性質 1 線性性質原函數之和的拉氏變換等于各原函數的拉氏變換之和 2 微分性質若 則有f 0 為原函數f t 在t 0時的初始值 4 證 根據拉氏變換的定義有原函數二階導數的拉氏變換依次類推 可以得到原函數n階導數的拉氏變換 5 3 積分性質若則式中為積分當t 0時的值 證 設則有由上述微分定理 有 6 即 同理 對f t 的二重積分的拉氏變換為若原函數f t 及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數f t 的n重積分的拉氏變換等于其象函數除以 7 4 終值定理原函數的終值等于其象函數乘以s的初值 證 由微分定理 有等式兩邊對s趨向于0取極限 8 注 若時f t 極限不存在 則不能用終值定理 如對正弦函數和余弦函數就不能應用終值定理 5 初值定理 證明方法同上 只是要將取極限 6 位移定理 a 實域中的位移定理 若原函數在時間上延遲 則其象函數應乘以 9 b 復域中的位移定理 象函數的自變量延遲a 原函數應乘以即 7 時間比例尺定理原函數在時間上收縮 或展寬 若干倍 則象函數及其自變量都增加 或減小 同樣倍數 即 證 10 8 卷積定理兩個原函數的卷積的拉氏變換等于兩個象函數的乘積 即證明 11 12 二 拉氏反變換1 定義 從象函數F s 求原函數f t 的運算稱為拉氏反變換 記為 由F s 可按下式求出式中C是實常數 而且大于F s 所有極點的實部 直接按上式求原函數太復雜 一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換 但F s 必須是一種能直接查到的原函數的形式 13 若F s 不能在表中直接找到原函數 則需要將F s 展開成若干部分分式之和 而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到 例1 例2 求的逆變換 解 14 例3 15 2 拉式反變換 部分分式展開式的求法 1 情況一 F s 有不同極點 這時 F s 總能展開成如下簡單的部分分式之和 16 17 18 2 情況2 F s 有共軛極點例2 求解微分方程 19 3 情況3 F s 有重極點 假若F s 有L重極點 而其余極點均不相同 那么 20 21 22 23 如果不記公式 可用以下方法求解 也可得解 24 3 線性定常微分方程的求解 例2 6P25 下圖中 若已知L 1H C 1F r 1 U0 0 0 1V i 0 0 1A ui t 1V 試求電路突然接通電源時電容電壓的變化規律 25 解 已求得微分方程為 拉氏變換得 26 代入得 根據初值定理 終值定理 27 三 傳遞函數1 定義 零初始條件下 系統輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統的傳遞函數 用G s 表示 設線性定常系統 元件 的微分方程是 28 c t 為系統的輸出 r t 為系統輸入 則零初始條件下 對上式兩邊取拉氏變換 得到系統傳遞函數為 分母中S的最高階次n即為系統的階次 29 因為組成系統的元部件或多或少存在慣性 所以G s 的分母次數大于等于分子次數 即 若m n 我們就說這是物理不可實現的系統 30 2 性質 1 傳遞函數與微分方程一一對應 2 傳遞函數表征了系統本身的動態特性 傳遞函數只取決于系統本身的結構參數 而與輸入和初始條件等外部因素無關 可見傳遞函數有效地描述了系統的固有特性 3 只能描述線性定常系統與單輸入單輸出系統 且內部許多中間變量的變化情況無法反映 4 如果存在零極點對消情況 傳遞函數就不能正確反映系統的動態特性了 5 只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出 不能反映非零初始條件引起的輸出 31 例1 RC電路如圖所示依據 基爾霍夫定律消去中間變量 則微分方程為 32 可用方框圖表示例2 雙T網絡 對上式進行零初始條件下的拉氏變換得 33 解 方法一 根據基爾霍夫定理列出下列微分方程組 方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得 34 35 方法二 雙T網絡不可看成兩個RC網絡的串聯 即 36 傳遞函數的基本概念例 例2 9P31 求電樞控制式直流電動機的傳遞函數 解 已知電樞控制式直流電動機的微分方程為 方程兩邊求拉氏變換為 令 得轉速對電樞電壓的傳遞函數 令 得轉速對負載力矩的傳遞函數 最后利用疊加原理得轉速表示為 37 38 2 4典型環節的特性 控制系統是由許多環節組成的 為了研究控制系統的特性 有必要首先研究其各個組成部分的特性 即研究各個環節的特性 不同物理性質 不同結構用途的環節可以表現出相同的動態特性 可以有相同的數學模型 所以這里按數學模型對環節進行分類 39 1 比例環節 1 微分方程c t Kr t K為常數任意時刻 輸出與輸入成比例 2 傳遞函數K為常數 3 動態結構圖 4 動態特性r t 1 t c t K 1 t 輸出不失真 不延遲 成比例地表現輸入信號的變化 迅速 準確地表現輸入信號的變化 40 5 舉例 a 工作于線性狀態的電子放大器 其慣性很小可以近似地看成一個比例環節 b 測速發電機空載時 它的輸出電壓與輸入轉速成正比例關系 帶負載時 略去其電樞反應和電刷與換相器的接觸電壓 仍近似地把它視為一個比例環節 41 2 4結構圖 一 結構圖的概念和組成1 概念 我們可以用結構圖表示系統的組成和信號流向 在引入傳遞函數后 可以把環節的傳遞函數標在結構圖的方塊里 并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示 這時Y s G s X s 的關系可以在結構圖中體現出來 42 3 比較點 綜合點 相加點加號常省略 負號必須標出 4 引出點 一條傳遞線上的信號處處相等 引出點的信號與原信號相等 2 組成 1 方框 有輸入信號 輸出信號 傳遞線 方框內的函數為輸入與輸出的傳遞函數 一條傳遞線上的信號處處相同 2 信號線 帶箭頭的直線 箭頭表示信號的流向 在直線旁標注信號的時間函數或象函數 43 結構圖等效變換例子 例2 11 例1 利用結構圖等效變換討論兩級RC串聯電路的傳遞函數 解 不能把左圖簡單地看成兩個RC電路的串聯 有負載效應 根據電路定理 有以下式子 二 結構圖的繪制 44 繪圖 ui s 為輸入 畫在最左邊 這個例子不是由微分方程組 代數方程組 結構圖 而是直接列寫s域中的代數方程 畫出了結構圖 45 若重新選擇一組中間變量 會有什么結果呢 剛才中間變量為i1 u1 i2 現在改為I I1 I2 從右到左列方程 46 這個結構與前一個不一樣 選擇不同的中間變量 結構圖也不一樣 但是整個系統的輸入輸出關系是不會變的 繪圖 47 三 結構圖的等效變換 1 串聯 48 2 并聯 49 3 反饋這是個單回路的閉環形式 反饋可能是負 可能是正 我們用消去中間法來證明 C s 50 以后我們均采用 s 表示閉環傳遞函數 負反饋時 s 的分母為1 回路傳遞函數 分子是前向通路傳遞函數 正反饋時 s 的分母為1 回路傳遞函數 分子為前向通路傳遞函數 單位負反饋時 51 4 信號引出點的移動 引出點從環節的輸入端移到輸出端 信號分支點的移動和互換 52 信號相加點和分支點的移動和互換 引出點從環節的輸出端移到輸入端 注意 相臨的信號相加點位置可以互換 見下例 53 信號相加點和分支點的移動和互換 同一信號的分支點位置可以互換 見下例 相加點和分支點在一般情況下 不能互換 常用的結構圖等效變換見表2 1 所以 一般情況下 相加點向相加點移動 分支點向分支點移動 54 結構圖等效變換例子 例2 11 例2 利用結構圖等效變換討論兩級RC串聯電路的傳遞函數 總的結構圖如下 55 結構圖等效變換例子 例2 11 為了求出總的傳遞函數 需要進行適當的等效變換 一個可能的變換過程如下 56 結構圖等效變換例子 例2 11 57 解 結構圖等效變換如下 例3 系統結構圖如下 求傳遞函數 58 結構圖等效變換例子 例2 12 59 小結 結構圖的概念和繪制方法 結構圖的等效變換 環節的合并和分支點 相加點的移動 作業 2 2 b 2 4 b 2 8 2 9 2 11 2 17 e 60 2 5信號流圖 信號流圖可以表示系統的結構和變量傳送過程中的數學關系 它也是控制系統的一種數學模型 在求復雜系統的傳遞函數時較為方便 61 一 信號流圖及其等效變換組成 信號流圖由節點和支路組成的信號傳遞網絡 見下圖 信號流圖的概念 節點 節點表示變量 以小圓圈表示 支路 連接節點之間的有向線段 支路上箭頭方向表示信號傳送方向 傳遞函數標在支路上箭頭的旁邊 稱支路增益 支路相當于乘法器 信號流經支路時 被乘以支路增益而變為另一種信號 62 上圖中 兩者都具有關系 支路對節點來說是輸出支路 對輸出節點y來說是輸入支路 信號流圖的概念 63 信號流圖的術語 幾個術語 輸出節點 阱點 只有輸入支路的節點 如 C 混合節點 既有輸入支路又有輸出支路的節點 如 E P Q 混合節點相當于結構圖中的信號相加點和分支點 它上面的信號是所有輸入支路引進信號的疊加 前向通路 信號從輸入節點到輸出節點傳輸時 每個節點只通過一次的通路叫前向通路 輸入節點 源點 只有輸出支路的節點 如 R N 64 回路 閉通路 起點和終點為同一節點 而且信號通過每一節點不多于一次的閉合通路稱為回路 互不接觸回路 回路之間沒有公共節點時 這種回路稱為互不接觸回路 信號流圖的術語 通路傳輸 增益 通路中各支路傳輸的乘積稱為通路傳輸或通路增益 前向通路中各支路傳輸的乘積稱為前向通路傳輸或前向通路增益 回路傳輸 增益 回路上各支路傳輸的乘積稱為回路傳輸或回路增益 65 信號流圖的等效變換 66 信號流圖的等效變換 67 信號流圖的性質 節點表示系統的變量 一般 節點自左向右順序設置 每個節點標志的變量是所有流向該節點的信號之代數和 而從同一節點流向支路的信號均用該節點的變量表示 支路相當于乘法器 信號流經支路時 被乘以支路增益而變換為另一信號 信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞 即只有前因后果的因果關系 對于給定的系統 節點變量的設置是任意的 因此信號流圖不是唯一的 信號流圖的性質 68 信號流圖的繪制 信號流圖的繪制 根據結構圖例2已知結構圖如下 可在結構圖上標出節點 如上圖所示 然后畫出信號流圖如下圖所示 69 信號流圖的繪制 按微分方程拉氏變換后的代數方程所表示的變量間數學關系繪制 如前例所對應的代數方程為 按方程可繪制信號流圖 70 梅遜公式的推導 二 梅遜公式的推導 如前例已知信號流圖如圖所示 所對應的代數方程為 以R為輸入 V2為輸出則可整理成下列方程 71 于是可求得該方程組的系數行列式 和 梅遜公式的推導 72 根據克萊姆法則得 于是傳遞函數為 分析上式可以看到 傳遞函數的分子和分母取決于方程組的系數行列式 而系數行列式又和信號流圖的拓撲結構有著密切的關系 從拓撲結構的觀點 信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數量 而信號流圖所含回路的主要類型有兩種 單獨的回路和互不接觸回路 梅遜公式的推導 73 圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路 回路 和 和 和 所有單獨回路增益之和為 兩兩互不接觸回路增益乘積之和為 而 值恰好為 可見 傳遞函數的分母 取決于信號流圖的拓撲結構特征 梅遜公式的推導 74 如果把 中與第k條前向通道有關的回路去掉后 剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式 并記為 k 由圖可得 從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應的余子式如下表所示 梅遜公式的推導 75 故用信號流圖拓撲結構的術語 系統的傳遞函數可表示為 梅遜公式的推導 傳遞函數的分子等于系數行列式 除以R s 而恰好為 76 梅遜公式 用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節點到輸出節點之間的總傳輸 即總傳遞函數 其表達式為 式中 總傳輸 即總傳遞函數 從輸入節點到輸出節點的前向通道總數 第k個前向通道的總傳輸 流圖特征式 其計算公式為 二 梅遜公式 77 第k個前向通道的特征式的余子式 其值為中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分 梅遜公式 78 梅遜公式 例2 13a 解 前向通道有一條 有一個回路 例2 13a 求速度控制系統的總傳輸 不計擾動 79 梅遜公式 例4 解 先在結構圖上標出節點 再根據邏輯關系畫出信號流圖如下 例4 繪出兩級串聯RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數 80 有兩個互不接觸回路 梅遜公式 例4 81 梅遜公式 例4 討論 信號流圖中 a點和b點之間的傳輸為1 是否可以將該兩點合并 使得將兩個不接觸回路變為接觸回路 如果可以的話 總傳輸將不一樣 不能合并 因為a b兩點的信號值不一樣 上圖中 ui和ue I1和I a和b可以合并 為什么 82 梅遜公式 例5 例5 使用Mason公式計算下述結構圖的傳遞函數 解 在結構圖上標出節點 如上 然后畫出信號流圖 如下 83 回路有三 分別為 有兩個不接觸回路 所以 梅遜公式 例5 84 梅遜公式 例5 注意 上面講不變 為什么 是流圖特征式 也就是傳遞函數的特征表達式 對于一個給定的系統 特征表達式總是不變的 可以試著求一下 85 梅遜公式注意事項 注意 梅森公式只能求系統的總增益 即輸出對輸入的增益 而輸出對混合節點 中間變量 的增益就不