數學知識與技巧一、方程與方程組1.一元二次方程一般常用因式分解法：2.二元一次方程組消去其中一個元素即可例1： （1） （2）（1）（2），消去y，得x=1,y=2注意：并不是任何二元一次方程組都有唯一解。例2： （1） （2）上述方程有無窮多解。例3： （1） （2）無解。3.二元二次方程組一般只考如下形式： （1） （2）即其中的一個方程為一次。這種形式等價于一元二次方程，把（1）代入（2）即可。4.不等式如果不等式兩邊同時乘以或者除以一個負數，這時不等式的方向發生變化。如果不等式兩邊同時乘以或者除以一個正數，這時不等式的方向不發生變化。若a b0,a0,則b0若ab，c0，則acb c若ab，c0，則acb c (注意c的符號的影響)若|xa|b,則bxab,則xab或xa0,kp?(1)n 二、數列與集合1.等差數列2.等比數列,當時，例：3.集合無重復元素的序列（或數列）就是集合。I=A+BAB+非A非BI=A+B+CABBCCA+ABC+非A+非B+非C例：小于100的自然數中有多少個即不被2整除又不被5整除？三、排列組合與概率1.排列與組合 從m個人中挑出n個人進行排列的可能數。 從m個人中挑出n個人進行組合的可能數。（1） 加法原理某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n中方法完成，則這件事可由m+n種方法來完成。例：到美利堅去，既可以乘飛機，也可以坐輪船，其中飛機還有戰斗機與民航，輪船有小鷹號和泰坦尼克號，問有多少種走法？（2） 乘法原理某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n中方法完成，則這件事可由m x n種方法來完成。例：到美利堅去，先乘飛機，再坐輪船，其中飛機還有戰斗機與民航，輪船有小鷹號和泰坦尼克號，問有多少種走法？2.概率第一步：概率基本原理（古典定義） P(A)=A 所包含的基本事件數/基本事件總數。例1：某班有男生30名，女生20名，問從中隨機抽取一個學生，是男生的概率有多大挑取兩個全是男生的概率是多大呢？, 例2：硬幣有正反兩面，拋一次正面朝上的幾率是多少？連續拋兩次，至少有一次正面朝上的幾率是多少？第二步：使用加法或者乘法原則第三步：減法原則例題：袋中有a只白球，b只紅球，一次將球一只只取出，不放回。求第K次取出白球的概率。）例題：從5位男同學和4位女同學中選出4位參加一個座談會，要求與會成員中既有男同學又有女同學，有幾種不同的選法？3.條件概率例1：一個班有100人，男生60人，女生40人，男女生當中都有黑頭發與棕色頭發的，其中有10個男生棕色頭發，棕色頭發一共有30個人，問在100個學生，隨便抽取，抽到男生棕色頭發的概率是多少？古典概型： 乘法原則：例題：1.用0，2，4，6，9這五個數字可以組成數字不重復的五位偶數共有多少個？2. 6張同排連號的電影票，分給3名男生和3名女生，如欲男女想間而坐，則不同的分法數為多少？3.甲乙丙丁戊五人并排站成一排，如果乙必須站在甲的右邊（甲乙可以不相鄰），那么不同的排法有多少種？4.晚會上有5個不同的唱歌節目和3個不同的舞蹈節目，問：分別按以下要求各可排出幾種不同的節目單？第一，3個舞蹈節目排在一起；第二，3個舞蹈節目彼此分開；第三，3個舞蹈節目先后順序一定。擋板模型：0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 05.4本不同的書分給2人，每人2本，不同的分法共有多少種？ 四、排列組合和概率習題講解排列組合題目的四個步驟：1. 古典概型2. 加法原則、乘法原則3. 減法原則、除法原則4. 條件概率講義白皮書第28頁：1 10個人中有6人是男性，問組成4人組，三男一女的組合數。答案： 8 4幅大小不同的畫，要求兩幅最大的排在一起，問有多少種排法？ 答案：95輛車排成1排，1輛黃色，1輛藍色，3輛紅色，且3輛紅車不可分辨，問有多少種排法？ 答案： 或者 11擲一枚均勻硬幣2n次，求出現正面k次的概率。12有5個白色珠子和4個黑色珠子，從中任取3個，問其中至少有1個是黑色的概率？ 答案：18從0到9這10個數中任取一個數并記下它的值，放回，再取一個數也記下它的值。兩個值的和為8時，出現5的概率是多少？ 答案：195雙不同顏色的襪子，從中任取兩只，是一對的概率是多少？ 答案：11擲一枚均勻硬幣2n次，求出現正面k次的概率。 答案： 26有4組人，每組一男一女，從每組各取一人，問取出兩男兩女的概率？ 答案：27一個人擲飛標，其擊中靶心的概率為0.7，他連續擲4次飛標，有2次擊中靶心的概率為多少？ 答案：28某種硬幣每拋一次正面朝上的幾率為0.6，問連續拋5次，至少有4次正面朝上的概率。 答案：29A發生的概率是0.6，B發生的概率是0.5，問A,B都不發生的最大概率？答案：0.430某種動物由出生而活到20歲得概率為0.7，活到25歲得概率為0.56，求現齡為20歲得這種動物活到25歲的概率。 答案：五、數論（自然數的理論）1 自然數：正整數。如1，2，3，4，5。2 奇數：不能被2整除的整數（可正可負），通式：2n+1。如-1，1。3 偶數：能被2整除的整數（可正可負），零是偶數。通式：2n。如-4，-2，0，2，4。4 質數：除了1和它本身之外沒有別的因子的自然數。2是最小的質數，也是唯一的偶質數。1不是質數。如2，3，5，7，11，13。5 合數：除了1和它本身之外由別的因子的自然數。4是最小的合數。1不是合數。如4，6，8，9。6 奇偶性分析：1) 偶數偶數偶數 或 奇數奇數，偶數偶數偶數 或 奇數偶數2) 奇數奇數偶數3) 奇數個奇數相加減，結果為奇數4) 偶數個奇數相加減，結果為偶數5) 任意個偶數相加減，結果為偶數6) 若n個整數相乘結果為奇數，則這n個整數為奇數7) 若n個連續的整數相加等于零，則n為奇數。如：(-2)+(-1)+0+1+2=08) 若n個連續的奇數相加等于零，則n為偶數。如：(-3)+(-1)+1+3=09) 若n個連續的偶數相加等于零，則n為奇數。如：(-4)+(-2)+0+2+4=010) 兩個質數之和為奇數，其中必有一個是2。7n個連續自然數的乘積一定能夠被n！整除。如：234，45678若n能被a整除，且能被b整除，那么n一定能夠被a, b整除。（其中a, b表示a和b的最小公倍數，另外a, b表示a和b的最大公約數） 特別地,當a,b互質(即無公因子),則n能被ab整除。(這里用到了公式a,bab/a, b) 如n能被8和12整除，n也能被24整除； 如n能被8和11整除，n也能被88整除。 9余數表示法。 如：一個偶數被7除余3，問被14除余幾？ p=7n3，由于p為偶數，3為奇數，所以7n為奇數，n可以表示為2q+1 于是p=7(2q+1)+3=14q+10 很明顯余數為10。10字母法（未知數法）。 如：兩個兩位數各位與十位恰好顛倒，問下面哪個不能是兩數之和？ A181 B121 C77 D132 E154 設兩數分別為ab和ba，則(ab)+(ba)=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)，即和必為11的倍數 顯然答案為A。11代入法。 如：余數表示法例中，既然問被14除余幾，則必然結果唯一，任意代入一個數即可，比如 24，立刻得到答案10。 代入法是缺乏數論知識的廣大學員做對大部分題的法寶。12一些整除性質。1)已知C=A+B且A是m的倍數，則C是m的倍數與B是m的倍數互為充分必要條件推論：一個數是否能夠被5整除，只要看它的最后一位。 一個數是否能夠被4整除，只要看它的后兩位。 一個數是否能夠被8整除，只要看它的后三位。 一個數能否被3整除，取決于各位之和能否被3整除。 例題：已知m7n8（n為整數），下面哪個不能是m的值？ A49 B43 C64 D78 E922)個位數為1的數任意次方個位數均為1。3)個位數為5的數任意次方個位數均為5。4)個位數為6的數任意次方個位數均為6。 練習：求的個位數是多少？ 求的個位數是多少？ 六、單利和復利1單利通式：a1（1nx）復利通式：a12綜合例子：年利率為12，按每月的復利計算，兩年后100元變成多少元？ 100七、數據充分性1約定：A為(1)充分，(2)不充分。B為(1)不充分，(2)充分。C為(1)和(2)在一起充分，但分別不充分。D為(1)和(2)自己分別充分。E為(1)和(2)在一起也不充分。做題階段：第一階段：先看條件(1)，只要(1)充分，答案不是A就是D 再看條件(2)，只要(2)充分，答案不是B就是D 如果(1)(2)都充分，則答案一定是D 如果一個充分一個不充分，答案就是A或者B (只要(1)不充分，答案肯定不是A或者D)第二階段：C是好的，E是壞的 2做題步驟。1) 讀題干，若是文字題，必須列出相應的式子。2) 先單獨看(1)，(2)是否充分，若分別都充分，選D；若其中一個充分，則選A或B。3) 若都不充分，則看(1)和(2)加在一起是否充分，若充分，則C；否則選E。3 特點。1) 不需要求出具體值，只需要知道求出即可。例：買一打（12個）罐裝湯，問降低后的價格比起原價格便宜多少？ （C）（1）原價一美元三個。 （2）降低后的價格一美元三個。 2) 字母不代表具體的值，應確定字母的值以后，才決定充分與否。例：W- w 0? （E）(1) W= a+ b (2) w = a- b 3) 選C時應該注意是否可選A或B。例： （A）（1）|x|=2 （2）x0 4) 唯一性。例：x？ （A）（1）x2 （2） 練習：藍皮書234頁114題114. Pam and Ed are in a line to purchase tickets. How many people are in line?（E）(1) There are 20 people behind Pam and 20 people in front of Ed. (2) There are 5 people between Pam and Ed. 5) 不矛盾性。例：兩輛火車相對行駛，同時開出，距離500英里，問多長時間后相遇？（C）（1）其中一輛速度為200英里每小時。（2）其中一輛速度為300英里每小時。6) 否定性。例：x0？ （B）（1）（2）白皮書17頁例題 例：若n=kp且p0，kp? （D） (1) (2) 7) 關于方程組的解。例1：（唯一根） （D） （1）（2）k=2 例2：（根不唯一，結果唯一） （D） （1） （2） 例3：（唯一根）已知，那么xy(x+y)=? （A） （1）xy=6 （2）x-y= -5 例4：（根不唯一，結果唯一）已知，那么xy(x+y)=? （D） （2）注意：如果一個數是一個完全平方數，那么它的因子的個數一定是奇數 問一個數有多少個因子，先把它進行質因子表達展開，然后乘以（指數1）即可 假如一個數有奇數個因子，那么這個數一定是另一個數的平方筆記：兩個相差為m的自然數，其公因子一定是m的約數。推論：兩個相鄰的自然數一定互質。 兩個相鄰的奇數一定互為質數。 兩個相鄰的偶數最大公約數一定是2。第三章 幾何3.1 平面幾何1 直角三角形勾股定理。a2+b2=c22 兩直線平行，內錯角相等，同位角相等。3 圓心角是圓周角的兩倍。4 面積與周長。 三角形（邊長為a,b,c）：面積=1/2 absin（是a,b兩邊之夾角）對于直角三角形，=90，S直角三角形=ab 。對于等邊三角形，=60，S等邊三角形= 。 周長=a+b+c 梯形（上底為a，下底為b，高為h）面積=（a+b）h/2 平行四邊形（邊長為a，b，高為h）面積=ah周長=2（a+b） 矩形（邊長為a，b）面積=ab周長=2（a+b） 正方形（邊長為a）面積=a2周長=4a 圓（半徑為R）面積=R2周長=2R5 多邊形內角和：（n-2）1803.2 立體幾何體積和表面積：1 長方體（邊長為a，b，c）體積=abc表面積=2（ab+bc+ca）2 正方體（立方體）（邊長為 a）體積=a3表面積=6a23 圓柱（底面半徑為R，高為h）體積=R2h表面積=2R2+2Rh3.3解析幾何1 關于對稱。 坐標(a,b)關于y=x的對稱點為(b,a) 坐標(a,b)關于y=-x的對稱點為(-b,-a)2 直線方程。 y=kx+b （斜截式，k為斜率slope，b為截距intercept） x/a + y/b =1 （截距式，a為x軸上截距，b為y軸上截距） (y-y2)/( x-x2) = (y1-y2)/(x1-x2)（兩點式，已知(x1,y1)，(x2,y2)） (y-y1)/(x-x1) =k （點斜式，已知(x1,y1)，斜率k）例：請寫出x軸與y軸上截距分別為20和30的直線方程在x,y0條件下的整數解。第四章 統計1. 算術平均數（arithmetic mean）。E=當a, b0時，下式成立，當a=b時取等號。 調和平均， 幾何平均， 算術平均，加權平均或平方平均2 期望（expectation）在GMAT數學中，期望就是算術平均。通常計算出來的算術平均都用E表示，這個E就