通過化隱為顯的數(shù)學(xué)思想方法 使讀者更好地認(rèn)識(shí)和領(lǐng)悟基本的數(shù)學(xué)思想方法 更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 運(yùn)用數(shù)學(xué) 更好地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)問題解決的一般方法 數(shù)學(xué)化活動(dòng)過程的一般方法 數(shù)學(xué)推理和證明方法 基于數(shù)學(xué)研究對(duì)象和特征的數(shù)形結(jié)合方法 數(shù)學(xué)構(gòu)建理 論的一般方法 一般科學(xué)方法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用 淺析數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透5db9e350 6a5a 4aea 9f60 751e8b2f5845 可保存此編號(hào) 并聯(lián)系管理摘要 摘要 中學(xué)數(shù)學(xué)的 課程內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機(jī)整體 現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的編排是沿知識(shí)的縱向展開 的 數(shù)學(xué)思想方法只是蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)的體系之中 沒有明確的揭示和總結(jié) 這樣就產(chǎn)生了如何處理數(shù)學(xué) 思想方法教學(xué)的問題 數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建有三個(gè)階段 潛意識(shí)階段 明朗和形成階段 深化階段 教學(xué) 應(yīng)以貫徹滲透性原則為主線 結(jié)合落實(shí)反復(fù)性 系統(tǒng)性和明確性的原則 它們相互聯(lián)系 相輔相成 共同 構(gòu)成數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的指導(dǎo)思想 關(guān)鍵詞 關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)方法 滲透 構(gòu)建 一 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)與能力的關(guān)系一 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)與能力的關(guān)系 思想方法就是客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果 它是從大量的思維活動(dòng)中獲 得的產(chǎn)物 經(jīng)過反復(fù)提煉和實(shí)踐 一再被證明為正確 可以反復(fù)被應(yīng)用到新的思維活動(dòng)中 并產(chǎn)生出新的 結(jié)果 數(shù)學(xué)思想方法 就是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)中 經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的 結(jié)果 它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論 概念 定理 公式 法則等 的本質(zhì)認(rèn)識(shí) 所以 數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué) 知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí) 是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí) 是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的 數(shù)學(xué)觀點(diǎn) 它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用 帶有普遍的指導(dǎo)意義 是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想 數(shù)學(xué)方法是指從數(shù)學(xué)角度提出問題 解決問題 包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和實(shí)際問題 的過程中所采用的各種方 式 手段 途徑等 數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的 一般來(lái)說(shuō) 強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想 強(qiáng)調(diào)操 作過程時(shí)稱數(shù)學(xué)方法 數(shù)學(xué)思想方法是形成學(xué)生的良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶 是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大 綱中明確指出 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是指數(shù)學(xué)中的概念 性質(zhì) 法則 公式 公理 定理以及由其內(nèi)容所反映出 來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)思想和方法納入基礎(chǔ)知識(shí)范疇 足見數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)問題已引起教育部門的 重視 也體現(xiàn)了我國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)于數(shù)學(xué)課程發(fā)展的一個(gè)共識(shí) 這不僅是加強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的一項(xiàng)舉 措 也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育現(xiàn)代化進(jìn)程的必然與要求 這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的現(xiàn)代化教學(xué) 是要把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育建立 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想基礎(chǔ)上 并使用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的方法和語(yǔ)言 因此 探討數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的 一系列問題 已成為數(shù)學(xué)現(xiàn)代教育研究中的一項(xiàng)重要課題 從心理發(fā)展規(guī)律看 初中學(xué)生的思維是以形式思維為主向辨證思維過渡 高中學(xué)生的思維則是辨證 思維的形成 進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué) 不僅有助于學(xué)生從形式思維向辯證思維過渡 而且是形成和發(fā)展學(xué) 生辯證思維的重要途徑 從認(rèn)知心理學(xué)角度看 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過程 這個(gè)過程是通過同化和 順應(yīng)兩種方式實(shí)現(xiàn)的 所謂同化 就是主體把新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容納入到自身原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去 把新的 數(shù)學(xué)材料進(jìn)行加工改造 使之與原教學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相適應(yīng) 所謂順應(yīng) 是指主體原有的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)不 能有效地同化新的學(xué)習(xí)材料時(shí) 主體調(diào)整成改造原來(lái)的數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)去適應(yīng)新的學(xué)習(xí)材料 在同化中 數(shù) 學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不具備思維特點(diǎn)和能動(dòng)性 不能指導(dǎo) 加工 過程的進(jìn)行 而心理成份只給主體提供愿望和動(dòng) 機(jī) 提供主體認(rèn)知特點(diǎn) 僅憑它也不能實(shí)現(xiàn) 加工 過程 數(shù)學(xué)思想方法不僅提供思維策略 設(shè)計(jì)思想 而且還提供實(shí)施目標(biāo)的具體手段 解題方法 實(shí)際上數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化 化歸就是實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的同化 與同 化一樣 順應(yīng)也在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下進(jìn)行 積極進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué) 將極大地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn) 知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與完善 從學(xué)習(xí)遷移看 數(shù)學(xué)思想方法有利于學(xué)生學(xué)習(xí)遷移 特別是原理和態(tài)度的遷移 從而可以極大地提 高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力 布魯納認(rèn)為 學(xué)習(xí)基本原理的目的 就在于促進(jìn)記憶的喪失不是全部喪失 而 遺留下來(lái)的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來(lái) 高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解 現(xiàn)象的工具 而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具 由此可見 數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的 一般 原理 在教學(xué)中是至關(guān)重要的 因此 對(duì)于中學(xué)生 不管他們將來(lái)從事什么工作 唯有深深地銘刻于頭 腦中的數(shù)學(xué)思想方法將隨時(shí)隨地發(fā)生作用 使他們受益終生 二 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原理二 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原理 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原理是說(shuō)明數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)規(guī)律的 中學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué) 知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機(jī)整體 現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的編排一般是沿知識(shí)的縱方向展開的 大量的數(shù)學(xué)思 想方法只是蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)的體系之中 并沒有明確的揭示和總結(jié) 這樣就產(chǎn)生了如何處理數(shù)學(xué)思想方法 教學(xué)的問題 進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué) 必須在實(shí)踐中探索規(guī)律 以構(gòu)成數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的指導(dǎo)原則 數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建有三個(gè)階段 潛意識(shí)階段 明朗和形成階段 深化階段 一般來(lái)說(shuō) 應(yīng)以貫徹滲透性 原則為主線 結(jié)合落實(shí)反復(fù)性 系統(tǒng)性和明確性的原則 它們相互聯(lián)系 相輔相成 共同構(gòu)成數(shù)學(xué)思想方 法教學(xué)的指導(dǎo)思想 如下圖所示 1 1 滲透性原則 滲透性原則 在具體知識(shí)教學(xué)中 一般不直接點(diǎn)明所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法 而是通過精心設(shè)計(jì) 的學(xué)習(xí)情境與教學(xué)過程 著意引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想和方法 使他們?cè)跐撘颇羞_(dá)到理解 和掌握 數(shù)學(xué)思想方法與具體的數(shù)學(xué)知識(shí)雖然是一個(gè)有機(jī)整體 它們相互關(guān)聯(lián) 相互依存 協(xié)同發(fā)展 但 是具體數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)并不能替代數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué) 一般來(lái)說(shuō) 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)總是以具體數(shù)學(xué) 知識(shí)為載體 在知識(shí)的教學(xué)過程中實(shí)現(xiàn)的 數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí) 數(shù)學(xué)方法是解決數(shù) 學(xué)問題 體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和工具 所以 數(shù)學(xué)思想方法具有高度的抽象性與概括性 如果說(shuō)數(shù)學(xué)方法 尚具有某種外在形式或模式 那么作為一類數(shù)學(xué)方法的概括的數(shù)學(xué)思想 卻只表現(xiàn)為一種意識(shí)或觀念 很 難找到外在的固定形式 因此 數(shù)學(xué)思想方法的形式絕不是一朝一夕可以實(shí)現(xiàn)的 必須要日積月累 長(zhǎng)期 滲透才能逐漸為學(xué)生所掌握 數(shù)學(xué)思想方法的滲透主要是在具體知識(shí)的教學(xué)過程中實(shí)現(xiàn)的 因此 要貫徹好滲透性原則 就要不 斷優(yōu)化教學(xué)過程 比如 概念的形成過程 公式 法則 性質(zhì) 定理等結(jié)論的推導(dǎo)過程 解題方法的思考 過程 知識(shí)的小結(jié)過程等 只有在這些過程的教學(xué)中 數(shù)學(xué)思想方法才能充分展現(xiàn)它們的活力 取消或壓 縮教學(xué)的思維過程 把數(shù)學(xué)教學(xué)看為知識(shí)結(jié)論的教學(xué) 就失去了滲透數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會(huì) 使數(shù)學(xué)思想方 法無(wú)有用武之地 2 2 反復(fù)性原則 反復(fù)性原則 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)和掌握只能遵循從個(gè)別到一般 從具體到抽象 從感 性到理性 從低級(jí)到高級(jí)的認(rèn)識(shí)規(guī)律 因此 這個(gè)認(rèn)識(shí)過程具有長(zhǎng)期性和反復(fù)性的特征 從一個(gè)較長(zhǎng)的學(xué)習(xí)過程看 學(xué)生對(duì)每種數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識(shí)都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的 其間有一 個(gè)由低級(jí)到高級(jí)的螺旋上升過程 如對(duì)同一數(shù)學(xué)思想方法 應(yīng)該注意其在不同知識(shí)階段的再現(xiàn) 以加強(qiáng)學(xué) 生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí) 另外 由于個(gè)體差異的存在 與具體的數(shù)學(xué)知識(shí)相比 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握往往表現(xiàn)出更大 的不同步性 在教學(xué)中 應(yīng)注意給中差生更多的思考 接受理解的時(shí)間 逾越了這個(gè)過程 或人為地縮短 會(huì)導(dǎo)致學(xué)生囫圇吞棗 長(zhǎng)此以往 會(huì)形成好的更好 差的更差的兩極分化局面 3 3 系統(tǒng)性原則 系統(tǒng)性原則 與具體的數(shù)學(xué)知識(shí)一樣 數(shù)學(xué)思想方法只有形成具有一定結(jié)構(gòu)的系統(tǒng) 才能更好 地發(fā)揮其整體功能 數(shù)學(xué)思想方法有高低層次之別 對(duì)于某一種數(shù)學(xué)思想而言 它所概括的一類數(shù)學(xué)方法 所串聯(lián)的具體數(shù)學(xué)知識(shí) 也必須形成自身的體系 才能為學(xué)生理解和掌握 這就是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的系 統(tǒng)性原理 對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)性的研究 一般需要從兩個(gè)方面進(jìn)行 一方面要研究在每一種具體數(shù)學(xué)知 識(shí)的教學(xué)中可以進(jìn)行哪些數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué) 另一方面 又要研究一些重要的數(shù)學(xué)思想方法可以在那些 知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中進(jìn)行滲透 從而在縱橫兩個(gè)維度上整理出數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng) 例如 數(shù)列 這一章 就 體現(xiàn)了函數(shù)與方程 等價(jià)轉(zhuǎn)化 分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想以及待定系數(shù)法 配方法 換元法 消元法 歸納一猜想一證明 等基本的數(shù)學(xué)方法 4 4 明確性原則 明確性原則 在中學(xué)數(shù)學(xué)各科教材中 數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容顯得薄弱 除了一些具體的數(shù)學(xué)方 法比較明確外 一些重要的數(shù)學(xué)思想方法都沒有比較明確和系統(tǒng)的闡述 而它們一直蘊(yùn)含在基礎(chǔ)知識(shí)的教 學(xué)之中 從數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的整個(gè)過程來(lái)看 只是長(zhǎng)期 反復(fù) 不明確的滲透 將會(huì)影響學(xué)生認(rèn)識(shí)從感 性到理性的飛躍 妨礙了學(xué)生有意識(shí)地去掌握和領(lǐng)會(huì) 滲透性和明確性是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)辯證的兩個(gè)方 面 因此 在反復(fù)滲透的教學(xué)過程中 利用適當(dāng)時(shí)機(jī) 對(duì)某些數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行概括 強(qiáng)化和提高 對(duì)它 的內(nèi)容 名稱 規(guī)律 使用方法適度明確化 是掌握 運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法并轉(zhuǎn)化為能力的前提 所以數(shù)學(xué) 思想方法的教學(xué)應(yīng)貫徹明確性原則 貫徹?cái)?shù)學(xué)思想明確化原則 是讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵 是熟練掌 握 靈活運(yùn)用 轉(zhuǎn)化為能力的前提 例如在解題教學(xué)中 可經(jīng)常采用一題多解 多題一解的教學(xué)方法明確數(shù)學(xué)思想方法 一題多解是運(yùn) 用不同的數(shù)學(xué)思想方法 尋求多種解法 多題一解又是運(yùn)用同一種數(shù)學(xué)思想方法于多種題目之中 但是在 教學(xué)中 往往缺乏從數(shù)學(xué)思想方法的高度去闡明其中的本質(zhì)和通法 我們?cè)诮忸}教學(xué)中 將蘊(yùn)含其中的數(shù) 學(xué)思想方法明確化 有利于學(xué)生掌握其中規(guī)律 使學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力產(chǎn)生飛躍 三 中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要思想方法三 中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要思想方法 1 1 中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要思想 中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要思想 函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 1 1 函數(shù)與方程思想 函數(shù)與方程思想 就是用函數(shù)的觀點(diǎn) 方法研究問題 將非函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 通過 對(duì)函數(shù)的研究 使問題得以解決 通常是這樣進(jìn)行的 將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 建立函數(shù)關(guān)系 研究這個(gè) 函數(shù) 得出相應(yīng)的結(jié)論 中學(xué)數(shù)學(xué)中 方程 數(shù)列 不等式等問題都可利用函數(shù)思想得以簡(jiǎn)解 幾何量的 變化問題也可以通過對(duì)函數(shù)值域的考察加以解決 例如 1990 年全國(guó)高考題 如果實(shí)數(shù) x y 滿足 x 2 2 y2 3 那么的最大值是 分析 為分離出 先給已知等式兩邊同除以 x2 得 分離變量與 得 此式表示 是的二次函數(shù) 易知當(dāng) 2 即 x 時(shí) 有最大值 3 則有最大 值 此題不是函數(shù)而看成函數(shù) 這不正是函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)嗎 2 2 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué) 因而數(shù)學(xué)研究總是圍繞著數(shù) 與形進(jìn)行的 數(shù) 就是方程 函數(shù) 不等式及表達(dá)式 代數(shù)中的一切內(nèi)容 形 就是圖形 圖象 曲 線等 數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì) 幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系 數(shù)形結(jié)合就 是抓住數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系 以 形 直觀地表達(dá)數(shù) 以 數(shù) 精確地研究形 華羅庚曾說(shuō) 數(shù)缺形 時(shí)少直覺 形缺數(shù)時(shí)難入微 通過深入的觀察 聯(lián)想 由形思數(shù) 由數(shù)想形 利用圖形的直觀誘發(fā)直覺 例如 已知 x1是方程 x lgx 3 的根 x2是 x 10 x 3 的根 則 x1 x2等于 A 6 B 3 C 2 D 1 分析 構(gòu)造函數(shù) y lgx y 10 x y 3 x 由于 y lgx 與 y 10 x互為反函數(shù) 圖象關(guān)于直線 y x 對(duì)稱 而直線 y 3 x 與 y x 互相垂直 所以 y 3 x 與 y lgx 和 y 3 x 與 y 10 x的交點(diǎn) P1 x1 y1 P2 x2 y2 是關(guān)于直線 y 3 x 與 y x 的交點(diǎn) M x0 y0 對(duì)稱的 故 x1 x2 2 x0 3 選 B 圖略 3 3 分類討論思想 分類討論思想 就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn) 將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類 的思想方法 分類是以比較為基礎(chǔ)的 它能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律 有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí) 使所學(xué)知識(shí)條理化 數(shù)學(xué)中的分類有現(xiàn)象分類和本質(zhì)分類兩種 前一種分類是以分類對(duì)象的外部特征 外部關(guān)系為根據(jù) 的 如復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)與虛數(shù)等 這種分法看上去一目了然 但不能揭示所分對(duì)象之間的本質(zhì)聯(lián)系 后一種 分類是按對(duì)象的本質(zhì)特征 內(nèi)部聯(lián)系進(jìn)行分類的 如函數(shù)按單調(diào)性或有界性分類 多面體按柱 錐 臺(tái)分 類等 引起分類討論的主要原因有 由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論 由數(shù)學(xué)定理 性質(zhì) 公式的限制條 件引起的分類討論 由數(shù)學(xué)式子的變形所需要的限制條件引起的分類討論 由圖形的位置和大小的不 確定性而引起的分類討論 對(duì)于含有參數(shù)的問題要對(duì)參數(shù)的允許值進(jìn)行全面的分類討論 4 4 化歸與轉(zhuǎn)化思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 在教學(xué)研究中 使一種對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象的數(shù)學(xué)思 想稱為轉(zhuǎn)化思想 體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中 就是將原問題進(jìn)行變形 使之轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的或已解決的或易 于解決的問題 就這一點(diǎn)來(lái)說(shuō) 解題過程就是不斷轉(zhuǎn)化的過程 化歸與轉(zhuǎn)化的一般原則是 化歸目標(biāo)簡(jiǎn) 單化原則 和諧統(tǒng)一性原則 化歸應(yīng)朝著使待解決問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧 在量 形 關(guān)系方面趨 于統(tǒng)一的方向進(jìn)行 使問題的條件與結(jié)論表現(xiàn)得更均勻和恰當(dāng) 具體化原則 標(biāo)準(zhǔn)形式化原則 將待解問題在形式上向該類問題的標(biāo)準(zhǔn)形式化歸 標(biāo)準(zhǔn)形式是指已經(jīng)建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模式 如二次函數(shù) y ax2 bx c a 0 橢圓方程 低層次化原則 解決數(shù)學(xué)問題時(shí) 應(yīng)盡量將高維 空間的待解問題化歸成低維空間的問題 高次數(shù)的問題化歸成低次數(shù)的問題 多元問題化歸為少元問題解 決 這是因?yàn)榈蛯哟螁栴}比高層次問題更直觀 具體 簡(jiǎn)單 化歸與轉(zhuǎn)化的策略有 已知與未知的轉(zhuǎn) 化 已知條件常含有豐富的內(nèi)容 發(fā)掘其隱含條件 使已知條件朝著明朗化的方向轉(zhuǎn)化 如綜合法 對(duì)于 一個(gè)未知的新問題 通過聯(lián)想 尋找轉(zhuǎn)化為已知的途徑 或從結(jié)論人手進(jìn)行轉(zhuǎn)化 如分析法 正面與 反面的轉(zhuǎn)化 在處理某一問題 按照習(xí)慣思維方式從正面思考而遇到困難 甚至不可能時(shí) 用逆向思維的 方法去解決 往往能達(dá)到突破性的效果 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化 數(shù)形結(jié)合其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀 的圖形相結(jié)合 可以使許多概念和關(guān)系直觀而形象 有利于解題途徑的探求 一般與特殊的轉(zhuǎn)化 復(fù)雜與簡(jiǎn)單元的轉(zhuǎn)化 把一個(gè)復(fù)雜的 陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的 熟悉的問題來(lái)解決 這是數(shù)學(xué)解題的 一條重要原則 高中數(shù)學(xué)涉及最多的是轉(zhuǎn)化思想 如超越方程代數(shù)化 三維空間平面化 復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化等 為了 實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化 相應(yīng)地產(chǎn)生了許多的數(shù)學(xué)方法 如消元法 換元法 圖象法 待定系數(shù)法 配方法等 通過這 些數(shù)學(xué)方法的使用 使學(xué)生充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的地位與作用 2 2 中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)方法 中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)方法 1 1 數(shù)學(xué)中的幾種常用求解方法 數(shù)學(xué)中的幾種常用求解方法 配方法 消去法 換元法 待定系數(shù)法 數(shù)學(xué)歸納法 坐標(biāo)法 參數(shù)法 構(gòu)造法 數(shù)學(xué)模型法等 2 2 數(shù)學(xué)中的幾種重要推理方法 數(shù)學(xué)中的幾種重要推理方法 綜合法與分析法 完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法 演繹法 反證法 與同一法 3 3 數(shù)學(xué)中的幾種重要科學(xué)思維方法 數(shù)學(xué)中的幾種重要科學(xué)思維方法 觀察與試嘗 概括與抽象 分析與綜合 特殊與一般 比 較與分類 歸納與類比 直覺與頓悟等 四 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)途徑的探索四 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)途徑的探索 1 1 在基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)過程中 適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法 在基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)過程中 適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法 在教學(xué)過程中 要注意知識(shí)的形成過程 特別是定理 性質(zhì) 公式的推導(dǎo)過程和例題的求解的過程 基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法都是在這個(gè)過程中形成和發(fā)展的 數(shù)學(xué)基本技能也是在這個(gè)過程學(xué)習(xí)和發(fā)展的 數(shù)學(xué)的各種能力也是在這個(gè)過程中得到培養(yǎng)和鍛煉的 數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)觀念也是在這個(gè)過程中形成的 1 1 重視概念的形成過程 重視概念的形成過程 概念是思維的細(xì)胞 是感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果 而飛躍的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過分析 綜合 比較 抽象 概括等思維的邏輯加工 需依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo) 因而概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)完整地體現(xiàn)這一過程 引 導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏于概念之中的思維內(nèi)核 例如 高一新教材 數(shù)學(xué)第一冊(cè) 上 第二章 函數(shù) 有關(guān)函數(shù) 的單調(diào)性的知識(shí) 是數(shù)形結(jié)合思想滲透教學(xué)的最好材料 教學(xué)中要充分抓住這一有利時(shí)機(jī) 函數(shù) f x 在區(qū)間 A 上是增函數(shù)或減函數(shù)可直觀地用下圖示意 通過圖象的直觀性 可使學(xué)生深刻理解函數(shù)的單調(diào)性 也使學(xué)生對(duì)增函數(shù) 減函數(shù)的定義有更加明 確的認(rèn)識(shí) 2 2 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理 公式的探索 發(fā)現(xiàn) 推導(dǎo)的過程 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理 公式的探索 發(fā)現(xiàn) 推導(dǎo)的過程 在定理 性質(zhì) 法則 公式 規(guī)律等的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與這些結(jié)論的探索 發(fā)現(xiàn) 推導(dǎo)的 過程 不斷在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下 弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系 最后再引導(dǎo)學(xué)生歸納得出結(jié)論 例如 高一新教材 數(shù)學(xué)第一冊(cè) 上 第三章 數(shù)列 教師要不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列是 特殊的函數(shù) 關(guān)于等差數(shù)列 由通項(xiàng)公式和求和公式看出 an和 Sn都是 n 的函數(shù) 當(dāng) d 0 時(shí) an是 n 的 一次函數(shù) Sn是 n 的二次函數(shù) 因此可以用一次 二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決等差數(shù)列的通項(xiàng) 前 n 項(xiàng)和 的問題 函數(shù)的圖象是函數(shù)的靈魂 an a1 n 1 d 的圖象是一條直線上的點(diǎn) Sn na1 d 的 圖象是一條拋物線上的點(diǎn)