用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 1 淺談求函數(shù)值域的幾種方法淺談求函數(shù)值域的幾種方法 求函數(shù)值域是高考的熱點(diǎn) 也是重點(diǎn)和難點(diǎn) 解這類(lèi)題目的方法具有多樣性和靈活性 下面具體談?wù)勄蠛瘮?shù)值域的幾種方法 一 配方法 通過(guò)配方結(jié)合函數(shù)圖像求函數(shù)的值域 一般地 對(duì)于二次函數(shù)求 2 0 yaxbxc a 值域問(wèn)題可運(yùn)用配方法 例 1 求的值域 2 1yxx 解 22 133 1 244 yxxx 于是的值域?yàn)?2 1yxx 3 4 二 反函數(shù)法 一般地 形如 可利用原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域之間的互逆關(guān)系 0 axb yc cxd 例 2 求函數(shù)的值域 21 3 x y x 解 由得 因?yàn)?所以 21 3 x y x 31 2 y x y 20y 2y 于是此函數(shù)的值域?yàn)?2y yRy 且 三 分離常數(shù)法 一般地 對(duì)于分式函數(shù)來(lái)說(shuō) 可以分離一個(gè)常數(shù)去求函數(shù)的值域 例 3 求的值域 2 2 1 xx y xx 解 22 222 1 11 1 111 xxxx y xxxxxx 而 22 133 1 244 xxx 即 所以 2 14 0 13xx 1 1 3 y 即函數(shù)的值域?yàn)?2 2 1 xx y xx 1 1 3 注意 例 2 也可以利用分離常數(shù)法去求值域 有興趣的讀者可以試一試 四 判別式法 一般地 形如 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y 的一元二次方程 利用方程有 2 2 0 axbxc ya m mxnxk 不都為 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 2 實(shí)數(shù)解 來(lái)求 y 0 例 4 求的值域 2 2 223 1 xx y xx 解 由去分母得 2 2 223 1 xx y xx 22 223yxyxyxx 即 2 2 2 30yxyxy 當(dāng) y 2 時(shí) 此方程無(wú)實(shí)根 當(dāng) 此方程為一元二次方程 2y xR 即 2 2 4 2 3 0yyy 2 310 0yy 所以 又因?yàn)?于是 10 2 3 y 2y 10 2 3 y 故函數(shù)的值域?yàn)?2 2 223 1 xx y xx 10 2 3 注意 下面 2 點(diǎn)不能直接用判別式法 1 定義域去掉無(wú)限個(gè)點(diǎn) 2 分子分母中含有公因式 五 換元法 一般地 形如 通過(guò)換元 注意此時(shí) t 的范圍 yaxbcxd cxdt 例 5 求的值域612 31yxx 解 令則31tx 0 t 2 31xt 所以 2 612 31223yxxtt 2 15 2 22 t 當(dāng) t 0 時(shí) y 有最小值 3 于是的值域?yàn)?612 31yxx 3 六 分類(lèi)討論法 通過(guò)分類(lèi)討論函數(shù)定義域 x 的符號(hào)去求值域 例 6 求的值域 2 22 x y xx 解 2 2 2 00 11 0 22111 22 12 22 xy x xy xx xxx 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 3 因?yàn)?所以 即 1 0 x 2 111 2 1 22x 10y 當(dāng) 0 x 當(dāng)時(shí) 2 2 2 11 22111 22 12 22 x y xx xxx 而 即 2 111 2 22x 1 2 02y 綜上 的值域?yàn)?2 22 x