上海市長寧嘉定區2019屆高三二模數學試卷2019.4一. 填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1. 已知集合，則_2. 已知復數滿足（是虛數單位），則_3. 已知線性方程組的增廣矩陣為，解為，則_4. 在的二項展開式中，項的系數為_5. 已知圓錐的主視圖為圖所示，則該圓錐的側面積是_6. 已知實數、滿足，則的最大值為_7. 設函數（其中為常數）的反函數為，若函數的圖像經過點，則方程解為_8. 學校從3名男同學和2名女同學中任選2人到虹橋樞紐參加為期一天的春運志愿者服務活動，則選出的2人中至少有1名女同學的概率為_（結果用數值表示）9. 已知直線（為參數）與拋物線相交于、兩點，若線段中點的坐標為，則線段的長為_10. 在中，已知，為線段上的一點，且滿足，若的面積為，則的最小值為_11. 已知有窮數列共有項，記數列所有項的和為，第二及以后所有項的和為， ，第（）及以后所有項的和為，若是首項為1公差為2的等差數列前項的和，則當時，_12. 已知定義在上的奇函數滿足：，且當時，若對于任意，都有，則實數的取值范圍為_二. 選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13. 已知，則“”是“”的（ ）條件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要14. 產能利用率是指實際產出與生產能力的比率,工業產能利用率是衡量工業生產經營狀況的重要指標，下圖為國家統計局發布的2015年至2018年第2季度我國工業產能利用率的折線圖在統計學中，同比是指本期統計數據與上一年同期統計數據相比較，例如2016年第二季度與2015年第二季度相比較；環比是指本期統計數據與上期統計數據相比較，例如2015年第二季度與2015年第一季度相比較.根據上述信息，下列結論中正確的是（ ）A. 2015年第三季度環比有所提高 B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高 D. 2018年第一季度環比有所提高15. 已知圓的圓心為，過點且與軸不重合的直線交圓于、兩點，點在點與點之間，過點作直線的平行線交直線于點，則點的軌跡是（ ）A. 圓的一部分 B. 橢圓的一部分 C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分16. 對于，若存在，滿足，則稱為“類三角形”，“類三角形”一定滿足（ ）A. 有一個內角為30 B. 有一個內角為45C. 有一個內角為60 D. 有一個內角為75三. 解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知正四棱柱的底面邊長為1，與底面所成角為.（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.18. 已知函數.（1）若，且，求的值；（2）求函數的最小正周期，及函數在上的遞減區間.19. 為了在夏季降溫和冬季取暖時減少能源消耗，業主決定對房屋的屋頂和外墻噴涂某種新型隔熱材料，該材料有效使用年限為20年，已知該房屋外表噴涂一層這種隔熱材料的費用為6萬元/毫米厚，且每年的能源消耗費用（萬元）與隔熱層厚度（毫米）滿足關系：（），設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.（1）解釋的實際意義，并求的表達式；（2）求隔熱層噴涂多厚時，業主的所付總費用最小？并計算與不建隔熱層比較，業主節省多少錢？20. 已知橢圓的左、右焦點分別為、, 過的直線與橢圓交于、兩點.（1）求的周長；（2）設點為橢圓的上頂點，點在第一象限，點在線段上，若，求點的橫坐標；（3）設直線不平行于坐標軸，點為點關于軸的對稱點，直線與軸交于點. 求面積的最大值.21. 記無窮數列的前項中最大值為，最小值為，令.（1）若，寫出、的值；（2）設，若，求的值，及時數列的前項和；（3）求證：“數列是等差數列”的充要條件是“數列是等差數列”.參考答案一. 填空題1. 2. 5 3. 3 4. 215. 6. 2 7. 8. 9. 8 10. 11. 12. 二. 選擇題13. A 14. C 15. C 16. B三. 解答題17（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）解：（1）因為是正四棱柱，所以底面 為正方形，平面， 1分所以就是與底面所成角，即. 3分進而得， 4分 8分（2）因為，所以就是異面直線與所成角， 2分由知，所以異面直線與所成角為 4分18（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：（1）因為，且，所以， 3分所以 6分（2） 1分 3分所以的最小正周期為 5分當時，再由得，函數在上的遞減區間為 7分19（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）解：（1）表示不噴涂隔熱材料時該房屋能源消耗費用為每年8萬元2分設隔熱層建造厚度為毫米，則 7分（2） 3分當，即時取等號 所以當隔熱層厚度為時總費用最小70萬元. 5分如果不建隔熱層，20年業主將付能源費萬元，所以業主節省90萬元. 7分20（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）解：（1）橢圓的長軸長為4，由橢圓定義知，的周長為8； 4分（2）由橢圓方程得， 2分設，由，得， 3分點線段上，所以滿足方程為 4分將式代入，得， 5分代入橢圓方程，得，因為，所以. 6分（3）設，直線的方程為.則點的坐標為，直線的方程為， 3分將直線方程代入橢圓方程得：，則， 所以 ， 5分 所以面積的最大值為 . 6分21（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）解：（1）因為，所以，.所以，. 4分（2），.當時，無解；當時，無解；當時，解得；當時，無解. 2分此時，當時，所以當時遞增， 4分，所以當時， 6分（3）必要性：數列是等差數列，設其公差為.當時是遞增數列；當時是常數列；當時，是遞減數列；都有，所以數列是等差數列. 2分充分性：數列是等差數