1 高高 中中 數數 學學 基本知識基本知識 基本思想基本思想 基本方法基本方法 一 集合與簡易邏輯 1 必須弄清集合的元素是什么 是函數關系中自變量的取值 還是因變量的取值 還是 曲線上的點 2 數形結合是解集合問題的常用方法 解題時要盡可能地借助數軸 直角坐標系或韋恩 圖等工具 將抽象的代數問題具體化 形象化 直觀化 然后利用數形結合的思想方法 解決 3 一個語句是否為命題 關鍵要看能否判斷真假 陳述句 反詰問句都是命題 而祁使 句 疑問句 感嘆句都不是命題 4 判斷命題的真假要以真值表為依據 原命題與其逆否命題是等價命題 逆命題與其 否命題是等價命題 一真俱真 一假俱假 當一個命題的真假不易判斷時 可考慮判 斷其等價命題的真假 5 判斷命題充要條件的三種方法 1 定義法 2 利用集合間的包含關系判斷 若 則 A 是 B 的充分條件或 B 是 A 的必要條件 若 A B 則 A 是 B 的充要條件 BA 3 等價法 即利用等價關系判斷 對于條件或結論是不等關系 或 ABBA 否定式 的命題 一般運用等價法 6 1 含 n 個元素的集合的子集個數為 2n 真子集 非空子集 個數為 2n 1 2 BBAABABA 3 BCACBACBCACBAC IIIIII 二 函數 研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則 1 復合函數的有關問題 1 復合函數定義域求法 若已知 f x 的定義域為 a b 其復合函數 f g x 的定 義域由不等式 a g x b 解出即可 若已知 f g x 的定義域為 a b 求 f x 的定義 域 相當于 x a b 時 求 g x 的值域 即 f x 的定義域 2 復合函數的單調性由 同增異減 判定 2 函數的奇偶性 1 若 f x 是偶函數 那么 f x f x xf 2 定義域含零的奇函數必過原點 可用于求參數 3 判斷函數奇偶性可用定義的等價形式 f x f x 0 或 f x 0 1 xf xf 4 若所給函數的解析式較為復雜 應先化簡 再判斷其奇偶性 5 奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性 偶函數在對稱的單調區間內有相反 的單調性 3 函數圖像 或方程曲線的對稱性 2 1 證明函數圖像的對稱性 即證明圖像上任意點關于對稱中心 對稱軸 的對稱點仍 在圖像上 2 證明圖像 C1與 C2的對稱性 即證明 C1上任意點關于對稱中心 對稱軸 的對稱點 仍在 C2上 反之亦然 3 曲線 C1 f x y 0 關于 y x a y x a 的對稱曲線 C2的方程為 f y a x a 0 或 f y a x a 0 4 曲線 C1 f x y 0 關于點 a b 的對稱曲線 C2方程為 f 2a x 2b y 0 5 若函數 y f x 對 x R 時 f a x f a x 恒成立 則 y f x 圖像關于直線 x a 對稱 6 函數 y f x a 與 y f b x 的圖像關于直線 x 對稱 2 ba 4 函數的周期性 1 y f x 對 x R 時 f x a f x a 或 f x 2a f x a 0 恒成立 則 y f x 是 周期為 2a 的周期函數 2 若 y f x 是偶函數 其圖像又關于直線 x a 對稱 則 f x 是周期為 2 a 的周 期函數 3 若 y f x 奇函數 其圖像又關于直線 x a 對稱 則 f x 是周期為 4 a 的周期 函數 4 若 y f x 關于點 a 0 b 0 對稱 則 f x 是周期為 2的周期函數 ba 5 y f x 的圖象關于直線 x a x b a b 對稱 則函數 y f x 是周期為 2的周ba 期函數 6 y f x 對 x R 時 f x a f x 或 f x a 則 y f x 是周期為 2 1 xf 的周期函數 a 5 方程 k f x 有解k D D 為 f x 的值域 6 a f x a f x max a f x a f x min 7 1 a 0 a 1 b 0 n R n a a bb n loglog 2 l og a N a 0 a 1 b 0 b 1 a N b b log log 3 l og a b 的符號由口訣 同正異負 記憶 4 a log a N N a 0 a 1 N 0 8 能熟練地用定義證明函數的單調性 求反函數 判斷函數的奇偶性 9 判斷對應是否為映射時 抓住兩點 1 A 中元素必須都有象且唯一 2 B 中元 素不一定都有原象 并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象 10 對于反函數 應掌握以下一些結論 1 定義域上的單調函數必有反函數 2 奇函數的反函數也是奇函數 3 定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數 4 周期函數不存在反函數 5 互為反函數的兩個函數具有相同的單調性 5 y f x 與 y f 1 x 互為反函數 設 f x 的定義域為 A 值域為 B 則有 f f 1 x x x B f 1 f x x x A 3 11 處理二次函數的問題勿忘數形結合 二次函數在閉區間上必有最值 求最值問題用 兩看法 一看開口方向 二看對稱軸與所給區間的相對位置關系 12 恒成立問題的處理方法 1 分離參數法 2 轉化為一元二次方程的根的分布 列不等式 組 求解 13 依據單調性 利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題 0f b 0f a 0f b 0f a b u a0 0 或 或xhuxguf 14 掌握函數的圖象和性質 0 0 c x c xyacb cx acb a cx bax y 函 數 cx acb a cx bax y b ac 0 0 a x a xy 定 義 域 cc 0 0 值 域 aa 2 2 aa 奇 偶 性 非奇非偶函數奇函數 單 調 性 當 b ac 0 時 分別在 上單調遞 cc 減 當 b ac0 b 0 時要符合 一正二定ab2 三相等 注意均值不等式的一些變形 如 22 22 2 2 2 ba ab baba 七 直線和圓的方程 1 設三角形的三個頂點是 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 則 ABC 的重心 G 為 3 3 321321 yyyxxx 2 直線 l1 A1x B1y C1 0 與 l2 A2x B2y C2 0 垂直的充要條件是 A1A2 B1B2 0 3 兩條平行線 Ax By C1 0 與 Ax By C2 0 的距離是 22 21 BA CC d 4 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圓的充要條件 A C 0 且 B 0 且 D2 E2 4AF 0 5 過圓 x2 y2 r2上的點 M x0 y0 的切線方程為 x0 x y0y r2 6 以 A x1 y2 B x2 y2 為直徑的圓的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 7 求解線性規劃問題的步驟是 1 根據實際問題的約束條件列出不等式 2 作出 可行域 寫出目標函數 3 確定目標函數的最優位置 從而獲得最優解 八 圓錐曲線方程 1 橢圓焦半徑公式 設 P x0 y0 為橢圓 a b 0 上任一點 焦點為 F1 1 2 2 2 2 b y a x c 0 F2 c 0 則 e 為離心率 0201 exaPFexaPF 2 雙曲線焦半徑公式 設 P x0 y0 為雙曲線 a 0 b 0 上任一點 焦點 1 2 2 2 2 b y a x 為 F1 c 0 F2 c 0 則 1 當 P 點在右支上時 0201 exaPFexaPF 6 2 當 P 點在左支上時 e 為離心率 0201 exaPFexaPF 另 雙曲線 a 0 b 0 的漸進線方程為 1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 3 拋物線焦半徑公式 設 P x0 y0 為拋物線 y2 2px p 0 上任意一點 F 為焦點 則 y2 2px p 0 上任意一點 F 為焦點 則 2 0 p xPF 2 0 p xPF 4 涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題 5 共漸進線的雙曲線標準方程為為參數 0 x a b y 2 2 2 2 b y a x 6 計算焦點弦長可利用上面的焦半徑公式 一般地 若斜率為 k 的直線被圓錐曲線所截得的弦為 AB A B 兩點分別為 A x1 y1 B x2 y2 則弦長 4 1 1 21 2 21 2 12 2 xxxxkxxkAB 這里體現了解析幾何 設而不求 4 1 1 1 1 21 2 21 2 12 2 yyyy k yy k 的解題思想 7 橢圓 雙曲線的通徑 最短弦 為 焦準距為 p 拋物線的通徑為 2p 焦準 a b22 c b2 距為 p 雙曲線 a 0 b 0 的焦點到漸進線的距離為 b 1 2 2 2 2 b y a x 8 中心在原點 坐標軸為對稱軸的橢圓 雙曲線方程可設為 Ax2 Bx2 1 9 拋物線 y2 2px p 0 的焦點弦 過焦點的弦 為 AB A x1 y1 B x2 y2 則有如下結 論 1 x1 x2 p 2 y1y2 p2 x1x2 AB 4 2 p 10 過橢圓 a b 0 左焦點的焦點弦為 AB 則 過 1 2 2 2 2 b y a x 2 21 xxeaAB 右焦點的弦 2 21 xxeaAB 11 對于 y2 2px p 0 拋物線上的點的坐標可設為 y0 以簡化計算 p y 2 2 0 12 處理橢圓 雙曲線 拋物線的弦中點問題常用代點相減法 設 A x1 y1 B x2 y2 為橢圓 a b 0 上不同的兩點 M x0 y0 是 AB 的中點 則 KABKOM 對 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 a b 于雙曲線 a 0 b 0 類似可得 KAB KOM 對于 y2 2px p 0 拋物線 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 a b 有 KAB 21 2 yy p 13 求軌跡的常用方法 1 直接法 直接通過建立 x y 之間的關系 構成 F x y 0 是求軌跡的最基本的 方法 2 待定系數法 所求曲線是所學過的曲線 如直線 圓錐曲線等 可先根據條件列 出所求曲線的方程 再由條件確定其待定系數 代回所列的方程即可 7 3 代入法 相關點法或轉移法 若動點 P x y 依賴于另一動點 Q x1 y1 的變化而 變化 并且 Q x1 y1 又在某已知曲線上 則可先用 x y 的代數式表示 x1 y1 再將 x1 y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程 4 定義法 如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義 則可由曲線的定義直 接寫出方程 5 參數法 當動點 P x y 坐標之間的關系不易直接找到 也沒有相關動點可用時 可考慮將 x y 均用一中間變量 參數 表示 得參數方程 再消去參數得普通方程 九 直線 平面 簡單幾何體 1 從一點 O 出發的三條射線 OA OB OC 若 AOB AOC 則點 A 在平面 BOC 上的射 影在 BOC 的平分線上 2 已知 直二面角 M AB N 中 AE M BF N EAB ABF 異面直線 AE 1 2 與 BF 所成的角為 則 coscoscos 21 3 立平斜公式 如圖 AB 和平面所成的角是 AC 在平面內 AC 和 AB 的射影 AB 成 1 2 設 BAC 則 coscos cos 3 1 2 3 4 異面直線所成角的求法 1 平移法 在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點 作另一條的平行線 2 補形法 把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體 如正方體 平行六面體 長方 體等 其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系 5 直線與平面所成的角 斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角 它的三條邊分別是平面的垂線段 斜線 段及斜線段在平面上的射影 通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段 垂足和斜 足的連線 是產生線面角的關鍵 6 二面角的求法 1 定義法 直接在二面角的棱上取一點 特殊點 分別在兩個半平面內作棱的垂線 得出平面角 用定義法時 要認真觀察圖形的特性 2 三垂線法 已知二面角其中一個面內一點到一個面的垂線 用三垂線定理或逆定 理作出二面角的平面角 3 垂面法 已知二面角內一點到兩個面的垂線時 過兩垂線作平面與兩個半平面的 交線所成的角即為平面角 由此可知 二面角的平面角所在的平面與棱垂直 4 射影法 利用面積射影公式 S射 S原cos 其中為平面角的大小 此方法不必 在圖形中畫出平面角 特別 對于一類沒有給出棱的二面角 應先延伸兩個半平面 使之相交出現棱 然后 再選用上述方法 尤其要考慮射影法 7 空間距離的求法 1 兩異面直線間的距離 高考要求是給出公垂線 所以一般先利用垂直作出公垂線 然后再進行計算 2 求點到直線的距離 一般用三垂線定理作出垂線再求解 3 求點到平面的距離 一是用垂面法 借助面面垂直的性質來作 因此 確定已知 面的垂面是關鍵 二是不作出公垂線 轉化為求三棱錐的高 利用等體積法列方程求解 A 8 8 正棱錐的各側面與底面所成的角相等 記為 則 S側cos S底 9 已知 長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有 cos2 cos2 cos2 1 若長方體的體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為 則有 cos2 cos2 cos2 2 10 正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長 11 歐拉公式 如果簡單多面體的頂點數為 V 面數為 F 棱數為 E 那么 V F E 2 并且 棱數 E 各頂點連著的棱數和的一半 各面邊數和的一半 12 球的體積公式 V 表面積公式 掌握球面上兩點 A B 間的距離求 3 3 4 R 2 4 RS 法 1 計算線段 AB 的長 2 計算球心角 AOB 的弧度數 3 用弧長公式計算劣 弧 AB 的長 十 排列組合和概率 1 排列數公式 n n 1 n 2 n m 1 m n m n N 當 m n 時為全排 m n A mn n 列 n n 1 n 2 3 2 1 n n A 2 組合數公式 m n 123 2 1 1 1 mmm mnnn m A C m nm n 1 0 n nn CC 3 組合數性質 r n r n r n mn n m n CCCCC 1 1 4 常用性質 n n n 1 n 即 1 r n 1 1 n n n n n n AAnA 1 11 r r r n r r r r CCCC 5 二項式定理 1 掌握二項展開式的通項 2 1 0 1 nrbaCT rrnr nr 2 注意第 r 1 項二項式系數與第 r 1 系數的區別 6 二項式系數具有下列性質 1 與首末兩端等距離的二項式系數相等 2 若 n 為偶數 中間一項 第 1 項 的二項式系數最大 若 n 為奇數 中間兩項 2 n 第和 1 項 的二項式系數最大 2 1 n 2 1 n 3 2 2 13120210 n nnnn nn nnnn CCCCCCCC 7 F x ax b n展開式的各項系數和為 f 1 奇數項系數和為 偶數 1 1 2 1 ff 項的系數和為 1 1 2 1 ff 8 等可能事件的概率公式 1 P A 2 互斥事件分別發生的概率公式為 m n P A B P A P B 3 相互獨立事件同時發生的概率公式為 P AB P A P B 9 4 獨立重復試驗概率公式 Pn k 5 如果事件 A B 互斥 那么事 1 knkk n ppC 件 A 與 與及事件與也都是互斥事件 6 如果事件 A B 相互獨立 那BABAB 么事件 A B 至少有一個不發生的概率是 1 P AB 1 P A P B 6 如果事件 A B 相互獨立 那么事件 A B 至少有一個發生的概率是 1 P 1 P A BA P B 理科選修內容基本知識理科選修內容基本知識 十 概率與統計 1 理解隨機變量 離散型隨機變量的定義 能夠寫出離散型隨機變量的分布列 由概率 的性質可知 任意離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 1 2 二項分布 記作 B n p 其中 n p 為參數 并記 knkk n qpCkP pnkbqpC knkk n 3 記住以下重要公式和結論 x1X2 xn PP1P2 Pn 1 期望值 E x1p1 x2p2 xnpn 2 方差 D nn pExpExpEx 2 2 2 21 2 1 3 標準差 DabaDbaEbaED 2 4 若 B n p 則 E np D npq 這里 q 1 p 4 掌握抽樣的三種方法 1 簡單隨機抽樣 包括抽簽法和隨機數表法 2 系統 抽樣 也叫等距離抽樣 3 分層抽樣 常用于某個總體由差異明顯的幾部分組成的 情形 5 總體分布的估計 用樣本估計總體 是研究統計問題的一個基本思想方法 一般地 樣本容量越大 這種估計就越精確 要求能畫出頻率分布表和頻率分布直方圖 6 正態總體的概率密度函數 式中是參數 分別表示 2 1 2 2 2 Rxexf x 總體的平均數與標準差 7 正態曲線的性質 1 曲線在 x 時處于最高點 由這一點向左 向右兩邊延伸 時 曲線逐漸降低 2 曲線的對稱軸位置由確定 曲線的形狀由確定 越大 曲線 越矮胖 反過來曲線越高瘦 3 曲線在 x 軸上方 并且關于直線 x 對稱 8 利用標準正態分布的分布函數數值表計算一般正態分布的概率 2 N 10 P x1 x2 可由變換而得 于是有 P x1 x2 t x x xF 12 xx 9 假設檢驗的基本思想 1 提出統計假設 確定隨機變量服從正態分布 2 N 2 確定一次試驗中的取值 a 是否落入范圍 3 作出推斷 如果 3 3 a 接受統計假設 如果 a 由于這是小概率事 3 3 3 3 件 就拒絕假設 十一 極限 1 與自然數有關的命題常用數學歸納法證明 其步驟是 1 驗證命題對于第一個自 然數 n n0 k n0 時成立 2 假設 n k 時成立 從而證明當 n k 1 時命題也成立 3 得出結論 數學歸納法是一種完全歸納法 其中兩步在推理中的作用是 第一步 是遞推的基礎 第二步是遞推的依據 二者缺一不可 第二步證明時要一湊假設 二湊 結論 2 數列極限 1 掌握數列極限的直觀描述性定義 2 掌握數列極限的四則運算法 則 注意其適用條件 一是數列 an bn 的極限都存在 二是僅適用于有限個數列的 和 差 積 商 對于無限個數列的和 或積 應先求和 或積 再求極限 3 常用的幾個數列極限 C 為常數 1 q 為CC n lim 0 1 lim n n 0lim n n qa 常數 4 無窮遞縮等比數列各項和公式 0 q a SS n n 1 lim 11 q 3 函數的極限 1 當 x 趨向于無窮大時 函數的極限為 a axfxf nn lim lim 2 當時函數的極限為 a 0 xx axfxf xxxx lim lim 00 3 掌握函數極限的四則運算法則 4 函數的連續性 1 如果對函數 f x 在點 x x0處及其附近有定義 而且還有 就說函數 f x 在點 x0處連續 2 若 f x 與 g x 都在點 x0處連 lim 0 0 xfxf xx 續 則 f x g x f x g x g x 0 也在點 x0處連續 3 若 u x 在點 x0 xg xf 處連續 且 f u 在 u0 u x0 處連續 則復合函數 f u x 在點 x0處也連續 5 初等函數的連續性 指數函數 對數函數 三角函數等都屬于基初等函數 基本初等 函數在定義域內每一點處都連續 基本初等函數及常數函數經有限次四則運算和復合后 所得到的函數 都是初等函數 初等函數在定義域內每一點處都連續 連續函數的極限運 算 如果函數在點 x0處有極限 那么 lim 0 0 xfxf xx 十二 導數 11 1 導數的定義 f x 在點 x0處的導數記作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 2 根據導數的定義 求函數的導數步驟為 1 求 函數的增量 2 2 求平均變化率 xfxxfy x xfxxf x y 3 取極限 得導數 x y xf x 0 lim 3 可導與連續的關系 如果函數 y f x 在點 x0處可導 那么函數 y f x 在點 x0處連續 但是 y f x 在點 x0處連續卻不一定可導 4 導數的幾何意義 曲線 y f x 在點 P x0 f x0 處的切線的斜率是相應 0 x f 地 切線方程是 000 xxxfyy 5 導數的四則運算法則 2 v vuvu v u vuvuuvvuvu 6 常見函數的導數公式 cosx sinxQ mmx x C0 1 mm 為常數C log 1 log x 1 lnxlna a a e e sinx cosx e a x a xxxx x 7 復合函數的導數 xux uyy 8 導數的應用 1 利 用導數判斷函數的單調性 設函數 y f x 在某個區間內可導 如果那么 0 x f f x 為增函數 如果那么 f x 為減函數 如果在某個區間內恒有 0 x f 那么 f x 為常數 0 x f 2 求可導函數極值的步驟 求導數 求方程的根 檢驗 x f 0 x f 在方程根的左右的符號 如果左正右負 那么函數 y f x 在這個根處 x f 0 x f 取得最大值 如果左負右正 那么函數 y f x 在這個根處取得最小值 3 求可導函數最大值與最小值的步驟 求 y f x 在 a b 內的極值 將 y f x 在各極值點的極值與 f a f b 比較 其中最大的一個為最大值 最小的一個是最 小值 十四 復數 1 理解復數 實數 虛數 純虛數 模 輻角 輻角主值 共軛復數的概念和復數的幾 何表示 2 熟練掌握 靈活運用以下結論 1 a bi c dia c 且 c d a b c d R 2 復數是 實數的條件 z a bi Rb 0 a b R z Rz z Rz2 0 z 3 復數是純虛數的條件 z a bi 是純虛數a 0 且 b 0 a b R z 是純虛數 z 0 z 0 z 是純虛數z2 0 z 12 4 解答復數問題 要學會從整體的角度出發去分析和求解 整體思想貫穿整個復數內容 如果遇到復數就設 z a bi a b R 則有時會給問題的解答帶來不必要的運算上困難 若能把握住復數的整體性質 充分運用整體思想 則能事半功倍 5 復數的代數形式及其運算 1 復數的加 減 乘 除運算按以下法則進行 設 z1 a bi z2 c di a b c d R z 1 z2 a b c d i z1 z2 a bi c di ac bd ad bc I z1 z2 z2 0 i dc adbc dc bdac 2222 6 幾個重要的結論 zzz 3 2 2 1 2 2222 2 2 1 2 21 2 21 為虛數 則若zzzzzzzzzz 6 運算律仍然成立 1 3 2 2121 Nnmzzzzzzzzz mm mmnnmnmnm 7 進行復數的運算時 常要注意或適當變形創造條件 從而轉化為關于 的性質 i 計算問題 注意以下結論的靈活應用 的 i 1 1 1 1 2 2 1 1 2 i i i i i i ii 0 4 0 3 32121 NniiiiNn nnnnnnn 8 z zzzz 1 11 文科選修內容基本知識文科選修內容基本知識 十 抽樣方法 總體分布的估計與總體的期望和方差 1 掌握抽樣的二種方法 1 簡單隨機抽樣 包括抽簽符和隨機數表法 2 分層 抽樣 常用于某個總體由差異明顯的幾部分組成的情形 2 總體分布的估計 用樣本估計總體 是研究統計問題的一個基本思想方法 一般地 樣本容量越大 這種估計就越精確 要求能畫出頻率分布表和頻率分布直方圖 3 總體特征數的估計 1 學會用樣本平均數去估計總 n i in x n xxx n x 1 21 1 1 體平均數 2 學會用樣本方差 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n 去估計總體方差及總體標準差 2 學會用修正的樣 1 1 2 1 22 1 xnx n xx n n i i n i i 2 本方差去估計總體方差 會用 1 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n 2 去估計 S 十一 導數及應用 1 導數的定義 f x 在點 x0處的導數記作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 2 根據導數的定義 求函數的導數步驟為 1 求函數的增量 xfxxfy 2 求平均變化率 x xfxxf x y 13 3 取極限 得導數 x y xf x 0 lim 3 導數的幾何意義 曲線 y f x 在點 P x0 f x0 處的切線的斜率是相應 0 x f 地 切線方程是 000 xxxfyy 4 常見函數的導數公式 Q mmx x C0 1 mm 為常數C 5 導數的應用 1 利用導數判斷函數的單調性 設函數 y f x 在某個區間內可導 如果那么 f x 為增函數 如果那么 f x 為減函數 如果在某個區 0 x f 0 x f 間內恒有那么 f x 為常數 0 x f 2 求可導函數極值的步驟 求導數 求方程的根 檢驗 x f 0 x f 在方程根的左右的符號 如果左正右負 那么函數 y f x 在這個根處 x f 0 x f 取得最大值 如果左負右正 那么函數 y f x 在這個根處取得最小值 3 求可導函數最大值與最小值的步驟 求 y f x 在 a b 內的極值 將 y f x 在各極值點的極值與 f a f b 比較 其中最大的一個為最大值 最小的一個是最 小值 中學數學重要數學思想中學數學重要數學思想 一 函數方程思想函數方程思想 函數方程思想就是用函數 方程的觀點和方法處理變量或未知數之間的關系 從而解決問題 的一種思維方式 是很重要的數學思想 1 函數思想 把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數關系表達出來 并研究這些量間 的相互制約關系 最后解決問題 這就是函數思想 2 應用函數思想解題 確立變量之間的函數關系是一關鍵步驟 大體可分為下面兩個步驟 1 根據題意建立變量之間的函數關系式 把問題轉化為相應的函數問題 2 根據需要 構造函數 利用函數的相關知識解決問題 3 方程思想 在某變化過程中 往往需要根 據一些要求 確定某些變量的值 這時常常列出這些變量的方程或 方程組 通過解方程 或方程組 求出它們 這就是方程思想 3 函數與方程是兩個有著密切聯系的數學概念 它們之間相互滲透 很多方程的問題需要用 函數的知識和方法解決 很多函數的問題也需要用方程的方法的支援 函數與方程之間的辯 證關系 形成了函數方程思想 二 數形結合思想數形結合思想 數形結合是中學數學中四種重要思想方法之一 對于所研究的代數問題 有時可研究其對應 幾何的性質使問題得以解決 以形助數 或者對于所研究的幾何問題 可借助于對應圖形 的數量關系使問題得以解決 以數助形 這種解決問題的方法稱之為數形結合 1 數形結合與數形轉化的目的是為了發揮形的生動性和直觀性 發揮數的思路的規范性與嚴 密性 兩者相輔相成 揚長避短 2 恩格斯是這樣來定義數學的 數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學 這 就是說 數形結合是數學的本質特征 宇宙間萬事萬物無不是數和形的和諧的統一 因此 數學學習中突出數形結合思想正是充分把握住了數學的精髓和靈魂 14 3 數形結合的本質是 幾何圖形的性質反映了數量關系 數量關系決定了幾何圖形的性質 4 華羅庚先生曾指出 數缺性時少直觀 形少數時難入微 數形結合百般好 隔裂分家萬 事非 數形結合作為一種數學思想方法的應用大致分為兩種情形 或借助于數的精確性來 闡明形的某些屬性 或者借助于形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系 5 把數作為手段的數形結合主要體現在解析幾何中 歷年高考的解答題都有關于這個方面的 考查 即用代數方法研究幾何問題 而以形為手段的數形結合在高考客觀題中體現 6 我們要抓住以下幾點數形結合的解題要領 1 對于研究距離 角或面積的問題 可直接從幾何圖形入手進行求解即可 2 對于研究函數 方程或不等式 最值 的問題 可通過函數的圖象求解 函數的零點 頂點是關鍵點 作好知識的遷移與綜合運用 3 對于以下類型的問題需要注意 3 2 1 22 ByAx bx ay byax 可分別通過構造距離函數 斜率函數 截距函數 單位 5 sin cos 4 22 babaF 圓 x2 y2 1 上的點及余弦定理進行轉化達到解題目的 sin cos 三 分類討論的數學思想分類討論的數學思想 分類討論是一種重要的數學思想方法 當問題的對象不能進行統一研究時 就需要對研究的 對象進行分類 然后對每一類分別研究 給出每一類的結果 最終綜合各類結果得到整個問 題的解答 1 有關分類討論的數學問題需要運用分類討論思想來解決 引起分類討論的原因大致可歸納 為如下幾種 1 涉及的數學概念是分類討論的 2 運用的數學定理 公式 或運算性質 法則是分類給出的 3 求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性 4 數學問題中含有參變量 這些參變量的不同取值導致不同的結果的 5 較復雜或非常規的數學問題 需要采取分類討論的解題策略來解決的 2 分類討論是一種邏輯方法 在中學數學中有極廣泛的應用 根據不同標準可以有不同的分 類方法 但分類必須從同一標準出發 做到不重復 不遺漏 包含各種情況 同時要有利 于問題研究 四 化歸與轉化思想化歸與轉化思想 所謂化歸思想方法 就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉 化 進而達到解決的一種方法 一般總是將復雜的問題通過變化轉化為簡單的問題 將難解 問題通過變換轉化為容易求解的問題 將未解決的問題轉化為已解決的問題 立體幾何中常用的轉化手段有立體幾何中常用的轉化手段有 1 通過輔助平面轉化為平面問題 把已知元素和未知元素聚集在一個平面內 實現點線 線 線 線面 面面位置關系的轉化 2 平移和射影 通過平移或射影達到將立體幾何問題轉化為平面問題 化未知為已知的目的 3 等積與割補 4 類比和聯想 5 曲與直的轉化 6 體積比 面積比 長度比的轉化 7 解析幾何本身的創建過程就是 數 與 形 之間互相轉化的過程 解析幾何把數學的主 15 要研究對象數量關系與幾何圖形聯系起來 把代數與幾何融合為一體 中學數學常用解題方法中學數學常用解題方法 1 配方法配方法 配方法是指將一代數形式變形成一個或幾個代數式平方的形式 其基本形式是 ax2 bx c 高考中常見的基本配方形式有 0 4 4 2 2 2 a a bac a b xa 1 a2 b2 a b 2 2a b a b 2 2 ab 2 2 a2 b2 ab 22 2 3 2 1 bba 3 3 a2 b2 c2 a b c 2 2 ab 2 a c 2 bc 4 4 a2 b2 c2 a b bc a c a b 2 b c 2 a c 2 2 1 5 2 1 1 2 2