難點 4 三個“二次”及關系 三個“二次”即一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式是中學數學的重要內容，具有豐富的內涵和密切的聯系，同時也是研究包含二次曲線在內的許多內容的工具 次”問題有關 握函數、方程及不等式的思想和方法 . 難點磁場 已知對于 x 的所有實數值，二次函數 f(x)=4a+12(a R)的值都是非負的，求關于 x 的方程2a 1|+2 的根的取值范圍 . 案例探究 例 1已知二次函數 f(x)=bx+c 和一次函數 g(x)= 中 a、 b、 c 滿足abc,a+b+c=0,(a,b,c R). (1)求證：兩函數的圖象交于不同的兩點 A、 B； (2)求線段 x 軸上的射影 命題意圖：本題主要考查考生對函數中函數與方程思想的運用能力 題目 . 知識依托：解答本題的閃光點是熟練應用方程的知識來解決問題及數與形的完美結合 . 錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區，老是想在“形”上找解問 題的突破口，而忽略了“數” . 技巧與方法：利用方程思想巧妙轉化 . (1)證明：由 消去 y 得 bx+c=0 =44( a c)2 4(a2+ac+4 (a+43)2 2 a+b+c=0,abc, a0, 0,即兩函數的圖象交于不同的兩點 . (2)解：設方程 bx+c=0 的兩根為 x1+|=(=(x1+ 443)21(41)(44)(4444)2(2222222abc,a+b+c=0,a0,c a cc,解得( 2,21) 1)(4)( 2 ( 2,21)時，為減函數 | (3,12),故 | ( 32,3 ). 例 2已知關于 x 的二次方程 m+1=0. (1)若方程有兩根，其中一根在區間 ( 1， 0)內，另一根在區間 (1， 2)內，求 m 的范圍 . (2)若方程兩根均在區間 (0， 1)內，求 m 的范圍 . 命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題，屬級題目 . 知識依托：解答本題的閃光點是熟 知方程的根對于二次函數性質所具有的意義 . 錯解分析：用二次函數的性質對方程的根進行限制時，條件不嚴謹是解答本題的難點 . 技巧與方法：設出二次方程對應的函數，可畫出相應的示意圖，然后用函數性質加以限制 . 解： (1)條件說明拋物線 f(x)=m+1與 x 軸的交點分別在區間 ( 1， 0)和 (1， 2)內，畫出示意圖，得 65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(165 m. (2)據拋物線與 x 軸交點落在區間 (0， 1)內，列不等式組10,0,0)1(,0)0(121,21,21里 00,f(x)在區間 p,q上的最大值 M，最小值 m,令 1(p+q). 若， f( ) | + (3) 當 a0 時 ， 二 次 不 等 式 f(x)0 在 p,q 恒 成 立,0)(,2;0)(;2,0)2(,2(4)f(x)0 恒成立 ,0 ,00)(;0 ,0,0 ,0 c 恒成立或 殲滅難點訓練 一、選擇題 1.( )若不等式 (a 2)(a 2)x 40),若 f(m)0,則實數 p 的取值范圍是 _. 4.( )二次函數 f(x)的二次項系數為正，且對任意實數 x 恒有 f(2+x)=f(2 x),若f(1 2 且 a 1) (1)令 t= y=f(x)的表達式； (2)若 x (0,2 時， y 有最小值 8，求 a 和 x 的值 . 6.( )如果二次函數 y=m 3)x+1 的圖象與 x 軸的交點至少有一個在原點的右側，試求 m 的取值范圍 . 7.( )二次函數 f(x)=qx+r 中實數 p、 q、 r 滿足qm p 12=0,其中m0,求證： (1),則 f(0)0,而 f(m) 0, m (0,1), m 1 0, f(m 1)0. 答案： A 二、 需 f(1)= 23p+90 或 f( 1)= 2p2+p+10 即 3 p23或21 p 1. p ( 3, 23). 答案： ( 3，23） f(2+x)=f(2 x)知 x=2 為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標較小， |1 22| |1+2x 2|, 2 x 0. 答案： 2 x 0 三、 (1）由 t得 3=3 t=x=入上式得 x 3=xx , 3x+3，即 y=a 332 (x 0). (2)令 u=3x+3=(x23)2+43(x 0),則 y=若 0 a 1,要使 y=， 則 u=(x23)2+43在 (0， 2 上應有最大值，但 u 在 (0， 2 上不存在最大值 . 若 a1,要使 y=，則 u=(x23)2+43,x (0,2 應有最小值 當 x=23時， n=43,n= 43a 由 43a =8 得 a=16.所求 a=16,x=23. f(0)=10 (1)當 m 0 時，二次函數圖象與 x 軸有兩個交點且分別在 y 軸兩側，符合題意 . (2）當 m0 時，則030 m 1 綜上所述， m 的取值范圍是 m|m 1 且 m 0. (1) )1()1()1( 2 rm )2()1()1()2(2)1(1)1(22222()1( 122 于 f(x)是二次函數，故 p 0,又 m0,所以， 0. (2)由題意，得 f(0)=r,f(1)=p+q+r 當 p 0 時，由 (1）知 f(1 0 若 r0,則 f(0)0,又 f(1 0,所以 f(x)=0 在 (0，1有解 ; 若 r 0,則 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(2)+r=20, 又 f(1 0,所以 f(x)=0 在 (1)內有解 . 當 p 0 時同理可證 . (1）設該廠的月獲利為 y, y=(160 2x)x (500+30x)= 230x 500 由 y 1300 知 230x 500 1300 65x+900 0， (x 20)(x 45) 0，解得 20 x 45 當月產量在 20