導數(shù)與函數(shù)的單調性、極值、最值一、導數(shù)與函數(shù)的單調性題型一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性【典例1】 【2016四川卷節(jié)選】設函數(shù)f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調性；(2)證明：當x1時，g(x)0.【解析】(1)由題意得f(x)2ax(x0).當a0時，f(x)0時，由f(x)0有x，當x時，f(x)0，f(x)單調遞增.(2)證明令s(x)ex1x，則s(x)ex11.當x1時，s(x)0，所以ex1x，從而g(x)0.【規(guī)律方法】用導數(shù)討論(證明)函數(shù)f(x)在(a，b)內的單調性的步驟：(1)求f(x)；(2)確認f(x)在(a，b)內的符號；(3)作出結論：f(x)0時為增函數(shù)；f(x)0，得單調遞增區(qū)間；(4)在定義域內解不等式f(x)0.h(x)ax2.若函數(shù)h(x)在(0，)上存在單調減區(qū)間，則當x0時，ax2有解.設G(x)，所以只要aG(x)min.(*)又G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.即實數(shù)a的取值范圍是(1，).(2)由h(x)在1，4上單調遞減，當x1，4時，h(x)ax20恒成立，(*)則a恒成立，所以aG(x)max.又G(x)1，x1，4因為x1，4，所以，所以G(x)max(此時x4)，所以a.當a時，h(x)x2，x1，4，h(x)0，當且僅當x4時等號成立.(*)h(x)在1，4上為減函數(shù).故實數(shù)a的取值范圍是.【易錯警示】(1)特稱命題理解不清，不能將第(1)問轉化為ax20有解，難以得到不等式(*).錯求a的取值范圍.(2)錯誤理解“f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0，且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.”導致在第(2)問中(*)處易錯求h(x)0時，令3x2a0，得x0，f(x)0(f(x)0知：(1)當a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；(2)當a0時，令f(x)0，解得xa.又當x(0，a)時，f(x)0，從而函數(shù)f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值.綜上，當a0時，函數(shù)f(x)無極值；當a0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值.命題角度三已知極值求參數(shù)【典例13】 已知關于x的函數(shù)f(x)x3bx2cxbc在x1處有極值，試求b，c的值.【解析】f(x)x22bxc，由f(x)在x1處有極值，可得解得或若b1，c1，則f(x)x22x1(x1)20，f(x)沒有極值.若b1，c3，則f(x)x22x3(x3)(x1).當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)001f(x)極小值12極大值當x1時，f(x)有極大值，滿足題意.故b1，c3為所求.【規(guī)律方法】(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：確定函數(shù)的定義域；求導數(shù)f(x)；解方程f(x)0，求出函數(shù)定義域內的所有根；列表檢驗f(x)在f(x)0的根x0左右兩側值的符號.如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值；如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值.(2)可導函數(shù)yf(x)在點x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側與右側f(x)的符號不同.應注意，導數(shù)為零的點不一定是極值點.對含參數(shù)的求極值問題，應注意分類討論.【訓練1】 設函數(shù)f(x)ax32x2xc(a0).(1)當a1，且函數(shù)圖象過(0，1)時，求函數(shù)的極小值；(2)若f(x)在R上無極值點，求a的取值范圍. (2)若f(x)在R上無極值點，則f(x)在R上是單調函數(shù)，故f(x)0或f(x)0恒成立.當a0時，f(x)4x1，顯然不滿足條件；當a0時，f(x)0或f(1)0恒成立的充要條件是(4)243a10，即1612a0，解得a.綜上，a的取值范圍是.題型二利用導數(shù)求函數(shù)的最值【典例2】 【2017鄭州模擬】已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0，1上的最小值.【解析】(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調遞減區(qū)間是(，k1)；單調遞增區(qū)間是(k1，).(2)當k10，即k1時，函數(shù)f(x)在0，1上單調遞增，所以f(x)在區(qū)間0，1上的最小值為f(0)k，當0k11，即1k2時，由(1)知f(x)在0，k1)上單調遞減，在(k1，1上單調遞增，所以f(x)在區(qū)間0，1上的最小值為f(k1)ek1.當k11，即k2時，函數(shù)f(x)在0，1上單調遞減，所以f(x)在區(qū)間0，1上的最小值為f(1)(1k)e.綜上可知，當k1時，f(x)mink；當1k0)，若函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切，(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值.【解析】(1)由f(x)aln xbx2，得f(x)2bx(x0).函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切.解得(2)由(1)知f(x)ln xx2，則f(x)x，當xe時，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得1x0)的導函數(shù)yf(x)的兩個零點為3和0.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為e3，求f(x)在區(qū)間5，)上的最大值.【解析】(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，由于ex0.令f(x)0，則g(x)ax2(2ab)xbc0，3和0是yg(x)的零點，且f(x)與g(x)的符號相同.又因為a0，所以3x0，即f(x)0，當x0時，g(x)0，即f(x)0時，由f(x)0，得0x0，得x，f(x)在上遞減，在上遞增，即f(x)在x處有極小值.綜上，當a0時，f(x)在(0，)上沒有極值點；當a0時，f(x)在(0，)上有一個極值點.(2)函數(shù)f(x)在x1處取得極值，f(1)a10，則a1，從而f(x)x1ln x.因此f(x)bx21b，令g(x)1，則g(x)，令g(x)0，得xe2，則g(x)在(0，e2)上遞減，在(e2，)上遞增，g(x)ming(e2)1，即b1.故實數(shù)b的最大值是1.【方法總結】1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值可列表觀察函數(shù)的變化情況，直觀而且條理，減少失分.2.求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大小.3.可導函數(shù)yf(x)在點x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側與右側f(x)的符號不同.4.若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內有極值，那么yf(x)在(a，b)內絕不是單調函數(shù)，即在某區(qū)間上單調函數(shù)沒有極值.【易錯防范】1.求函數(shù)單調區(qū)間與函數(shù)極值時要養(yǎng)成列表的習慣，可使