第一章直角三角形的邊角關系230，45，60角的三角函數值素材一新課導入設計情景導入置疑導入歸納導入復習導入類比導入懸念激趣圖121置疑導入如圖121，為了測量一棵大樹的高度，準備了如下測量工具：含30和60兩個銳角的三角尺；皮尺你能利用上述測量工具測出這棵大樹的高度嗎？(用多媒體演示上面的問題，并讓學生交流各自的想法)說明與建議 說明：以生活中的實例入手，激發學生的學習熱情給學生時間，讓學生去充分思考交流討論，并由此引出新課建議：給學生充足的時間尋求解決問題的方法，在學生操作時，教師要引導學生進行思考、分析，為進一步學習積累數學活動經驗懸念激趣在剛剛過去的雙十一(11月11日)活動中，中國人創造了網購的奇跡，書寫了世界的傳奇今天是雙十二(12月12日)，網上稱之為“年末促銷全民瘋搶購物節”，必將續寫網購的傳奇本課老師也準備了幾件物美價廉的寶貝，投放進幾家商鋪進行出售，你們有沒有信心搶到呢？很好，我們先看看商鋪里面有些什么寶貝吧，看誰能搶到它們！(利用多媒體投影)商鋪：圖122說明與建議 說明：以進行網購，積極搶購訂單的形式引入新課，大大調動了學生學習的積極性，既復習了上節課的重點知識，又為本課的學習鋪平了道路建議：把知識的回顧放到“網購”中，讓學生獨立思考，解決問題素材二教材母題挖掘教材母題教材第9頁例2一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5 m，當秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為60，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差(結果精確到0.01 m)圖123【模型建立】首先從題目情境中抽象出“數學模型”，然后根據問題，從中構造出合適的直角三角形再求解這里一定要準確記憶特殊角的三角函數值.【變式變形】1如圖124，小陽發現電線桿AB在太陽光下的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD8米，BC20米，CD與地面成30角，且此時測得1米長的木桿的影長為2米，則電線桿的高度為(D)圖124A9米 B28米 C(7)米 D(142)米解析 延長BC，AD交于點E，過點D作DF垂直BC的延長線于點F.如果沒有土坡的遮擋，電線桿AB的影長應為BE.根據相同時刻物體的高度與影長成正比可得：，因此要求AB的長，需先求BE的長，而BEBCCFEF，故需求CF與EF的長在RtDCF中，DFCDsin304米，CFCDcos304米由，得EF8米，所以BE(284)米，ABBE(142)米2如圖125，為了求出湖兩岸A，B兩點之間的距離，觀測者從測點A，B分別測得BAC90，ABC30，又量得BC160 m，則A，B兩點之間的距離為_80_m(結果保留根號)解析 在RtABC中，ABBCcosABC16080(m) 圖125 圖1263. 如圖126，身高1.6 m的小美用一個兩銳角分別為30和60的三角尺測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的距離為6 m，那么這棵樹高大約為多少？(結果精確到0.1 m，其中小麗眼睛距離地面高度近似為身高)解析 樹高相當于CE，問題也就轉化為求CD與DE的和，而DE相當于小美的身高，在RtACD中利用三角函數的知識求CD就成了解題的關鍵解：在RtACD中，tan30，.CD2 m.樹高CECDDE21.65.1(m)4.如圖127，在離水面高度為5米的岸上有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子與水面的夾角為30，此人以每秒0.5米的速度收繩問8秒后船向岸邊移動了多少米？(結果精確到0.1米)解析 斜邊縮短，直角邊AC不變，導致直角邊AB的變化，所以需要先求出斜邊變化后的值，再由勾股定理即可求解解：設8秒后，點B移至點B，此時BC100.586(米)，AB(米)，船向岸邊移動的距離為55.3(米)答：8秒后船向岸邊移動了5.3米 圖127 圖1285如圖128，為了測量一條河的寬度，一測量員在河岸邊的C處測得對岸一棵樹A在正南方向，測量員向正東方向走180米到點B處，測得這棵樹在南偏西60的方向上，求河的寬度(結果保留根號)解：由題意，知ACB90，ABC30，CB180米，所以ACCBtan3018060(米)答：河寬為60米素材三 考情考向分析命題角度1 30，60角的三角函數值考查含30，60角的直角三角形的性質sin30，cos30，sin60，cos60；等腰三角形的性質等腰三角形三線合一，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵例揚州中考 如圖129，已知AOB60，點P在邊OA上，OP12，點M，N在邊OB上，PMPN.若MN2，則OM(C)圖129A.3 B4 C5 D6解析 過點P作PDOB，交OB于點D.在RtOPD中，cos60，OP12，OD6.PMPN，PDMN，MN2，MDNDMN1，OMODMD615.故選C.命題角度2 特殊角的三角函數值特殊角的三角函數值常與絕對值以及完全平方的非負性、三角形內角和定理綜合考查例邵陽中考 在ABC中，若0，則C的度數是(D)A30B45C60D90解析 0，sinA，cosB，A30，B60，則C180306090.故選D.命題角度3 利用特殊角的三角函數值計算在考查實數的運算時，往往會加入零指數冪的運算法則、絕對值的性質以及特殊角的三角函數值等，因此熟知零指數冪的運算法則、絕對值的性質及特殊角的三角函數值是解答此類題的關鍵再根據實數混合運算的法則進行計算即可例桂林中考 計算：(1)02sin60|.解：原式1212.素材四 教材習題答案P9隨堂練習1計算：(1)sin60tan45；(2)cos60tan60；(3)sin45sin602cos45.解：(1)原式1.(2)原式 .(3)原式 2.2某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30，高為7 m扶梯的長度是多少？解：設扶梯的長度為x m，則sin30，解得x14.答：扶梯的長度為14 m.P10習題1.31. 計算：(1)tan45sin30；(2)cos60sin45tan30；(3)6tan230sin602cos45.解：(1) 原式1.(2)原式.(3)原式622.2如圖，河岸AD，BC互相平行，橋AB垂直于兩岸，橋長12 m，在C處看橋兩端A，B，夾角BCA60，求B，C間的距離(結果精確到1 m)解：在RtABC中， tanC ，AB12, C60，tan60 ，解得BC47(m)答：B，C間的距離約為7 m.3如圖，SO是等腰三角形SAB的高，已知ASB120，AB54，求SO的長解：ASB是等腰三角形，ASB120，AB54，OSB60，OB27.在RtSOB中，tanOSB，SO9.4如圖，身高1.75 m的小麗用一個兩銳角分別為30和60的三角尺測量一棵樹的高度(A30)，已知她與樹之間的距離為5 m，那么這棵樹大約有多高？(結果精確到0.1 m)解：在RtADC中， tanA ，AD5, A30，tan30 ，解得CD，CEDECDABCD1.754.6(m)答：這棵樹的高度約為4.6 m.5如圖，一段長1500 m的水渠，其截面為四邊形ABCD，其中ABCD，BCAD，渠深AE0.8 m，底AB1.2 m，坡角為45，那么該段水渠最多能蓄水多少立方米？解：由題意，得DECFAE0.8 m故S四邊形ABCD(ABCD)AE1.6(m2). 故水渠最多能蓄水1.615002400(m3)6某階梯的形狀如圖所示，其中線段ABBC，AB部分的坡角為45，BC部分的坡角為30，AD1.5 m如果每個臺階的高不超過20 cm，那么這一階梯至少有多少個臺階？(最后一個臺階的高不足20 cm時，按一個臺階計算)解：14個素材五 圖書增值練習專題 特殊角的三角函數值1如圖所示，在數軸上點A所表示的數x的范圍是（）.Asin30xsin60 Bcos30xcos45 Ctan30xtan45 Dtan45xtan60ABC2如圖，已知：45A90，則下列各式成立的是（）.AsinAcosABsinAcosACsinAtanADsinAcosA3在頂角為30的等腰三角形ABC中，ABAC，若過點C作CDAB于點D，則BCD15根據圖形計算tan15 4一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，試求CD的長ABCFDE狀元筆記：【知識要點】30，45，60角的三角函數值【溫馨提示】熟記三角函數的特殊值是解題的關鍵.參考答案1D2B 解析在銳角三角函數中僅當A45時，sinAcosA，所以A選項錯誤；因為45A90，所以B45，即AB，所以BCAC，所以，即sinAcosA，B選項正確，D選項錯誤；tanA 1，sinA1，所以C選項錯誤.32解析可設CDx，用含x的代數式表示BD即可4解析過點B作BMFD于點M在ACB中，ACB90， A60，AC10，ABC30， BCACtan6010.ABCF，BCM30BMBCsin30105.CMBCcos301015.在EFD中，F90， E45，EDF45，MDBM5CDCMMD15-5素材六 數學素養提升巧用特殊角解三角函數題一 巧用“勾股數”ABCD圖“勾股數”就是滿足勾股定理的一組數據，如最常見的有3、4、5或5、12、13等，熟記常見勾股數的能給我們解題帶來便利例1 圖四邊形ABCD中，ABC=90，AB=3，BC=4，AD=13，CD=12，求四邊形ABCD的 面積分析：連結AC，由已知條件AB=3，BC=4，易知AC=5，而這時若對5、12、13這三個數不熟悉，問題就無法解決；若知道這是一組勾股數52+122=132即AC2+CD2=AD2，可得ACD=90，于是就得到一個新的直角三角形ACD，S四邊形ABCD = SABC+SACD= ABBC +ACCD=36ABCDM圖二 巧用“ 30”例2 如圖ABC中，ABC=90，AC=10，ACB=75，BDAC，垂足為D，求BD的長 分析：由條件ACB=75，可知它的余角15，由15可想到30存在，因此可作直角三角形斜邊上的中線BM，BM=AM，A=ABM，BMD=2A=30，BD= BM= AC=例3（2002年，福建福州）某市在“舊城改造”中，計劃在市內一塊如圖所示的三角形 空地上種植某種草皮，以美化環境，30米20米1503010米圖ABCD已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（ ）A450a元 B225a元 C150a元 D300a元分析：由已知中的150想到它的補角30，因此延長一邊，找到30，并構造30所ABCDE圖在的直角三角形，易找另一邊上的高，S=1030=150，答案C 例4（2002天津市）某片綠地的形狀如案圖，其中A=60， ABBC，ADCD，AB=200m，CD=100m，求AD、CD的長（精確到1m，3 1.732） 分析：本題關鍵是充分利用A=60，若連結AC，則破壞了A，因此不能連結AC，而延長AD和BC相交于E點，這樣既構造出了RtABE和RtCDE，同時又保全了A，易求得AD的長約為227m，BC的長約為146m，詳解略ABCDP如圖三 巧用“ 45”例5如圖ABC中，ABC=135，P為AC上一點，且PBA=90，CP：PA=1：2，求tanAPB分析：由ABC=135，感覺到135的補角45的存在，而45的出現 ，易聯想出等腰三角形，實現等線段之間的轉換，因此可作出輔助線，作CDAB，垂足為D，得CBD=45，CD=BD，PBCD， = =3，APB=ACD，tanAPB=tanACD= =3ABCD圖例6已知：如圖，ABC中，ABC=90，A=225，BC=3，求AB的長分析：由A=225，可想到45，于是在三角形內部構造45，作CD=AD，得CDB=45，ABCDMN7545圖再又BC=3易求BD=3，CD=AD=3 ，AB=3+3 四 巧用“ 60”例