挖掘數(shù)學(xué)新教材中的美學(xué)因素及其教育功能 挖掘數(shù)學(xué)新教材中的美學(xué)因素及其教育功能 摘要 數(shù)學(xué)美是高中新課程教學(xué)中極具挖掘潛力的內(nèi)容之一 本文通過對高中數(shù)學(xué)新教材中 教學(xué)內(nèi)容的美學(xué)因素的挖掘 闡述了數(shù)學(xué)美在培養(yǎng)學(xué)生的審美能力 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和 熱情 啟迪學(xué)生思維 開發(fā)學(xué)生智力和創(chuàng)造力 提高學(xué)生分析解決問題的能力和效率等方面 的作用 關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)美 簡潔性 對稱性 和諧性 奇異性 數(shù)學(xué)美源于人們的生產(chǎn)與生活中 是自然美的客觀反應(yīng) 普通高中 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 指出課 程目標(biāo)之一是 開闊數(shù)學(xué)視野 認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值 應(yīng)用價值和文化價值 體會數(shù)學(xué)的美 學(xué)意義 數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分 數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民所備必的一種基本素質(zhì) 對數(shù) 學(xué)的進(jìn)一步認(rèn)識和了解 可以使人獲得美的感受 數(shù)學(xué)的美不僅有生活中的美 更有思維領(lǐng) 域的美 它體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的簡潔性 和諧性 稱性性 奇異性等方面 一 挖掘新教材中的美學(xué)因素 新教材中有豐富多彩的數(shù)學(xué)美學(xué)因素 下面主要從四個方面來挖掘教材中的美學(xué)內(nèi)容 1 簡潔性 簡潔性是數(shù)學(xué)美的一個基本特征 它反映出自然的簡單性 是自然內(nèi)在的屬性 而不是人為 的簡單規(guī)定 數(shù)學(xué)的簡潔性并不是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身簡單而主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu) 方法 和表達(dá)式的簡單性 如 5 個 12 相乘 可以寫為 12 12 12 12 12 但是的表示方 法卻要簡單得多了 以同樣的簡潔表示了更復(fù)雜的內(nèi)容 勾股定理 正弦正理 余弦 定理等這些定理形式簡潔 內(nèi)容深刻 作用很大 平面的基本性質(zhì)之一 不在同一條直線 上的三點確定一個平面 體現(xiàn)了 三點定面 的簡單特性 在證明與自然數(shù)有關(guān)的問題時 數(shù)學(xué)歸納法不失為一種簡潔的方法 等差 等比數(shù)列的通項 前項 n 和可以用公式來表示 曲線和點的軌跡可以用方程來表示等等都表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美 1 對稱性 對稱性是數(shù)學(xué)美的主要表現(xiàn)形式之一 數(shù)學(xué)中的中心對稱 軸對稱和鏡面對稱 都給人以美 感 這就是數(shù)學(xué)中的對稱美 例如 幾何中的許多圖形 圓 球 圓柱 圓錐 長方體 圓 錐曲線等都體現(xiàn)了對稱美 代數(shù)中 偶函數(shù)的圖像關(guān)于 y 軸對稱 奇函數(shù)圖像的關(guān)于原點對 稱 反函數(shù)與原函數(shù)的圖像關(guān)于直線 y x 對稱都給人以賞心悅目之感 二項展開式 等公式也顯示一種對稱美 2 和諧性 數(shù)學(xué)的和諧性是指數(shù)學(xué)中部分與部分 部分與整體之間的和諧平衡與一致 通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué) 概念 規(guī)律 方法的統(tǒng)一 數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的統(tǒng)一 例如 平面幾何中梯形 三角形 平行 四邊形 矩形的面積公式 可以統(tǒng)一為 立體幾何中柱體 錐體 臺體的體 積公式可以統(tǒng)一為 解析幾何中 橢圓 雙線 拋物線的定義可以簡 單地統(tǒng)一為圓錐曲線的第二定義 引入負(fù)數(shù) 有了相反數(shù)的概念后 有理數(shù)的加法和減法得 到了統(tǒng)一 它們可以統(tǒng)一為代數(shù)和的形式 數(shù) 形本是數(shù)學(xué)研究的兩個獨立的對象 通過坐 標(biāo)系的建立 使點與數(shù)對建立了一一對應(yīng) 從而把它們統(tǒng)一為解析幾何 1 3 奇異性 數(shù)學(xué)的奇異性是指數(shù)學(xué)結(jié)論或解決問題方法的新穎 奇巧 出乎意料 往往勾起思想上的震 動 引起人們的贊賞與嘆服 在這種意義上奇異也是一種美 奇異到極點更是一種美 例如 用數(shù)形結(jié)合法 反證法 轉(zhuǎn)化法思想方法解題 用極限思想將循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)都給人以奇 特之美感 復(fù)數(shù)中 向量將復(fù)數(shù)運算與幾何統(tǒng)一起來 原函數(shù)與反函數(shù)之間的定義域與值域 的相互變換 平面圖像與空間圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系 三角形中三條高線 三條邊的中線 三 個角的平分線交一點等都體現(xiàn)了奇異美 此外 高中數(shù)學(xué)中有很多平滑曲線 如橢圓 雙曲線 拋物線 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 冪函 數(shù)的圖象 這些曲線畫起來流暢自然 無一不給人以美感的享受 正 余玄曲線 象波浪一 樣滾滾前進(jìn) 給我們運動的感覺 體驗到動感的美 二 挖掘數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的作用 高中數(shù)學(xué)新教材中 簡潔美 對稱美 和諧美 奇異美比比皆是 數(shù)學(xué)教學(xué)過程中 挖掘教 材中的美學(xué)因素 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美 體驗數(shù)學(xué)美 培養(yǎng)學(xué)生的審美觀 充分發(fā)揮數(shù)學(xué)美 在教學(xué)中的作用 將是非常有意義的工作 1 利用數(shù)學(xué)美激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情 正確的學(xué)習(xí)目的對學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)固然重要 但所學(xué)材料的情趣和審美價值卻是學(xué)習(xí)的最佳剌 激 數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)充分挖掘教材的美學(xué)因素 把數(shù)學(xué)教學(xué)組織成為發(fā)現(xiàn) 鑒賞 創(chuàng)造數(shù)學(xué)的 過程 例 1 在 橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 一節(jié)的教學(xué)中 應(yīng)始終抓住橢圓具有和諧美 對稱美的 基本特征 從定義到建系設(shè)點 從列式到布列方程 從化簡到得出標(biāo)準(zhǔn)方程 無一不可以組 織成為具有美學(xué)結(jié)構(gòu) 使學(xué)生在積極思考狀態(tài)中完成學(xué)習(xí)的一堂優(yōu)質(zhì)課 我認(rèn)為這節(jié)課的教 學(xué)應(yīng)該這樣處理 由 MF1 MF2 2a 得 教師 方程 能不能作為橢圓的方程 稍后 完全可以 但是你滿意嗎 稍后 不滿意 它不符合數(shù)學(xué)美的簡潔特征 有繼續(xù)化簡的必要 學(xué)生 此時 求簡的意識油然而生 經(jīng)兩次平方 根式化簡的常規(guī)方法 整理得 教師 此方程比方程 簡單多了 但它不完全符合數(shù)學(xué)美的要求 我們從橢圓的對稱性 期 望它的方程也應(yīng)具有對稱性 設(shè)得 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 教師最后指出 引進(jìn)的字母 b 純粹是由對美的追求人為制造出來的 通過后面的學(xué)習(xí) 我們 將會發(fā)現(xiàn)有著鮮明的幾何意義 并且果真符合對稱美的要求 教師通過精心設(shè)計 生動語言 精辟的分析 嚴(yán)密的推理 有機的聯(lián)系 定能使學(xué)生在美的 熏陶中 體會到數(shù)學(xué)美的力量 從 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)枯燥無味 中解脫出來 進(jìn)入其樂無窮的境地 這種心理上得到滿足 能不使學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)嗎 2 利用數(shù)學(xué)美培養(yǎng)學(xué)生的審美能力 2 首先教師要引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)美 體驗數(shù)學(xué)美 通過具體數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和問題的解決 點 拔蘊含其中美的因素和美的方法 加深學(xué)生對美的認(rèn)識與理解 這就要求教師在平時的教學(xué) 中不斷地挖掘教材中的數(shù)學(xué)美的內(nèi)容 例 2 對六組誘導(dǎo)公式的記憶 可以利用它們之間的和諧關(guān)系 把它們統(tǒng)一于式子 得到記憶法則只要用兩句簡潔的話 奇變偶不變 符號看象限 就可以 了 這創(chuàng)造性的語言 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美 三角恒等變換中需要記憶的公式很多 我們可 以 從 這 些 公 式 的 內(nèi) 在 聯(lián) 系 入 手 首 先 推 導(dǎo) 公 式 然 后 從 得到兩角和與差的三角函數(shù)公 式 令 又可得到兩倍角公式 作角與式的變換 又可得到降冪公 式 半角公式以及積化和差 和差化積公式 其次 教師要引導(dǎo)學(xué)生評判數(shù)學(xué)美 數(shù)學(xué)教育應(yīng)使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)美的分辨能力 在數(shù)學(xué)活 動中 善于了解和掌握各種數(shù)學(xué)信息 指導(dǎo)學(xué)生能快速 敏捷地找出數(shù)學(xué)信息的不同之處 辯出真?zhèn)?使數(shù)學(xué)信息有序化 統(tǒng)一化 例 3 一元二次方程的求根公式 這一解無 論從哪方面看都不對稱 不和諧 不美觀 但是 當(dāng)我們了解它 運用它 就會感到它的價值 它的 內(nèi)秀 這一公式會告訴我們許多信息 表示它的 2 個根 會顯示根 的數(shù)目及方程的性質(zhì) 所以當(dāng)你和它熟悉了 就會覺得它形式上不很漂亮 本質(zhì)卻是美好的 通過數(shù)學(xué)美對學(xué)生審美能力的培養(yǎng) 學(xué)生能在數(shù)學(xué)美享受中啟迪心靈 引起精神升華 陶冶 情操 提高思想品德修養(yǎng) 潛移默化地培養(yǎng)科學(xué)世界觀 形成高尚的情操和對真理的執(zhí)著追 求 3 利用數(shù)學(xué)美啟迪學(xué)生思維 開發(fā)學(xué)生智力和創(chuàng)造力 簡單性可尋求問題的最優(yōu)解答或簡縮思維過程 統(tǒng)一性可對命題作出類比 推廣和引伸 從 而發(fā)現(xiàn)新問題 對稱性可培養(yǎng)學(xué)生對立統(tǒng)一的思維方式 提供集中思維和發(fā)散思維的思路 奇異性可激發(fā)學(xué)生探索 發(fā)現(xiàn) 創(chuàng)新等精神 例 4 正方體 等邊圓柱 球的表面積相同 其體積分別為 則大小關(guān)系為 推證 設(shè)正方體的棱長為 a 等邊圓柱底面半徑為 r 球半徑為 R 則所以 而 所以 3 因為 所以 這個例題 基礎(chǔ)好的同學(xué)可以推導(dǎo)出結(jié)論 但感覺很繁 基礎(chǔ)較差的同學(xué)基本上就放棄了推 證 若我就此只教會學(xué)生推證過程 所有同學(xué)都會感到數(shù)學(xué)枯燥無味 會失去對數(shù)學(xué)的積極 情感 以致失去信心 于是我從問題與自然相互聯(lián)系的統(tǒng)一美 和諧美思考 提出兩個問題 1 氣球為什么呈球形 而不是呈正方形 圓柱形 2 人從瘦變胖 臉形怎樣變化 這時同學(xué)們活躍起來 先是不明白這與例題有何關(guān)系 再經(jīng)過討論又覺得真實可信 漸漸得 以明白 表面積 表皮 一定時 以呈球形的容積最大 再推廣 表面積 表皮 一定時 表面越光滑的幾何體體積越大 這時 我再讓學(xué)生做如下例題 例題 正四面體和等邊圓錐表面積相等 體積哪個大 學(xué)生很快答出 等邊圓錐的體積較大 至此學(xué)生已經(jīng)在不自覺中接受了這種思維 但我沒有結(jié)束問題 而又提出上述問題伴隨的問 題 使學(xué)生領(lǐng)略到思維中的奇異美 例 5 正方體 等邊圓柱 球的體積相等 其表面積分別為 S1 S2 S3 則 S1 S2 S3 的 大小關(guān)系為 這次 學(xué)生很快就得出結(jié)論 S1S2S3 并總結(jié) 體積一定的幾何體 以球的表面積最小 這樣 學(xué)生對這個數(shù)學(xué)問題的掌握 理解就比較透 也有利增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 培養(yǎng)其創(chuàng) 新意識 也正是在這樣的教與學(xué)中 蘊含著數(shù)學(xué)思維的對稱美 奇異美 和諧美 讓人有返 璞歸真的感覺 4 利用數(shù)學(xué)美提高學(xué)生分析解決問題的能力和效率 出于數(shù)學(xué)美的考慮而導(dǎo)致解題思路的設(shè)計與發(fā)現(xiàn) 叫做以美啟真 這種解題策略將數(shù)學(xué)的簡 潔美 對稱美 和諧美 奇異美與問題的條件或結(jié)論相結(jié)合 再憑借知識 經(jīng)驗與審美直覺 從而確定解題總體思路或入手方向 于是 美的啟示就幫助學(xué)生提高分析解決問題的能力 從而形成了數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法 例 6 設(shè) x y z 0 分析 由已知可看出 條件具有對稱性 字母 x y z 分別作輪換 作為 整體在輪換下保持不變 為追求欲求式中三項的和諧統(tǒng)一 審美直覺心理傾向于每個括號里 各添一項 美化成關(guān)于的統(tǒng)一式 解 原式 x y z x y z 3 3 通過數(shù)學(xué)美的指引 獲得了解題的突破口 問題得到了完美的解決 使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)美的 作用 當(dāng)學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的美學(xué)因素 所帶來的快感莫過問題的解適合心靈的需要 我 們在解題教學(xué)中若能充分注意到這一點 將會大大促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展 如此的問題要 4 5 靠我們教師在教學(xué)中挖掘并總結(jié) 我們應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)的美學(xué)因素進(jìn)行教學(xué)分析和解題研 究 以便提高學(xué)生分析問題的能力和效率 以上觀點及論證 足以說明數(shù)學(xué)美學(xué)因素所起的作用 它在不知不覺中充當(dāng)了目標(biāo)取舍 方 向確定 方式選擇的重要決策因素 這是審美能力的體現(xiàn) 我們數(shù)學(xué)的教與學(xué) 若能更多 地挖掘數(shù)學(xué)新教材中的美學(xué)因素 就會使學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識 活躍數(shù)學(xué)思維 進(jìn)而增強 學(xué)生對數(shù)學(xué)的積