柯西不等式的證明及應用（河西學院數學系01（2）班 甘肅張掖 734000）摘要：柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。本文在證明不等式，解三角形相關問題，求函數最值，解方程等問題的應用方面給出幾個例子。關鍵詞：柯西不等式 證明 應用 中圖分類號： O178 Identification and application of Cauchy inequalityChen Bo（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples.Keyword：inequation prove application柯西（Cauchy）不等式 等號當且僅當或時成立（k為常數，）現將它的證明介紹如下：證明1：構造二次函數 = 恒成立即當且僅當 即時等號成立證明（2）數學歸納法 （1）當時 左式= 右式=顯然 左式=右式當 時， 右式 右式 僅當即 即時等號成立故時 不等式成立 （2）假設時，不等式成立即 當 ，k為常數， 或時等號成立設 則 當 ，k為常數， 或時等號成立即 時不等式成立綜合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用運用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，這個不等式結構和諧，應用靈活廣泛，利用柯西不等式可處理以下問題：1） 證明相關命題例1 用柯西不等式推導點到直線的距離公式。 已知點及直線 設點p是直線上的任意一點， 則 （1） （2）點兩點間的距離就是點到直線的距離，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得： 即 （3）當且僅當 （3）式取等號 即點到直線的距離公式即2） 證明不等式例2 已知正數滿足 證明 證明：利用柯西不等式 又因為 在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故3） 解三角形的相關問題例3 設是內的一點，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。4） 求最值例4已知實數滿足， 試求的最值 解：由柯西不等式得，有即由條件可得， 解得，當且僅當 時等號成立，代入時， 時 5）利用柯西不等式解方程例5在實數集內解方程解：由柯西不等式，得 又即不等式中只有等號成立從而由柯西不等式中等號成立的條件，得它與聯立，可得 6）用柯西不等式解釋樣本線性相關系數在概率論與數理統計一書中，在線性回歸中，有樣本相關系數，并指出且越接近于1，相關程度越大，越接近于0，則相關程度越小。現在可用柯西不等式解釋樣本線性相關系數。現記，則，由柯西不等式有，當時，此時，為常數。點 均在直線上，當時，即而為常數。此時，此時，為常數點均在直線附近，所以越接近于1，相關程度越大當時，不具備上述特征，從而，找不到合適的常數，使得點都在直線附近。所以，越接近于0，則相關程度越小。致謝：在本文的寫作過程中，得到了馬統一老師的精心指導，在此表示衷心的感謝。 參考文獻： 柯西不等式的微小改動 數學通報 2002 第三期 柯西不等式與排序不等式 南山 湖南教育出版社 普通高中解析幾何 高等教育出版社1990-年全國統一考試 數學試卷李永新 李德祿 中學數學教