中國校長網 中國校長網資源頻道 2011 年普通高等學校招生全國統一考試 江西卷 理科數學 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 全卷滿分 150 分 考試時間 120 分鐘 考生注意 1 答題前 考生務必將自己的準考證號 姓名填寫在答題卡上 考生要認真核對答題卡上所 粘貼的條形碼中準考證號 姓名 考試科目與考生本人準考證號 姓名 考試科目是否 一致 2 第 卷每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑 如需改動 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標號 第 卷用 0 5 毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡 上作答 在試題卷上作答無效 3 考試結束后 務必將試題卷和答題卡一并上交 參考公式 樣本數據 nn x yxyxy 1122 L的線性相關系數 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 2 1 2 1 1 錐體體積公式VSh 1 3 其中 nn xxxyyy xy nn 1212 LL 其中S為底面積 h為高 第 卷 一 選擇題 本大題共 10 小題 每小題 5 分 共 50 分 在每小題給出的四個選項中 只有一 項是符合題目要求的 1 若 i z i 1 2 則復數z A i 2 B i 2 C i2 D i2 中國校長網 中國校長網資源頻道 2 若集合 x AxxBx x 2 1 2 1 3 0 則AB A xx 1 0B xx0 0的解集為 A 0 B 10 2 C 2 D 1 0 5 已知數列 n a 的前 n 項和 n S滿足 nmn m SSS 且 1 a 1 那么 10 a A 1B 9C 10D 55 6 變量 X 與 Y 相對應的一組數據為 10 1 11 3 2 11 8 3 12 5 4 13 5 變量 U 與 V相對應的一組數據為 10 5 11 3 4 11 8 3 12 5 2 13 1 1 r表示變量 Y 與 X 之間的線性相關系數 2 r表示變量 V 與 U 之間的線性相關系數 則 A 21 0rr B 21 0rr C 21 0rr 0 1 2 3 1 若a 1 求數列 n a的通項公式 2 若數列 n a唯一 求a的值 中國校長網 中國校長網資源頻道 19 本小題滿分 12 分 設 f xxxax 32 11 2 32 1 若 f x在 2 3 上存在單調遞增區間 求a的取值范圍 2 當a0 上一點 M N分別是雙曲線 E 的左 右頂點 直線 PM PN 的斜率之積為 1 5 1 求雙曲線的離心率 2 過雙曲線 E 的右焦點且斜率為 1 的直線交雙曲線于 A B 兩點 O 為坐標原點 C 為雙曲 線上一點 滿足OCOAOB 求 的值 21 本小題滿分 14 分 1 如圖 對于任一給定的四面體 1234 A A A A 找出依次排列的四個相互平行的平面 1 2 3 4 使得 1 1 2 3 4Ai i 且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等 2 給定依次排列的四個相互平行的平面 1 2 3 4 其中每相鄰兩個平面間的距 離都為 1 若一個正四面體A A A A 1234的四個頂點滿足 ii Ai 1 2 3 4 求該正四 面體A A A A 1234的體積 中國校長網 中國校長網資源頻道 參考答案 一 選擇題 本大題共 10 小題 每小題 5 分 共 50 分 1 5 DBACA6 10 CDCBA 二 填空題 本大題共 4 小題 每小題 5 分 共 20 分 11 3 12 13 16 13 10 14 22 1 54 xy 三 選做題 本大題 5 分 15 1 22 420 xyxy 2 5 四 解答題 本大題共 6 小題 共 75 分 16 本小題滿分 12 分 解 1 X 的所有可能取值為 0 1 2 3 4 中國校長網 中國校長網資源頻道 14 44 4 5 0 1 2 3 4 i C C P Xii C 即 X 01234 P1 70 16 70 36 70 16 70 1 70 2 令 Y 表示新錄用員工的月工資 則 Y 的所有可能取值為 2100 2800 3500 1 3500 4 70 8 2800 3 35 53 2100 2 70 11653 3500280021002280 707070 P YP X P YP X P YP X EY 則 所以新錄用員工月工資的期望為 2280 元 17 本小題滿分 12 分 解 1 由已知得sinsin1cos 2 C CC 即 2 sin 2cos1 2sin 222 CCC 由 1 sin02cos12sin sincos 222222 CCCCC 得即 同邊平方得 3 sin 4 C 2 由 1 sincos0 222422 CCC 得 即 37 sincos 244 CCC 得 故方程 有兩個不同的實根 由 n a唯一 知方程 必有一根為 0 代入 得 1 3 a 19 本小題滿分 12 分 解 1 由 22 11 2 2 24 fxxxaxa 當 222 2 339 xfxfa 時的最大值為 令 21 20 99 aa 得 所以 當 12 93 af x 時在上存在單調遞增區間 2 令 12 118118 0 22 aa fxxx 得兩根 所以 12 f xxx 在上單調遞減 在 12 x x上單調遞增 當 12 02 14 axxf x 時 有所以在 1 4 上的最大值為 2 f x 又 27 4 1 60 4 1 2 ffaff 即 所以 f x在 1 4 上的最小值為 4016 4 8 33 fa 得 2 1 2ax 從而 f x在 1 4 上的最大值為 10 2 3 f 20 本小題滿分 13分 解 1 點 000 P xyxa 在雙曲線 22 22 1 xy ab 上 中國校長網 中國校長網資源頻道 有 22 00 22 1 xy ab 由題意又有 00 00 1 5 yy xaxa 可得 222222 30 5 6 5 c abcabbe a 則 2 聯立 222 22 55 410350 xyb xcxb yxc 得設 1122 A x yB xy 則 12 2 12 5 2 35 4 c xx b x x 1 設 312 11 312 xxx OCx yOCOAOB yyy 即 又 C 為雙曲線上一點 即 222 33 55 xyb 有 222 1212 5 5xxyyb 化簡得 222222 11221212 5 5 2 5 5xyxyx xy yb 2 又 1122 A x yB xy在雙曲線上 所以 222222 1122 55 55xybxyb 由 1 式又有 22 121212121212 55 45 510 x xy yx xxc xcx xc xxcb 得 2 40 0 4 解出或 21 本小題滿分 14 分 1 如圖所示 取 A1A4的三等分點 P2 P3 A1A3的中點M A2A4的中點N 過三點 A2 P2 M 作平面 2 過三點 A3 P3 N 作平面 3 因為 A2P2 NP3 A3P3 MP2 所以平面 2 平面 3 再過點 A1 A4分別作平面 14 與平面 2 中國校長網 中國校長網資源頻道 平行 那么四個平面 1234 依次相互平行 由線段 A1A4被平行平面 1234 截得的線段相等知 其中 每相鄰兩個平面間的距離相等 故 1234 為所求平面 2 解法一 當 1 中的四面體為正四面體 若所得的四個平行平面 每相鄰兩平面之間的 距離為 1 則正四面體 A1A2A3A4就是滿足題意的正四面體 設正四面體的棱長為a 以 A2A3A4的中心 O 為坐標原點 以直線 A4O 為 y 軸 直線 OA1為 z 軸建立如圖的右手直角坐 標系 1234 6333 0 0 0 0 0 0 326263 aa AaAaAaAa 則 令 P2 P3為 A1A4的三等分點 N 為 A2A4的中點 有 3 33 4 2 363 0 0 99412 5 3633 0 436944 13 0 44 a PaaNa a P NaaNAaa A Naa 所以 設平面 A3P3N 的法向量 nx y z 有 3 3 095 34 60 0330 n P Nxyz n NAxy 即 所以 1 3 6 n 因為 1234 相鄰平面之間的距離為 1 所以點 A4到平面 A3P3N 的距離 22 3 1 3 0 6 44 1 1 3 6 aa 解得10a 由此可得 邊長為10的正四面體 A1A2A3A4滿足條件 所以所求正四面體的體積 23 113625 5 3343123 VShaaa 中國校長網 中國校長網資源頻道 解法二 如圖 現將此正四面體 A1A2A3A4置于一個正方體 ABCD A1B1C1D1中 或者說 在正四面體的四個面外側各鑲嵌一個直角三棱錐 得到一個正方體 E1 F1分別是 A1B1 C1D1的中點 EE1D1D 和 BB1F1F 是兩個平行平面 若其距