2006 年普通高等學校招生全國統一考試 湖北卷 數學數學 理工農醫類 理工農醫類 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 卷 1 至 2 頁 第 卷 3 至 4 頁 共 4 頁 共 150 分 考試用時 120 分鐘 祝考試順利 祝考試順利 第 卷第 卷 選擇題 共 50 分 注意事項 1 答卷前 考生務必將自己的姓名 準考證號填寫在試題卷和答題卡上 并將準考證號條形碼 粘貼在答題卡上的指定位置 2 每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑 如需改動 用橡皮擦干 凈后 再選涂其他答案標號 答在試題卷上無效 3 考試結束 監考人員將本試題卷和答題卡一并收回 一 選擇題 本大題共 10 小題 每小題 5 分 共 50 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項 是符合題目要求的 一 選擇題 本大題共 10 小題 每小題 5 分 共 50 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項 是符合題目要求的 1 已知向量 1 3 a b是不平行于x軸的單位向量 且3 ba 則b A 2 1 2 3 B 2 3 2 1 C 4 33 4 1 D 0 1 2 若互不相等的實數a b c成等差數列 c a b成等比數列 且103 cba 則a A 4 B 2 C 2 D 4 3 若 ABC的內角A滿足 3 2 2sin A 則 AAcossin A 3 15 B 3 15 C 3 5 D 3 5 4 設 x x xf 2 2 lg 則 x f x f 2 2 的定義域為 A 4 00 4 B 4 11 4 C 2 11 2 D 4 22 4 5 在 24 3 1 x x的展開式中 x的冪的指數是整數的項共有 A 3 項 B 4 項 C 5 項 D 6 項 6 關于直線m n與平面 有下列四個命題 nm且 則nm nm 且 則nm nm 且 則nm nm 且 則nm 其中真命題的序號是 A B C D 7 設過點 yxP 的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A B兩點 點Q與點P關 于y軸對稱 O為坐標原點 若PABP2 且1 ABOQ 則P點的軌跡方程是 A 0 01 2 3 3 22 yxyx B 0 01 2 3 3 22 yxyx C 0 013 2 3 22 yxyx D 0 013 2 3 22 yxyx 8 有限集合S中元素個數記作 card S 設A B都為有限集合 給出下列命題 BA 的充要條件是 card BA card A card B BA 的必要條件是 card Acard B BA 的充分條件是 card Acard B BA 的充要條件是 card Acard B 其中真命題的序號是 A B C D 9 已知平面區域D由以 3 1A 2 5B 1 3C為頂點的三角形內部和邊界組成 若在區域D 上 有無窮多個點 yx 可使目標函數myxz 取得最小值 則 m A 2 B 1 C 1 D 4 10 關于x的方程 011 2 2 2 kxx 給出下列四個命題 存在實數k 使得方程恰有 2 個不同的實根 存在實數k 使得方程恰有 4 個不同的實根 存在實數k 使得方程恰有 5 個不同的實根 存在實數k 使得方程恰有 8 個不同的實根 其中假假命題的個數是 A 0 B 1 C 2 D 3 第 卷第 卷 非選擇題 共 100 分 注意事項 注意事項 第 卷用 0 5 毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上 答在試題卷上無效 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 5 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 25 分分 把答案填在答題卡相應位置上把答案填在答題卡相應位置上 11 設x y為實數 且 ii y i x 31 5 211 則x y 12 接種某疫苗后 出現發熱反應的概率為 0 80 現有 5 人接種該疫苗 至少有 3 人出現發熱反 應的概率為 精確到 0 01 13 已知直線0125 ayx與圓02 22 yxx相切 則a的值為 14 某工程隊有 6 項工程需要先后單獨完成 其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行 工程丙 必須在工程乙完成后進行 又工程丁必須在丙完成后立即進行 那么安排這 6 項工程的不同 的排法種數是 用數字作答 15 將楊輝三角中的每一個數 r n C都換成分數 r n Cn1 1 就得到一個如右圖所示的分數三角形 稱為萊布尼茨三角 形 從萊布尼茨三角形可以看出 r n x n r n nCCnCn 1 1 1 1 1 1 其中x 令 22 1 1 11 60 1 30 1 12 1 3 1 nn n CnnC a 則 n n a lim 三 解答題 本大題共 6 小題 共 75 分 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 三 解答題 本大題共 6 小題 共 75 分 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 16 本小題滿分 12 分 設函數 cbaxf 其中向量 xxbxxacos3 sin cos sin Rxxxc sin cos 求函數 xf的最大值和最小正周期 將函數 xfy 的圖像按向量d平移 使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱 求長度最小的d 17 本小題滿分 13 分 已知二次函數 xfy 的圖像經過坐標原點 其導函數為 26 xxf 數列 n a的前n 項和為 n S 點 NnSn n 均在函數 xfy 的圖像上 求數列 n a的通項公式 設 1 3 nn n aa b n T是數列 n b的前n項和 求使得 20 m Tn 對所有 Nn 都成立 的最小正整數m 18 本小題滿分 12 分 如圖 在棱長為 1 的正方體 1111 DCBAABCD 中 p是側棱 1 CC上的一點 mCP 試確定m 使得直線AP與平面 11B BDD所 成角的正切值為23 在線段 11C A上是否存在一個定點Q 使得對 任意的m QD1在平面 1 APD上的射影垂直于AP 并證明你的結論 19 本小題滿分 10 分 在某校舉行的數學競賽中 全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布 100 70N 已知成 績在 90 分以上 含 90 分 的學生有 12 名 試問此次參賽的學生總數約為多少人 若該校計劃獎勵競賽成績排在前 50 名的學生 試問設獎的分數線約為多少分 可供查閱的 部分 標準正態分布表可供查閱的 部分 標準正態分布表 00 xxPx 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 1 3 1 4 1 9 0 8849 0 9032 0 9192 0 9713 0 8869 0 9049 0 9207 0 9719 0 8888 0 9066 0 9222 0 9726 0 8907 0 9082 0 9236 0 9732 0 8925 0 9099 0 9251 0 9738 0 8944 0 9115 0 9265 0 9744 0 8962 0 9131 0 9278 0 9750 0 8980 0 9147 0 9292 0 9756 0 8997 0 9162 0 9306 0 9762 0 9015 0 9177 0 9319 0 9767 2 0 2 1 0 9772 0 9821 0 9778 0 9826 0 9783 0 9830 0 9788 0 9834 0 9793 0 9838 0 9798 0 9842 0 9803 0 9846 0 9808 0 9850 0 9812 0 9854 0 9817 0 9857 20 本小題滿分 14 分 設A B分別為橢圓 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右頂點 橢圓長半軸的長等于焦距 且 4 x為它的右準線 求橢圓的方程 設P為右準線上不同于點 4 0 的任意一點 若直線AP BP分別與橢圓相交于 異于A B的點M N 證明點B在以MN為直徑的圓內 此題不要求在答題卡上畫圖 21 本小題滿分 14 分 設3 x是函數 Rxebaxxxf x 32 的一個極值點 求a與b的關系式 用a表示b 并求 xf的單調區間 設0 a x eaxg 4 25 2 若存在 4 0 21 使得 1 21 gf成立 求a的取值范圍 湖北省湖北省 2006 高考試題理科答案及解析高考試題理科答案及解析 一 選擇題 1 5 BDABC 6 10 DDBCB 二 填空題 11 4 12 0 94 13 8 或 18 14 20 15 r 1 1 2 部分試題解析 10 解 本題考查換元法及方程根的討論 要求考生具有較強的分析問題和解決問題的能 力 據題意可令 2 1xt 0 t 則方程化為 2 0ttk 作出函數 2 1yx 的圖象 結合函數的圖象可知 1 當 t 0 或 t 1 時方程 有 2 個不等的根 2 當 0 t 1 時方程 有 4 個根 3 當 t 1 時 方程 有 3 個根 故當 t 0 時 代入方程 解得 k 0 此時方程 有兩個不等根 t 0 或 t 1 故此時原方程有 5 個根 當方程 有兩個不等正根時 即 1 0 4 k 此時方程 有兩根且均小于 1 大于 0 故相應 的滿足方程 2 1xt 的解有 8 個 即原方程的解有 8 個 當 1 4 k 時 方程 有兩個相等正根 t 1 2 相應的原方程的解有 4 個 故選 B 14 解 考查有條件限制的排列問題 其中要求部分元素間的相對順序確定 據題意由于 丁必需在丙完成后立即進行 故可把兩個視為一個大元素 先不管其它限制條件使其與其他四 人進行排列共有 5 5 A種排法 在所在的這些排法中 甲 乙 丙相對順序共有 3 3 A種 故滿足條 件的排法種數共有 5 5 3 3 20 A A 15 解 本題考查考生的類比歸納及推理能力 第一問對比楊輝三角的性質通過觀察 類 比 歸納可知萊布尼茨三角形中每一行中的任一數都等于其 腳下 兩數的和 故此時1xr 第二問實質上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數第三項的和 即 01232 2341 11111 3451 n nn nn a CCCnCnC 根據第一問所推出的結論只需在原式基礎 上增加一項 1 1 1 n n nC 則由每一行中的任一數都等于其 腳下 兩數的和 結合給出的數表 可逐次向上求和為 1 2 故 1 11 21 n n n a nC 從而 1 111 limlim 212 n n xx n a nC 三 解答題 三 解答題 16 點評 本小題主要考查平面向量數量積的計算方法 三角公式 三角函數的性質及圖像的 基本知識 考查推理和運算能力 解 由題意得 f x a b c sinx cosx sinx cosx sinx 3cosx sin2x 2sinxcosx 3cos2x 2 cos2x sin2x 2 2sin 2x 4 3 所以 f x 的最大值為 2 2 最小正周期是 2 2 由 sin 2x 4 3 0 得 2x 4 3 k 即 x 8 3 2 k k Z 于是 d 8 3 2 k 2 4 8 3 2 2 k dk Z 因為 k 為整數 要使d最小 則只有 k 1 此時 d 8 2 即為所求 17 點評 本小題考查二次函數 等差數列 數列求和 不等式等基礎知識和基本的運算 技能 考查分析問題的能力和推理能力 解 設這二次函數 f x ax2 bx a 0 則 f x 2ax b 由于 f x 6x 2 得 a 3 b 2 所以 f x 3x2 2x 又因為點 n n SnN 均在函數 yf x 的圖像上 所以 n S 3n2 2n 當 n 2 時 an Sn Sn 1 3n2 2n 1 2 13 2 nn 6n 5 當 n 1 時 a1 S1 3 12 2 6 1 5 所以 an 6n 5 nN 由 得知 1 3 nn n aa b 5 1 6 56 3 nn 16 1 56 1 2 1 nn 故 Tn n i i b 1 2 1 16 1 56 1 13 1 7 1 7 1 1 nn 2 1 1 16 1 n 因此 要使 2 1 1 16 1 n 20 m nN 成立的 m 必須且僅須滿足 2 1 20 m 即 m 10 所以滿足要求的最小正整數 m 為 10 18 點評 本小題主要考查線面關系 直線于平面所成的角的有關知識及空間想象能力和推 理運算能力 考查運用向量知識解決數學問題的能力 解法 1 連 AC 設 AC 與 BD 相交于點 O AP 與平面 11 BDD B相交于點 連結 OG 因為 PC 平面 11 BDD B 平面 11 BDD B 平面 APC OG 故 OG PC 所以 OG 2 1 PC 2 m 又 AO BD AO BB1 所以 AO 平面 11 BDD B 故 AGO 是 AP 與平面 11 BDD B所成的角 在 Rt AOG 中 tan AGO 23 2 2 2 m GO OA 即 m 3 1 所以 當 m 3 1 時 直線 AP 與平面 11 BDD B所成的角的正切值為3 2 可以推測 點 Q 應當是 AICI的中點 O1 因為 D1O1 A1C1 且 D1O1 A1A 所以 D1O1 平面 ACC1A1 又 AP 平面 ACC1A1 故 D1O1 AP 那么根據三垂線定理知 D1O1在平面 APD1的射影與 AP 垂直 解法二 建立如圖所示的空間直角坐標系 則 A 1 0 0 B 1 1 0 P 0 1 m C 0 1 0 D 0 0 0 B1 1 1 1 D1 0 0 1 所以 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 BDBBAPmAC 又由 1 0 0AC BDAC BB 知 AC 為平面 11 BB D D的一個法向量 設AP 與 平 面 11 BB D D所 成 的 角 為 則 2 2 sincos 2 22 AP AC APACm 依題 j P O1 D1 C1 B1 A1 D C BA z y x O D1 C1 C D A B A1 B1 P G 意有 2 2 23 2 221 3 2 m 解得 1 3 m 故當 1 3 m 時 直線 AP 與平面 11 BB D D所成 的角的正切值為3 2 若在 A1C1上存在這樣的點 Q 設此點的橫坐標為x 則 Q x 1 x 1 1 1 0 DQxx 依題意 對任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP 等價于 D1Q AP 1 1 0 1 0 2 AP DQxxx 即 Q 為 A1C1的中點時 滿足題設要求 19 點評 本小題主要考查正態分布 對獨立事件的概念和標準正態分布的查閱 考查運 用概率統計知識解決實際問題的能力 解 設參賽學生的分數為 因為 N 70 100 由條件知 P 90 1 P 90 1 F 90 1 10 7090 1 2 1 0 9772 0 228 這說明成績在 90 分以上 含 90 分 的學生人數約占全體參賽人數的 2 28 因此 參賽總人數約為 0228 0 12 526 人 假定設獎的分數線為 x 分 則 P x 1 P x 1 F x 1 10 70 x 526 50 0 0951 即 10 70 x 0 9049 查表得 10 70 x 1 31 解得 x 83 1 故設獎得分數線約為 83 1 分 20 點評 本小題主要考查直線 圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識 考查綜合運用數 學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力 解 依題意得 a 2c c a 2 4 解得 a 2 c 1 從 而 b 3 故橢圓的方程為 1 34 22 yx 解法 1 由 得 A 2 0 B 2 0 設 M x0 y0 2 1 1 2 3 4 224 BA M N M 點在橢圓上 y0 4 3 4 x02 1 又點 M 異于頂點 A B 2 x00 BM BP 0 則 MBP 為銳角 從而 MBN 為鈍角 故點 B 在以 MN 為直徑的圓內 解法 2 由 得 A 2 0 B 2 0 設 M x1 y1 N x2 y2 則 2 x1 2 2 x2 2 又 MN 的中點 Q 的坐標為 2 21 xx 2 21 yy 依題意 計算點 B 到圓心 Q 的距離與半徑的差 2 BQ 2 4 1 MN 2 21 xx 2 2 2 21 yy 2 4 1 x1 x2 2 y1 y2 2 x1 2 x2 2 y1y1 3 又直線 AP 的方程為 y 2 2 1 1 x x y 直線 BP 的方程為 y 2 2 2 2 x x y 而點兩直線 AP 與 BP 的交點 P 在準線 x 4 上 2 6 2 6 2 2 1 1 x y x y 即 y2 2 23 1 12 x yx 4 又點 M 在橢圓上 則1 34 2 1 2 1 yx 即 4 4 3 2 1 2 1 xy 5 于是將 4 5 代入 3 化簡后可得 2 BQ 2 4 1 MN 0 2 2 4 5 21 xx 從而 點 B 在以 MN 為直徑的圓內 21 點評 本小題主要考查函數 不等式和導數的應用等知識 考查綜合運用數學知識 解決問題的能力 解 f x x2 a 2 x b a e3 x 由 f 3 0 得 32 a 2 3 b a e3 3 0 即得 b 3 2a 則 f x x2 a 2 x 3 2a a e3 x x2 a 2 x 3 3a e3 x x 3 x a 1 e3 x 令 f x 0 得 x1 3 或 x2 a 1 由于 x 3 是極值點 所以 x a 1 0 那么 a 4 當 a3 x1 則 在區間 3 上 f x 0 f x 為增函數 在區間 a 1 上 f x 4 時 x2 3 x1 則 在區間 a 1 上 f x 0 f x 為增函數 在區間 3 上 f x 0 時 f x 在區間 0 3 上的單調遞增 在區間 3 4 上單調 遞減 那么 f x 在區間 0 4 上的值域是 min f 0 f 4 f 3 而 f 0 2a 3 e30 f 3 a 6 那么 f x 在區間 0 4 上的值域是 2a 3 e3 a 6 又 2 25 4 x g xae 在區間 0 4 上是增函數 且它在區間 0 4 上的值域是 a2 4 25 a2 4 25 e4 由于 a2 4 25 a 6 a2 a 4 1 2 1 a 2 0 所以只須僅須 a2 4 25 a 6 0 解得 0 a 2 3 故 a 的取值范圍是 0 2 3 湖北省湖北省 2006 高考試題理科命題點評高考試題理科命題點評 試卷在對數學基礎知識全面考查的同時 不刻意追求知識點的全面覆蓋 突出了對支撐數學學科知識體系的 重點知識進行重點考查 選擇題和填空題的前幾題都相當容易 對于穩定考生情緒 鼓舞答卷士氣具有強烈的 推進作用 注重考查考生的基礎知識 基本技能 全卷的區分度比較好 與去年相比 全卷難度有所增