5.1.2 垂線(一)典型例題【例1】 兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直；兩條直線相交，若有一組對頂角互補，則這條直線互相垂直；兩條直線相交，若所成的四個角相等，則這兩條直線垂直；兩條直線相交，若有一組鄰補角相等，則這兩條直線垂直.其中說法正確的有( )A.1個 B.2個 C. 3個 D. 4個【解析】 題中的4個說法，都是關于兩條直線垂直的判定問題.根據垂直定義，只要推出兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，就可以判斷兩條直線互相垂直.是垂直的定義，所以正確；有一組對頂角互補，因為對頂角相等，所以這兩個角都是90，所以正確；兩條直線相交，所成的四個角相等，都是90，所以正確；有一組鄰補角相等，而鄰補是互補的，所以這兩個角都是90，所以正確.【答案】 D【例2】 如圖516，過點A、B分別畫OB、OA的垂線.圖516 圖517【解析】 畫線段或射線的垂線，就是畫這條線段或射線所在直線的垂線，本例中的垂足分別在OB的反向延長線上和OA的延長線上.【答案】如圖517所示，直線AE為過點A與OB垂直的直線，垂足為E;直線BD為過點B與OA垂直的直線，垂足為D.【例3】 如圖518，點O為直線AB上一點，OC為一射線，OE平分AOC，OF平分BOC(1)若BOC=50，試探究OE、OF的位置關系；(2)若BOC=(0x180)，(1)中OE、OF的位置關系是否仍成立?請說明理由，由此你發現了什么規律?圖518【解析】 要探究OE、OF的位置關系，可先用三角尺或量角器檢測EOF的大小來判斷OE、OF的關系，再通過計算加以說明；第(2)問用代數代表示EOF，再歸納出結論.【答案】 (1)由量角器測得EOF=90,因此OEOF.由鄰補角的定義，可得AOC=180BOC=130.由OE平分AOC，OF平分BOC可得COF=BOC=25，COE=AOC=65.所以EOF=COF+COE=90.因此OEOF.(2)OEOF仍成立.因為AOC=180，COF=，COE=(180)=90.所以EOF=COF+COE=+(90)=90.由此發現:無論BOC度數是多少，EOF總等于90.即鄰補角的平分線互相垂直.課前熱身1.兩條直線互相垂直時，所得的四個角中有_個直角.2.過一點_條直線與已知直線垂直.課上作業3.如圖519，OAOB于O，直線CD經過點O，AOD=35，則BOC=_.4.如圖520，直線AB與CD相交于點O，EOAB于O，則1與2的關系是_.圖519 圖5205.如圖521，O是直線AB上一點OCOD，有以下兩個結論:AOC與BOD互為余角；AOC、COD、BOD互為鄰補角.其中說法正確的是_(填序號).圖521 圖5226.如圖522，已知OCAB，OEOD，則圖中互余的角共有_對.課下作業一、填空題(每題5分，共50分)7.如果CDAB于D，自CD上任一點向AB作垂線，那么所畫垂線均與CD重合，這是因為_.8.如圖523，直線AB、CD、EF交于一點O，COEF且GOB=30，AOC=40，則COE=_.9.從鈍角AOB的頂點O引射線OCOA，若ACOCOB=31，則AOB=_.10.如圖524，直線AB、CD相交于O，EOAB，OB平分DOF，若EOC=115，則BOF=_.COF=_.圖523 圖524二、選擇題(每題5分，共10分)11.如圖525，PQR等于138，SQQR，TQPQ則SQT等于( )A.42 B.64 C.48 D.24 圖525 圖52612.如圖526所示，AB、CD相交于點O，OEAB，那么下列結論錯誤的是( )A.AOC與COE互為余角 B.BOD與COE互為余角C.COE與BOE互為補角 D.AOC與BOD是對頂角三、解答題(每題20分，共40分)13.OC把AOB分成兩部分且有下列兩個等式成立：AOC=直角+BOC；BOC=平角AOC，問(1)OA與OB的位置關系怎樣?(2)OC是否為AOB的平分線?并寫出判斷的理由.14.如圖527，已知AB、CD、EF相交于點O，EFAB，OG為COF的平分線，OH為DOG的平分線. (1)若AOCCOG=47，求DOF的大小；(2)若AOCDOH=829，求COH的大小.圖527參考答案課前熱身1.兩條直線互相垂直時，所得的四個角中有_個直角.答案：42.過一點_條直線與已知直線垂直.答案：有且只有課上作業3.如圖519，OAOB于O，直線CD經過點O，AOD=35，則BOC=_.答案：1254.如圖520，直線AB與CD相交于點O，EOAB于O，則1與2的關系是_.圖519 圖520答案：互為余角5.如圖521，O是直線AB上一點OCOD，有以下兩個結論:AOC與BOD互為余角；AOC、COD、BOD互為鄰補角.其中說法正確的是_(填序號).圖521 圖522答案：6.如圖522，已知OCAB，OEOD，則圖中互余的角共有_對.答案：4課下作業一、填空題(每題5分，共50分)7.如果CDAB于D，自CD上任一點向AB作垂線，那么所畫垂線均與CD重合，這是因為_.答案：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直8.如圖523，直線AB、CD、EF交于一點O，COEF且GOB=30，AOC=40，則COE=_.答案：209.從鈍角AOB的頂點O引射線OCOA，若ACOCOB=31，則AOB=_.答案：12010.如圖524，直線AB、CD相交于O，EOAB，OB平分DOF，若EOC=115，則BOF=_.COF=_.圖523 圖524答案：25；130二、選擇題(每題5分，共10分)11.如圖525，PQR等于138，SQQR，TQPQ則SQT等于( )A.42 B.64 C.48 D.24圖525答案：A12.如圖526所示，AB、CD相交于點O，OEAB，那么下列結論錯誤的是( )A.AOC與COE互為余角 B.BOD與COE互為余角C.COE與BOE互為補角 D.AOC與BOD是對頂角圖526答案：C三、解答題(每題20分，共40分)13.OC把AOB分成兩部分且有下列兩個等式成立：AOC=直角+BOC；BOC=平角AOC，問(1)OA與OB的位置關系怎樣?(2)OC是否為AOB的平分線?并寫出判斷的理由.答案：(1)OAOB (2)O(C為AOB的平分線，因為BO