拖運冰山的費用估算摘要據資料顯示：地球上的水資源有97%被鹽化，僅有3%是淡水資源，且大部分是主要分布在南北兩極地區的固體冰川，眾所周知，水是生命的源泉，是人類賴以生存和發展的重要物質資源之一。而在一些淡水資源非常匱乏的地方，各種產水方式應運而生，本文主要針對以盛產石油著稱的波斯灣地區，在采用高成本的海水淡化下，專家建議用拖船從相距9600km外的南極把冰山運到波斯灣地區，取代海水淡化的方法，在拖運過程中采用三種不同的船型、船速會產生不同的費用，為了使獲得淡水資源費用合理化。需要對總費用進行合理的估算，為了解決這個問題，我們建立初等函數模型，計算船只以最大運量運一次的總費用和剩余的冰山體積；總費用=日租金天數+總燃料消耗費用，考慮到實際運輸過程中，冰山的融化會引起燃料消耗費用的變化，我們應該求出體積變化的臨界值（即所運的冰山何時會縮小到原來體積的），再根據表2可求出對應的消耗原料。剩余冰山的體積=船的最大運量-運輸過程中融化的冰。運輸過程中冰的融化速率與冰山到達處與南極的距離有關。根據表3，在特定的船速條件下，將冰山融化速率與南極距離看成線性關系，根據曲線積分可以求出融化的冰，然后求剩余的冰轉換成水的體積，計算每立方米水的成本，經過計算選擇大型船，船速為5km/h，每立方米水的成本0.054英鎊/ 。關鍵字：燃料消耗費用 冰山融化的體積 融化速率 臨界值 1、問題重述在以盛產石油著稱的波斯灣地區，浩瀚的沙漠覆蓋著大地，水資源十分缺乏，不得不采用淡化海水的辦法為國民提供用水，成本大約是每立方米0.1英鎊，有些專家提出從相距9600km外的南極用拖船運送冰山到波斯灣，以取代淡化海水的辦法。在運送冰山的過程中，拖船的租金、運量、燃料消耗及冰山運送過程中融化速率等方面的數據如下：（1） 三種拖船的日租金和最大運量如表1所示。表1船型小中大日租金/（英鎊）4.06.28.0最大運量/（2）燃料消耗（英鎊/km），主要依賴于船速和所運冰山的體積，船型的影響可以忽略，如表2所示。表2 冰山體積/船速/km/h1238.410.813.210.513.516.512.616.219.8（3）冰山運輸過程中的融化速率（m/d），指在冰山與海水接觸處每天融化的深度，融化速率除與船速有關外，還與運輸過程中冰山到達處與南極的距離有關，這是由于冰山要從南極運往赤道附近的緣故，如表3所示。表3 與南極距離/km船速/km/h0100040001230000.10.150.20.30.450.6根據所給數據，建立數學模型，解決問題：試選擇拖船的船型與船速，使冰山到達目的地后，可以得到的每立方米水所花的費用最低，并與海水淡化的費用相比較。2、問題分析此題研究的是每立方米水成本的數學建模問題，題目給出的數據有三種船型，三種船速，那么可分9種情況去求解問題。求解每立方米水的成本就要求解出運輸一次的費用和剩余的冰山體積。由于在運輸過程中，單位路程燃料消耗與冰山的體積成正相關關系。但是冰山的體積是動態變化的，從而單位路程燃料消耗也隨之改變。為了計算方便，利用均值求一段路程的燃料的消耗，而冰山的融化速率與冰山到達處與南極的距離有關，根據圖1可以得出當船速確定時，融化速率與距南極距離成線性相關。同樣地可采用均值求解，可以確定到達目的地后冰山的剩余體積。將冰轉化為水，從而估算出每立方米水的成本。圖1圖23、模型的假設及符號說明拖船在托運冰山的過程中，有以下假設：假設1、 假設拖船航行過程中的船速不變，航行不考慮天氣等任何因素的影響，總航行距離9600km；假設2、假設冰山形狀為球形，球面各點的融化速率相同；假設3、假設冰山到達目的地后，1的冰可以融化成0.85的水。假設4、假設冰山在運輸過程中融化的速率與距離為線性關系。假設5、三種型號的船是按最大運輸量拖運冰山。 假設6、冰山到達目的地后融化過程中不考慮損耗。假設7、假設拖船所在地就在南極，不用考慮返程費用。符號說明：符合符號說明拖船的速度 拖船的日租金 燃料消耗速度 距離南極的距離 融化速度 冰山的半徑運動過程中冰山融化的深度， 初始時刻冰山的半徑最后剩余的冰山體積最后時刻冰山的半徑拖船的總租金L為總長度全程燃料費用 運冰的總費用 4、模型建立為了求解每立方米水的成本，就要計算出拖船運輸一次的總費用和剩余的冰山體積，首先，根據題目所給的冰山融化速率與船速、距南極距離的相關數據，我們可以求解出當船速確定的時候，冰山融化速率與距南極距離成線性關系，利用均值和曲線積分可以求解出船只行駛一段距離與融化冰山的體積的關系。 （1）其次，由上述計算可以得出燃料消耗與冰山體積的關系，因為冰山體積是動態變化的，所以燃料消耗也是動態的，為了計算的簡單化，我們把計算一段路程的燃料消耗簡化為固定兩個端點的單位路程燃料消耗與行駛路程的乘積和的均值。 （2）最后： 由上述條件利用總費用和冰融化成水后的單位成本： (3)5、模型求解首先，計算出不同船型以不同速度拖運冰山所需的總費用。其次，計算出不同船型以不同速度拖運冰山到達目的地，融化成的水。最后，由上述條件求出冰山拖運到目的地融化為水后每立方米的成本，與淡化每立方米水的成本相比較得出成本最低的方案。第一步：計算總費用 （4）不同船型以不同船速拖冰山，所需的燃料費：表4船型船速小/中/大/1km/h無意義無意義118780英鎊3km/h100800英鎊121070英鎊155520英鎊5km/h120960英鎊158202英鎊190080英鎊拖船的總租金： （5）用不同船型拖運所用的總租金：表5船型船速小/中/大/1km/h無意義無意義3200英鎊3km/h533.3332英鎊826.6665英鎊1066.7英鎊5km/h320英鎊496英鎊640英鎊總費用： （6）表6船型船速小/中/大/1km/h無意義無意義119100英鎊3km/h101333.33英鎊121896.66英鎊156586.7英鎊5km/h121280英鎊158698英鎊190720英鎊第二步： （7）不同船型以不同船速拖冰山，冰山融化的深度：表7船型船速小/中/大/1km/h84.583384.583384.58333km/h42.291742.291742.29175km/h33.833333.833333.8333 （8） （9）計算可知用小船拖運時以1km/h到達目的地時冰塊已經完全融化，中船拖運時以1km/h到達目的地時冰塊已經完全融化所以不再考慮這兩種情況。不同船型以不同船速拖冰山，到達目的地剩余體積：表8船型船速小5*105/中106/大107/1km/h無意義無意義4948403km/h1403.53223631940005km/h15310939544165900冰山到達后無其他損耗全部都融化成水的體積：表9船型船速小5*105/中106/大107/1km/h無意義無意義4206143km/h11932740127149005km/h13014798613541015第三步：從南極運冰到目的地的每立方米成本為：表10船型船速小5*105/中106/大107/1km/h無意義無意義0.283英鎊/3km/h84.940英鎊/4.449英鎊/0.058英鎊/5km/h9.320英鎊/1.987英鎊/0.054英鎊/根據計算結果與已知條件（成本每立方米0.1英鎊）對比得出0.054英鎊/的成本價格是最低的，所以我們選擇大型船，船速為5km/h。6、模型評價優點：1、構造的模型比較簡單2、該模型的建立將實際問題模型化，復雜問題簡單化；3、我們采用了均值與曲線積分的計算方法，使計算變得相對簡單；4、此模型的全局規劃比較合理。缺點：1、 利用均值求解融化冰山的體積與燃料消耗不準確；2、運輸過程融化速率與距南極距離并不成線性關系。7、模型的改進與推廣模型改進：雖然得到的最低費用0.054英鎊/小于海水淡化需要的成本，但是模型中未考慮天氣等其它因素會導致拖船過程中成本變高。我們在計算過程中應該以冰山拖運過程中最大損耗、燃料的最大費用，來避免由自然因素帶來的船只到達目的地的時間延期增加的費用。方法改進冰山融化速率（m/d)與船速u(km/h）與南極距離d(km)的關系r是的線性函數；時與成正比，時與無關， （10）代入（，）=（1,3）；（，）=（1,5）得出=， =0.225 =0.33 航行天后，融化速率為 (11) (12) 又因為天冰山的半徑為 (13) 故剩余冰山的體積為 （14） 燃料消耗費用（英鎊/km）對線性，對線性， （15） 代入數據得出=0.3 ，=6 =-1 （16） 航行第天的燃料消耗 （17） 而日租金與船的型號有關故 （18） 所以船型運輸一次的總費用為 （19）此模型的建立會減少誤差，由第一次模型計算的結果，將大型船，船速為5km/h。的數據代入上述公式，計算結果。參考文獻（1）、姜啟源、謝金星，葉俊，數學模型（第三版）北京，高等教育出版社，2003；（2）、韓忠庚，數學建模方法及其應用，北京高等教育出版社，2005；（3）、吳建國，數學建模案例精編北京，中國水利水電出版社2005； 附錄模型求解在Matlab中的實現：畫圖1：船速固定時，冰山體積與燃料的關系圖clear a=0 1000 4000 9600;b1=0 0.1 0.3 0.3;b3=0 0.15 0.45 0.45;c=0:100:9600;interp1(a,b1,c,cubic);interp1(a,b3,c,cubic);interp1(a,b5,c,cubic);plot(a,b1,o,a,b1,g,a,b3,o,a,b3,r,a,b5,o,a,b5,b)gtext(船速1/km/h)gtext(船速3/km/h)gtext(船速5/km/h)畫圖2：船速固定時，燃料消耗與冰山體積的關系圖 a=105 106 107; b1=8.4 10.5 12.6; b3=10.8 13.5 16.2; b5=13.2 16.5 19.8; c=105:100:107; interp1(a,b1,c,cubic); interp1(a,b3,c,cubic); interp1(a,b5,c,cubic); plot(a,b1,o,a,b1,g,a,b3,o,a,b3,r,a,b5,o,a,b5,b) gtext(船速1/km/h) gtext(船速3/km/h) gtext(船速5/km/h)計算過程x=(0.75*105/(pi)(1/3)x1=(0.75*105/(pi)(1/3)x=(0.75*106/(pi)(1/3)x=(0.75*107/(pi)(1/3)1000/(5*24)8.3333*0.13000/(5*24)*0.25600/(5*24)*0.6x=(0.75*105/(pi)(1/3)x=(0.75*5*105/(pi)(1/3) 133.6505-2.0833-12.5ans = 119.0672 119.0672-62.0350 84.5833-2.0833-12.5 60-2.0833-12.5ans = 45.4167 12.9678/0.3*24ans =1.0374e+003 9600-1.0374e+003ans = 8.5626e+0036441.1*13.5+3158.9*10.8ans = 1.2107e+005 9540*16.5+60*13.2ans = 158202 8562.6*12.6+1037.4*10.5ans = 1.1878e+005 9600*16.2ans = 155520 9600*19.8ans = 190080 1000/(5*24)ans = 8.3333 8.3333*0.1ans = 0.8333 3000/(5*24)*0.2ans = 5 5600/(5*24)*0.6ans = 28.0000 5600/24ans = 233.3333 233.3333*0.3ans = 70.0000 x=(0.75*105/(pi)3x = 1.3606e+013 x=(0.75*105/(pi)(1/3)x = 28.7941 x=(0.75*106/(pi)(1/3)x = 62.0350 x=(0.75*107/(pi)(1/3)x = 133.6505 6441.1*13.5+3158.9*10.8ans = 1.2107e+005 (4/3)*pi*(6.9456)3 (4/3)*