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第二章導數與微分習題課 一 導數與微分的基本概念 1 導數定義 2 導數的幾何意義 為曲線在點的切線斜率 3 在處可導的充分必要條件 在處可導 且 與都存在 二 極限 連續 可導與可微的關系 4 在處的可微定義 三 求導法則 1 四則運算求導法則 2 反函數求導法則 1 2 3 函數在對應的內也可導 且 或 設在區間內單調 可導且 則其反 3 復合函數求導法則 4 隱函數求導法則 求導過程中牢記是的函數 方程中含有的 項應用復合函數求導法求導 然后由求導后的方程解出 5 參數方程求導 參數方程確定可導函數 則 由方程確定了 方程兩端對求導 在 四 高階導數定義及求導 若函數的導函數仍然是可導函數 則將的 導函數叫做函數的二階導數 記作 依此類推 函數的導函數叫做的階導數 記 五 典型例題 分析計算分段函數分界點處的導數 要根據定義看是否有 解 左導數和右導數 并且還要看左右導數是否相等 例1 設 問是否存在 例2 設 求及 及求導法則求出 故求應選用 先求 后求 因而應用導數定義求 解 當時 當時 和處函數值 的方法 而是分段函數的分段點 分析當時 是可導函數 且可利用求導公式 為未知量的方程 由已知條件在分段點處可導 得一個方程 又由函數在一點可導必要條件 在處連續 得第二個方程 解此聯立方程組 可求出 分析此題要求兩個待定常數 通常需要尋找兩個只以 解 因為在處可導 所以在處連續 即 例4 已知 求 解 當時 當時 當時 綜上 所以 例5 設 求 解 解 例6 設 求 解 例7 求星形線在處的導數 故 解 方程兩邊對求導得 將代入上方程 得 1 將 2 代入 1 中得 例9 求函數的微分 解 所以 分析因為含有乘積與冪指函數 故應用對數求導法 解 應用對數求導法 函數兩邊取對數得 所以 方程兩邊對求導得 例10 設 求 例11 設 求 方程兩邊對求導得 解 函數兩邊取對數得方程 所以 所以切點坐標為 則所求切線方程為 解 先求切點坐標 將代入曲線方程得 將代入上式 得 再求曲線在切點處的切線斜率

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