20130113 2013屆梁豐高級中學期末模擬試卷一（試題卷）一、填空題：本大題共14小題,每小題5分,共70分請把答案填寫在答題紙相應位置上1若，則集合B的元素個數為 2已知復數，則它的共軛復數等于 3. 為了了解一片經濟林的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm).所得數據如圖，那么在這100株樹木中，底部周長不小于110cm的有 株. 4將一顆骰子投擲兩次分別得到點數，則直線與圓相交的概率為 5某同學設計右面的程序框圖用以計算和式的值，則在判斷框中應填寫 6設為兩個不重合的平面，為兩條不重合的直線，現給出下列四個命題：若,則；若，則；若則；若則.其中,所有真命題的序號是 .7設x,y滿足約束條件的取值范圍是 8設函數的圖象為曲線，動點在曲線 上，過且平行于軸的直線交曲線于點可以重合），設線段的長為，則函數單調遞增區間 9如圖，邊長為1的正方形的頂點 ,分別在軸、軸正半軸上移動，則的最大值是_10已知橢圓和圓,若上存在點,使得過點引圓的兩條切線,切點分別為,滿足,則橢圓的離心率的取值范圍是 .11已知，設平面上的個橢圓最多能把平面分成部分，則， ，則 12已知函數的圖象與直線交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為，則的值為 13. 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AC、BD相交于O，記BCO、 CDO、ADO的面積分別為S1、S2、S3，則的取值范圍是 14若直角坐標平面內的兩個不同點、滿足條件： 、都在函數的圖像上； 、關于原點對稱.則稱點對為函數的一對“友好點對”.（注：點對與為同一“友好點對”），已知函數，此函數的“友好點對”有 二、解答題：本大題共6小題，共90分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15. （本題滿分14分）已知函數（其中的最小正周期為。（1）求的值，并求函數的單調遞減區間；（2）在銳角中，分別是角的對邊，若的面積為，求的外接圓面積.16. （本題滿分14分）如圖，四棱錐中，底面為菱形，,平面底面，分別是、的中點。（1）求證：平面；（2）為上一動點，當平面時，求的值.17. （本題滿分14分）某商場在店慶一周年開展“購物折上折活動”：商場內所有商品按標價的八折出售，折后價格每滿500元再減100元如某商品標價為1500元，則購買該商品的實際付款額為15000.8-200=1000（元）設購買某商品得到的實際折扣率設某商品標價為x元，購買該商品得到的實際折扣率為y（1）寫出當x時，y關于x的函數解析式，并求出購買標價為1000元商品得到的實際折扣率；（2）對于標價在2500,3500的商品，顧客購買標價為多少元的商品，可得到的實際折扣率低于？18. （本題滿分16分）已知點是直角坐標平面內的動點，點到直線的距離為，到點的距離為，且（1）求動點P所在曲線C的方程；（2）直線過點F且與曲線C交于不同兩點A、B(點A或B不在x軸上)，分別過A、B點作直線的垂線，對應的垂足分別為，試判斷點F與以線段為直徑的圓的位置關系(指在圓內、圓上、圓外等情況)；（3）記，(A、B、是(2)中的點)，問是否存在實數，使成立若存在，求出的值；若不存在，請說明理由19. （本題滿分16分）已知函數，為正常數（1）若，且，求函數的單調增區間；（2）若，且對任意，都有，求的的取值范圍20（本小題滿分16分）已知數列an的首項a1a，Sn是數列an的前n項和，且滿足：S3n2anS，an0，n2，nN*（1）若數列an是等差數列，求a的值；（2）確定a的取值集合M，使aM時，數列an是遞增數列20130113 2013屆梁豐高級中學期末模擬試卷一（答題卷）序號答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 姓名 學號 班級 15、16、17、18、19、20、20130113 2013屆梁豐高級中學期末模擬試卷一（附加題試卷）姓名 學號 班級 21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷紙指定區域內作答解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（B）(選修：矩陣與變換) 二階矩陣有特征值其對應的一個特征向量并且矩陣對應的變換將點變換成點，求矩陣.（C）(選修：坐標系與參數方程)已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與軸的正半軸重合，曲線的極坐標方程為直線的參數方程為為參數,.試在曲線上一點，使它到直線的距離最大。22必做題如圖,在四棱錐中，底面，底面為梯形，點在棱上，且(1) 求證：平面平面；(2) 求平面和平面所成銳二面角的余弦值23必做題付款方式分1期分2期分3期分4期分5期頻數1020a20b某品牌汽車的4S店，對最近100位采用分期付款的購車者進行統計，統計結果如表所示：（1）若以頻率作為概率，求事件A：“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位彩用分3期付款”的概率P（A）；（2）4S店銷售一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款，其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元用表示經銷一輛該品牌汽車的利潤，求的分布列及數學期望E答案：1、3 2、 3、30 4、 5、 6、 7、 8、 9、2 10、 11、 12、 1 13、 14、 2對15.（本題滿分14分）解：（）由已知得或由函數最小正周期為，得，4分，當時,是減函數，函數的單調遞減區間是7分（）由（）及已知得,即,或，或又是銳角三角形，10分的面積為，,，由余弦定理，得,由正弦定理，得,的外接圓面積為14分16.（本題滿分14分）解:（1）連結,底面為菱形，,是等邊三角形,分別是的中點,平面底面,交線是平面,平面（2）連結交于點,交于點,連結,底面為菱形, 分別是、的中點,且,四邊形是平行四邊形,分別是的中點,同理,又面，平面，平面平面,在中, .17.解：（1）5000.8625 4分當x1000時，y0.75分即購買標價為1000元的商品得到的實際折扣率為0.7 6分（）當x2500,3500時，0.8x2000,2800 7分當0.8x即x時，解得x3000 2500x3000; 10分當0.8x即x時，解得x3750 3125x3500; 13分綜上，2500x3000或3125x3500即顧客購買標價在間的商品，可得到的實際折扣率低于14分18解(1) 設動點為, 依據題意，有，化簡得 3分因此，動點P所在曲線C的方程是： 4分(2) 點F在以MN為直徑的圓的外部理由：由題意可知，當過點F的直線的斜率為0時，不合題意，故可設直線：，如圖所示 5分聯立方程組，可化為，則點的坐標滿足 7分又、，可得點、點與圓的位置關系，可以比較點到圓心的距離與半徑的大小來判斷，也可以計算點與直徑形成的張角是銳角、直角、鈍角來加以判斷因，則=9分于是，為銳角，即點F在以MN為直徑的圓的外部 10分(3)依據(2)可算出，則 ， 15分所以，即存在實數使得結論成立 16分 進一步思考問題：若上述問題中直線、點、曲線C：，則使等式成立的的值仍保持不變請給出你的判斷 (填寫“不正確”或“正確”)(限于時間，這里不需要舉反例，或證明)對進一步思考問題的判斷：正確 19. 解：，2分來源:Zxxk.Com，令，得，或，函數的單調增區間為， 。 6分， 設，依題意，在上是減函數。 9分當時， ，令，得：對恒成立，設，則，在上是增函數，則當時，有最大值為，。 12分當時， ，令，得： ，設，則， 在上是增函數， 15分 綜上所述，. 16分20（本小題滿分16分）解：（1）在S3n2anS中分別令n2，n3，及a1a得(aa2)212a2a2，(aa2a3)227a3(aa2)2，因an0，所以a2122a，a332a 2分因數列an是等差數列，所以a1a32a2，即2(122a)a32a，解得a34分經檢驗a3時，an3n，Sn，Sn1滿足S3n2anS（2）由S3n2anS，得SS3n2an，即(SnSn1)(SnSn1)3n2an，即(SnSn1)an3n2an，因為an0，所以SnSn13n2，(n2)， 6分所以Sn1Sn3(n1)2，得an1an6n3，(n2) 8分所以an2an16n9，得an2an6，(n2)即數列a2，a4，a6，及數列a3，a5，a7，都是公差為6的等差數列， 10分因為a2122a，a332a所以an 12分要使數列an是遞增數列，須有a1a2，且當n為大于或等于3的奇數時，anan1，且當n為偶數時，anan1，即a122a，3n2a63(n1)2a6(n為大于或等于3的奇數)，3n2a6