微積分拾零：也說極限（隨便說說）v1.2 消化微積分，牛人們花了100年。 微積分難理解。我對它也是霧里看花。關(guān)鍵是實數(shù)系。極限這個運算并不是憑空人造出來的，它只不過是將實數(shù)系的一些性質(zhì)顯現(xiàn)出來，manifest，正象群也不是人造出來的，也不過是將對稱這個隱藏的普遍現(xiàn)象顯現(xiàn)出來。 極限直觀上是個動點的過程，和距離有關(guān)。能無限接近，實際上就是（無限）稠密的體現(xiàn)。而要“看見”這個，似乎要將點摳掉（x-x0）。Dirichlet函數(shù)將無理數(shù)有理數(shù)對應(yīng)不同的數(shù)，按經(jīng)典定義它是不連續(xù)的，但實際上它還是能在某種程度上某種意義上“連續(xù)”的，這就是勒貝格HenriLebesgue的貢獻。這是因為有理數(shù)系/無理數(shù)系都是稠密的。求極限把點摳掉，因為實數(shù)系本身也是“連續(xù)的”（有序稠密的無窮集合）。它不是可數(shù)的，那是因為有可惡的無理數(shù)在，但好在有理數(shù)是稠密的。每個無理數(shù)或有理數(shù)附近都有有理數(shù)，所以那些個雜質(zhì)（無理數(shù)）也無關(guān)緊要。實數(shù)系這時可以換作有理數(shù)系。可數(shù)意味著它能有一一對應(yīng)的關(guān)系，能看作函數(shù)。要讓函數(shù)獲得實數(shù)系的性質(zhì)，最簡單的辦法就是找個數(shù)列（自然數(shù)函數(shù)）。通過收斂數(shù)列，就能把實數(shù)系制造出來。這是很重要的思想。在實數(shù)集上求極限，顯然只要把實數(shù)的連續(xù)還原成看得見的稠密。這個看得見的稠密，直觀上是附近動點的無限接近。用數(shù)列的辦法，也是最經(jīng)典的，就是附近要有任意個收斂數(shù)列。求極限的結(jié)果只能是個數(shù)，因為它的土壤是實數(shù)系。求極限就是把要驗證的對象和實數(shù)系比一比，兩者長得像不象。 連續(xù)是說，函數(shù)值只能來回擺，不能跳。這其實也是實數(shù)系的性質(zhì)（遍歷）。所以，說來說去，實數(shù)系就是一把尺。英文的measure就是度量的意思。在勒貝格的世界里Dirichlet函數(shù)是“好的”，因為盡管比較怪，但還是點對應(yīng)點。只要點對點，那還是好的函數(shù)，只有那些點集對點之類的才是壞的函數(shù)，要把他們剔除出去。 打破沙鍋問到底，為什么要摳掉，因為稠密這個性質(zhì)只能用距離這樣的概念衡量。而這把量距離的尺當然有刻度，可這個刻度還不能在實數(shù)軸上，實數(shù)要靠它量，怎么可能上面有刻度？它只在人腦里。所以，實質(zhì)上是把實數(shù)和尺上的刻度位置比。這里要分清抽象和具體。每個函數(shù)的定義域是具體的，它是一個實例，可以叫實軸或區(qū)間。這個具體的實例是抽象的實數(shù)系的具體化(或部分具體化）。所以，求極限x-x0，第一個x來自具體的定義域?qū)嵗瑇0來自抽象的實數(shù)系（一把尺）。這把尺雖然已經(jīng)是抽象的，但還有比它更抽象的。這把尺還要用另一把“尺”去量。或者說，還要用另一些抽象概念去定義尺這個概念。明白了這一點，就知道了那個-其實不像一般書上說的是接近的意思，而是對照，量一量比一比的意思。 一個數(shù)列的極限是a，實質(zhì)上是說在實數(shù)系的a處附近存在這個收斂數(shù)列。或者說這個數(shù)列是實數(shù)系a處的構(gòu)造數(shù)列。因此，這算是個函數(shù)，數(shù)列對應(yīng)點。說實數(shù)展開成數(shù)列或級數(shù)（算是數(shù)列的數(shù)列），實際上是說兩者等價。等價不是等于，等于是說兩個東西是同一個事物，等價有個context（上下文），等價是說在這個context中兩個東西是相同的。數(shù)列和數(shù)怎么說都是兩種不同的數(shù)學(xué)對象，但在實數(shù)系上考察，就是等價的，因為兩者都是實數(shù)系的構(gòu)造元。這是一個很偉大的發(fā)現(xiàn)。 微積分的大廈建筑在極限、連續(xù)的基礎(chǔ)上，也就是建筑在實數(shù)系上。當然微積分還需要別的思想，這就是線量化思想。這個想法古希臘和我國古代也有。 多項式x2是簡單的。這里的平方可以理解成二維的空間。x2是這個二維空間的一個點。平方是x乘x，這個二維可以理解成笛卡爾積YXY。空間是用笛卡爾積定義的。平方不過是個二元的序偶。這是因為我們只考慮它的性質(zhì)，而不考慮它的運算結(jié)果。這里就有同維不同維的問題。x3比x2高維。多項式不是線性的，因為它們的運算會出現(xiàn)不在同維的情況。線性的運算只能在同維中發(fā)生。數(shù)乘是線性的，一般的乘法不是。多項式常說的階用其中的最高維定義的。 我們知道多項式的導(dǎo)數(shù)要降一階。這是很奇怪的。微積分最基本的思想就是用直線段去逼近（或者叫擬合/代替？）曲線段，用一個線量去求非線量。結(jié)果它降一階。x是x的一次函數(shù)，而且意義上是距離。這個認識特別重要。除法是乘法的逆運算，所以空間維數(shù)也要變而且對多項式是反著變。三角函數(shù)求導(dǎo)還是三角函數(shù)。也很奇怪。說明還有另外一種“空間”，其中的維數(shù)不是做加減法，而是循環(huán)（想想化學(xué)中那個天才的苯環(huán)）。我本人一直將數(shù)學(xué)當化學(xué)來看。我就發(fā)現(xiàn)還真能對上號。來看虛數(shù)單位i,i的冪是循環(huán)的。這個認識很普通，但很重要。這大概就是subtle。三角函數(shù)和i密切相關(guān)。x軸對應(yīng)cos，y軸對應(yīng)sin。如果要定義三角函數(shù)的空間，可以用i。我們知道集合中的元素最好要有序。如果把函數(shù)看成元素，也就是空間的點，我們最好函數(shù)像自然數(shù)那樣也能排列。多項式能這樣排列是顯然的。但三角就比較特別，它可以看作是單位圓上的循環(huán)。這有點像有機化學(xué)里無處不在的苯環(huán)。有機化學(xué)比無機好學(xué)，三角也比多項式要好對付。由于三角函數(shù)的空間與眾不同，他的用處就很大。有一半的數(shù)學(xué)是建立在三角上面的，還有一半大概就是多項式的領(lǐng)地了。由于它循環(huán)，所以那個無窮維的情況實際上就不存在。這就意味著任何情況都是可控的，可以預(yù)知的。這在計算上就有大用處。極限本身并不降維（對多項式是降階）。求導(dǎo)降維是除法的關(guān)系。導(dǎo)數(shù)要做一次除法。 求導(dǎo)似乎是求瞬時變化率/斜率。這是從應(yīng)用的角度說的。換種說法，求n次導(dǎo)實際上在維上依次得到了函數(shù)序列（數(shù)列就是在自然數(shù)上的得到的序列），而一個個具體的函數(shù)（不管是多項式還是三角）就像上面說的不過是空間中的一個個點。二階導(dǎo)數(shù)并不是一種單一的運算，而是接連做兩次，甚至從理論上說還不需要真的連著做。這和冪是一樣的，不是單一的運算。因此，求導(dǎo)顯然是一種一元的作用在函數(shù)上的運算。下面我們還會說到這個運算還是線性的，盡管它工作在n維上。 空間有維（或者叫有序），求導(dǎo)就是在這些不同維空間中開辟了一條線性的通道。不過，數(shù)是沒有維的，因為它是點，它由任意數(shù)的0次方獲得。微積分被認為是有史以來最偉大的發(fā)明（還有一個可能是群），奧妙照我理解就在這里。線性運算早就在那里了，但它有限制，只能同維，導(dǎo)數(shù)不得了，它打通了樓層的天花板，在天花板上鉆了個洞。為什么會成功？這個可以用拓撲的概念來理解。拓撲好像就是橡皮膜的不變性質(zhì)（數(shù)學(xué)只研究不變的永恒的），想象一根針在橡皮膜上使勁扎，不管怎么扎，總是不會戳破。所以拓撲是打通了維以后進行研究。有維的是具體的空間，把空間用拓撲的概念一般化以后就得到一個沒有維的空間（無窮維），也就是一個抽象的空間。具體的空間是它的實例，也就是它的子集。（一個個函數(shù)是點） 代表未知量的符號一般認為是數(shù)的抽象，是個占位的東西。從數(shù)學(xué)的觀點來看，還不是一回事。數(shù)乘得到的是同維的點，這是點的運算。符號相乘是點集的運算，得到的是新的函數(shù)，而且通常是不同維的。因為符號其實是個序偶的集合。這也是很微妙的。乘法和加法都可以跑到新的空間中去。但有點不同。多項式相加并不是真的創(chuàng)造出一個新的，而是幾個原有的聯(lián)合或者叫組合。這里所謂組合，其實就是collection集合的意思，集合中的元素可以無序。換句話說，加法是在維上（當然可以是同維）又取了個子集。加法的這個性質(zhì)也很重要。 說到拓撲，再補充一下。高次多項式的圖形比低次要更彎，也就是更扭曲，也就是說高維的比低維的要更扭曲。直線段當然就是平坦。上面說針扎，就是說你不管怎么扭曲那個橡皮膜。拓撲就是研究任意扭曲空間的不變性質(zhì)，至少如此吧。這一點似乎和微積分沒什么關(guān)系，其實關(guān)系很大。 那么為什么線量化管用？有一條很難證明的定理：兩點之間直線段最短。多項式是曲線，有階（有維），而直線段很特別，它本身代表了一個最值。對多項式而言，倒不是數(shù)是最基本的，而是直線段。下面我們會看到這個直線段其實就是標架的一根軸。多項式最后拖一個數(shù)，它又會變得特別，因為兩者不是同一類。而對具體空間的運算（它的實例是多項式的乘法）還就是個代數(shù)運算，下面會看到。所以線量化一定管用，而且處處管用。因為這是世界的普遍公理，對最基本的對象進行最基本的運算能得到復(fù)雜的。（這叫袋鼠最牛定理）那有人會問那個無窮小的量到哪里去了。沒了，消失了，到黑洞里面去了。x2/x3，好比要將二維的降三維。結(jié)果一定是變成點（坍縮成黑洞）。點坍縮坍縮，直到黑洞。軸的0附近存在無數(shù)個無窮小。0和無窮小是等價的。只不過這個無窮小0很特別。數(shù)字0是個怪物，傳統(tǒng)上看它還不是數(shù)。0應(yīng)該說是個位置，它兩邊等距的都能復(fù)合，正負對撞，就是說能湮滅。它代表了中性位置。所以，對0進行任何運算都是沒有意義的（史前的說法）。距離這個東西一定要大于0。但牛人們硬是創(chuàng)造出了一個0，一個真正的數(shù)，而絕不是一個虛幻的概念。0創(chuàng)造出來以后，就和其他的數(shù)沒什么區(qū)別，當然這是在微積分的世界。極限的運算和普通的四則運算一樣，也是代數(shù)運算。也就是說它有個好處，無窮小0和代數(shù)中那個0是一樣的。就和那個i一樣，是能和實數(shù)混在一起用同一種法則運算的。因此，雖然發(fā)明了一種希奇的運算，但無窮小還是0，沒什么不一樣。是0，當然就能湮滅，就能消失。但因為求導(dǎo)是降維的，所以最好理解成坍縮的點（黑洞）。也就是說極限將代數(shù)運算包了進來，還進行了擴展。 0在代數(shù)中不能做除數(shù)，但在微積分世界就可以。這是有點奧妙的。根源還在于0在代數(shù)中受到歧視。0如果可以在代數(shù)中做除數(shù)，那就意味著0處就可以得到所有的數(shù)，這和代數(shù)世界的數(shù)由自然數(shù)1得到是矛盾的。因此0就只能另作他用了。而在微積分世界里，0和其他數(shù)一樣。真的一模一樣？還是有點不一樣。0是黑洞，常數(shù)求導(dǎo)以后都要變成0。我們知道常數(shù)是0維，那0是幾維，沒人知道。因此可以在感情上認為0在微積分世界里是個用來創(chuàng)生的東西。之所以能做除數(shù)，關(guān)鍵在于極限是工作在函數(shù)上的，而不像小學(xué)除法是在數(shù)上，因此能對函數(shù)變形。 中學(xué)里我們知道乘法就是加法，但這個說法推廣以后只對數(shù)成立，也就是只對具體空間中的點成立。我們還發(fā)現(xiàn)多項式求導(dǎo)后階數(shù)變成了系數(shù)。也就是空間之間的除法（降維）變成了空間內(nèi)部的乘法（即加法）。可見，它要保證某種東西不發(fā)生變化。這個不變的，應(yīng)該就是加法。積分的基礎(chǔ)是先乘后和，也就是加法。如果說求導(dǎo)是降維，那積分就是升維。加法是最基本的東西，用直線段去逼近，方法就是加法。上面說的那個普遍公理，那個“得到”的途徑就是加法，而且恐怕還只能是加法。加法是天生的。它有個好處，什么都能加，同維的能加，不同維的也能加。同維的加是乘法，不同維的加算是一種聯(lián)合/組合/串聯(lián)。兩個不同維加起來的東西，我們無法比較他們的大小，除非他們完全一樣，這時候我們應(yīng)該叫他們等同。向量的加法，是三角形法則，實質(zhì)上是在對應(yīng)分量上做同維的加法，同維的東西才有大小的概念（也就是等于）。等于是序關(guān)系，有等于必有大于小于。因此，加法和乘法推廣以后就分道揚鑣了。 之所以能打通維，也就說在扭曲空間里線量化走得通，因為背后是加法。求導(dǎo)一種說法是研究微觀局部的性質(zhì)。求導(dǎo)沒有出現(xiàn)加法，它求得是一個局部的線量，而且是極限方法。這個線量不在同維，在低一維，而實際上在低一維獲得的也不是真正的線量（極限的關(guān)系）。這樣遞推下去，顯然就只能在最低維（0維）上獲得的數(shù)算是真正的線量了（那個數(shù)圖上看就是平行x軸的線），因此要反推回去，就做加法。求導(dǎo)和遞歸有點像。極限有個好處，它能讓某些東西坍縮掉。求導(dǎo)實際上是求f(g(x),g(x)=x的極限，是個復(fù)合函數(shù)。大部分函數(shù)，至少多項式和三角，都能看作是一長串函數(shù)復(fù)合起來的，是點的序列或者樹。復(fù)合函數(shù)求極限，那個極限可以放到函數(shù)里面（交換次序）。這意味著對f求一次導(dǎo)和求10次是相同的，因為那個lim可以一直放到函數(shù)的最深一層（復(fù)合可以看作嵌套）。注意，不是對導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)。而對x不管求多少次導(dǎo)還是得到一個1。注意，不是依次求，而是同時求。這里有個多變量的情況。同時求就是說沿不同的路徑求。如果是單變量，同時求可以理解成沿不同的收斂數(shù)列求。因此要降到最低維，只需要做一次求導(dǎo)。降到最低維特別重要，因為只有在那里才能獲得真正的線量，這個東西是建筑材料磚頭。這（x）是微積分世界最基本的東西。就像在代數(shù)世界，我們有個自然數(shù)1。這里微積分中，我們也有一個可以用來創(chuàng)生的點。這個1是個線量，構(gòu)造出一維二維等等。這個構(gòu)造的過程，就是反推回去做加法。這樣獲得的是低一維的函數(shù)，之所以低一維，是商的關(guān)系。因為求極限獲得的只能是點，求導(dǎo)獲得的是低維的點。點只能由點坍縮獲得（只討論微積分），而有些東西是加出來的，換句話說，它還是個集合一樣的東西，要讓它變成點，只能是一個點坍縮成點（高維到低維），其他都坍縮成黑洞（零）。求導(dǎo)就能保證其他的都坍縮成黑洞，只有一個坍縮成點。道理還是上面的復(fù)合和x。那個最深一層，或者叫序列的盡頭，是被x牢牢占據(jù)的，它一定是最深的。那個返回的過程，做加法，怎么加，就是積分。所以求積分就是求原函數(shù)。由于遞歸，求導(dǎo)實際上包含了兩個過程，先坍縮到1，然后再回去。在坍縮到1的過程中，該消失的都得消失。因為有些函數(shù)經(jīng)受不起，被摧殘成了黑洞，因為他們的維不夠高。可見求導(dǎo)就是抓住最高維。返回去也是必需的，因為求導(dǎo)只除以了一個x，并沒有除以x的更高次方。至于為什么求導(dǎo)只除以了一個x，我想這是物理應(yīng)用的關(guān)系，有它的意義。這個返回的過程（積分）從求導(dǎo)本身的公式是看不到的，至于牛人們?yōu)槭裁纯吹搅耍蔷褪翘觳拧?返回去從公式上看是做乘法，其實做的是加法。加法在同維是乘法（數(shù)乘）。這個加法