金太陽新課標資源網 2011年高考數學難點、重點突破精講精練專題07指數函數與對數函數【名師導航】指數函數與對數函數以基本概念、性質為主設計試題，考查指數、對數的定義域、值域、單調性和運算，選擇、填空題屬中等難度，若解答題涉及到指、對數函數，往往難度會上升。【高考目標定位】指數函數1了解指數函數模型的實際背景；2理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算；3理解指數函數的概念，理解指數函數的單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點；4知道指數函數是一類重要的函數模型。對數函數1理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用。2理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性，掌握對數函數圖象通過的特殊點。3知道對數函數是一類重要的函數模型。4了解指數函數y=ax與對數函數互為反函數（）二、熱點、難點提示1指數函數在高中數學中占有十分重要的地位，是高考重點考查的對象，熱點是指數函數的圖象與性質的綜合應用同時考查分類討論思想和數形結合思想；2對數函數在高考的考查中，重點是圖象、性質及其簡單應用，同時考查數學思想方法，以考查分類討論、數形結合及運算能力為主。以選擇、填空的形式考查對數函數的圖象、性質；也有可能與其他知識結合，在知識交匯點處命題，以解答形式出現(xiàn)，屬中低檔題。【考綱知識梳理】指數函數的圖象與性質 y=axa10a0時，y1;x0時,0y0時，0y1;x1(3)在（-，+）上是增函數（3）在（-，+）上是減函數注：如圖所示，是指數函數（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的圖象，如何確定底數a,b,c,d與1之間的大小關系？提示：在圖中作直線x=1，與它們圖象交點的縱坐標即為它們各自底數的值，即c1d11a1b1,cd1ab。即無論在軸的左側還是右側，底數按逆時針方向變大。對數函數1、對數的概念（1）對數的定義如果，那么數叫做以為底，的對數，記作，其中叫做對數的底數，叫做真數。（2）幾種常見對數表格 1對數形式特點記法一般對數底數為常用對數底數為10自然對數底數為e 2、對數的性質與運算法則（1）對數的性質（）：，。（2）對數的重要公式：換底公式：；，推廣。（3）對數的運算法則：如果，那么；R）；。3、對數函數的圖象與性質圖象性質（1）定義域：（0,+）（2）值域：R（3）當x=1時，y=0即過定點（1，0）（4）當時，；當時，（4）當時，；當時，（5）在（0,+）上為增函數（5）在（0,+）上為減函數注：確定圖中各函數的底數a，b，c，d與1的大小關系提示：作一直線y=1，該直線與四個函數圖象交點的橫坐標即為它們相應的底數。0cd1a0), 或向右( 0)的圖象，可由yf(x)的圖象上每點的橫坐標伸長(00, 0) 的圖象變換規(guī)律，是上述平移變換與伸縮變換結合在一起的特殊情況，這一變換規(guī)律對一般函數y=Af(x+ ) (A0, 0)也成立。（2）從圖象看性質函數的圖象直觀地反映了函數的基本性質圖象在x軸上的身影可得出函數的定義域；圖象在y軸上的身影可得出函數的值域；從左向右看，由圖象的變化得出增減區(qū)間，進而得出最值；由圖象是否關于原點（或y軸）對稱得出函數是否為奇（偶）函數；由兩個圖象交戰(zhàn)的橫坐標可得方程的解。例已知函數y=()|x+1|。（1） 作出圖象；（2） 由圖象指出其單調區(qū)間；（3） 由圖象指出當x取什么值時函數有最值。分析：化去絕對值符號將函數寫成分段函數的形式作圖象寫出單調區(qū)間寫出x的取值。解答：（1）由已知可得其圖象由兩部分組成：一部分是： 另一部分是：圖象如圖：（2）由圖象知函數在上是增函數，在上是減函數。（3）由圖象知當時，函數有最大值1，無最小值。指數函數的性質1、相關鏈接（1）與指數函數有關的復合函數的定義域、值域的求法函數y=af(x)的定義域與y=f(x)的定義域相同；先確定f(x)的值域，再根據指數函數的值域、單調性，可確定y=af(x)的值域；（2）與指數函數有關的復合函數的單調性的求解步驟求復合函數的定義域；弄清函數是由哪些基本函數復合而成的；分層逐一求解函數的單調性；求出復合函數的單調區(qū)間（注意“同增異減”）。對數函數對數的化簡與求值對數的化簡與求值的基本思路利用換底公式及，盡量地轉化為同底的和、差、積、商運算；利用對數的運算法則，將對數的和、差、倍數運算，轉化為對數真數的積、商、冪再運算；約分、合并同類項，盡量求出具體值。例計算（1）；（2）；（3）解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。比較大小1、相關鏈接（1）比較同底的兩個對數值的大小，可利用對數函數的單調性來完成。a1,f(x)0.g(x)0,則logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0;0a0,g(x)0,則logaf(x)logag(x) 0f(x)b1，如圖1.當f(x)1時，logbf(x)logaf(x);當0f(x) logbf(x).若1ab0,如圖2。當f(x)1時，logbf(x) logaf(x);當1f(x)0時，logaf(x) logbf(x).若a1b0。當f(x)1時，則logaf(x) logbf(x);當0f(x)時，則logaf(x)logbf(x).（3）比較大小常用的方法作差（商）法；利用函數的單調性；特殊值法（特別是1和0為中間值）例對于，給出下列四個不等式：；其中成立的是（ ）（A）與（B）與（C）與（D）與分析：從題設可知，該題主要考查與兩個函數的單調性，故可先考慮函數的單調性，再比較大小。解答：選D。0a1,a,1+a1+,即正確。對數函數性質應用1、相關鏈接（1）對數函數的性質是每年高考必考內容之一，其中單調性和對數函數的定義域是熱點問題。其單調性取決于底數與“1”的大小關系。（2）利用單調性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”。即把不同底的對數式化為同底的對數式，然后根據單調性來解決。（3）與對數函數有關的復合函數的單調性的求解步驟確定定義域；弄清函數是由哪些基本初等函數復合