2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 實分析 多媒體教學課件 DepartmentofMathematics 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 第一章復習 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 第一節 集及其運算 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 集合 具有某種特定性質的事物的總體 通常用大寫英文字母A B X Y 等表示 組成這個集合的事物稱為該集合的元素 一般說來 我們總用小寫字母a b x y 表示集合中的元素 有限集 無限集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定理1 1分配律 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定理1 2 DeMorgan公式 注 通過取余集 使A與Ac 與 互相轉換 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 其中S為全集 簡記為Ac 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 笛卡爾乘積 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 第二節映射 集的對等 可列集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 一 映射 原像 像 定義域D f 值域R f 1 定義 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 稱f為單射 則稱f為滿射 若f既為單射又是滿射 則稱f為一一映射 單射 滿射 一一對應 一一映射 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 2對等與勢 定義2 2設A B是兩非空集合 若存在著A到B的一一映射f f既單又滿 則稱A與B對等 注 稱與A對等的集合為與A有相同的勢 基數 記作勢是對有限集元素個數概念的推廣 記作約定 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 1 2 3 4 5 6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 與自然數集N對等的集合稱為可數集或可列集 其基數記為 1 可數集的定義 3 可數集合 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 例 1 Z 0 1 1 2 2 3 3 2 0 1 中的有理數全體 0 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 4 1 5 2 5 注 A可數當且僅當A可以寫成無窮序列的形式 a1 a2 a3 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 可數集性質 定理2 1任何無窮集都包含一個可數子集 即可數集是無限集中具有最小勢的集合 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 可數集的性質 并集 有限集與可數集的并仍為可數集 可數個可數集的并仍為可數集 有限個可數集的并仍為可數集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 例 有限個可數集的卡氏積是可數集 設A B是可數集 則A B也是可數集 從而A B也是可數集 可數個可數集的并 利用數學歸納法即得有限個乘積的情形 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 整系數多項式方程的實根稱為代數數 不是代數數的實數稱為超越數 例4代數數全體是可數集 常見可數集舉例 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 第三節一維開集 閉集及其性質 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定義3 1若集合E的每一個點都E的內點 則稱E為開集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 4 開集的性質 定理3 1a 空集 R為開集 b 任意多個開集之并仍為開集 c 有限個開集之交仍為開集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定義 若Ec為開集 則稱E為閉集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定理3 2E為閉集的充分必要條件是 證明 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定義 若 則稱E為完全集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 閉集的 等價 定義 若 則E為閉集 R中只有空集和R既開又閉 存在大量既不開又不閉的集合 如 E 0 1 定義3 3 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定理3 3任何集E的導集E 為閉集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 閉集性質 任意一簇閉集之交為閉集 任意有限個閉集之并仍為閉集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 例8f x 是直線上的連續函數當且僅當對任意實數a E x f x a 和E1 x f x a 都是閉集 證明 我們先證充分性 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 而要證E x f x a 是開集 只要證 中的點都為內點 由f x 在x0處連續及極限的保號性知 存在 0 當 x x0 a 任取x0 E x f x a 則f x0 a 必要性 若f x 是直線上的實值連續函數 只要證對任意常數a E x f x a 與E1 x f x a 是開集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 類似可證 x f x a 為開集 從而 x f x a x f x a c是閉集 即O x0 E x f x a 即x0為E的內點 從而E為開集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 第四節開集的構造 目的 掌握Cantor集的構造 熟悉直線上開集與閉集的構造 重點與難點 Cantor集的構造 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定義4 1設G是直線上有界開集 如果開區間滿足下面條件 則稱區間為G的構成區間 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定理4 1 1直線R中任何非空的有界開集G都可表示為有限個或可數個互不相交的構成區間的并 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定理4 1 2設F是非空的有界閉集 則F是由一閉區間中去掉有限個或可數個互不相交的開區間 F的余區間 而成 根據開集與閉集的互余關系 可得如下閉集的構造定理 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定義 i 若 即的每一點都是自身的聚點 則稱是自密集 ii 若 則稱是完備 全 集 二 自密集 疏朗集 完備 全 集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定義若E是實直線R的子集 若 則稱E為R中稠密集 當的補集在R中稠密時 則稱為疏朗集 即為疏朗集在R中稠密 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 例1 Cantor三分集 Cantor集的構造 將 0 1 均分為三段 刪去中間的開區間 將剩下的兩個區間再次三等分 刪去中間的兩個區間 如此繼續下去 最終剩下的點集記作P 稱之為Cantor集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 Cantor集的性質 注 第n次共去掉2n 1個長為1 3n的開區間 b mP 0 去掉的區間長度和 a P是閉集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 c P沒有內點 d P中的點全為聚點 沒有孤立點 P為完備 全 集 e P 0 1 0 1 R a b a b 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 第五節集的勢 序集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定義 與 0 1 區間對等的集合稱為連續勢集 其勢記為 顯然 例 1 R 0 1 0 1 0 1 R a b a b 5 連續勢集的定義 2 無理數集為連續勢集 無理數要比有理數多得多 同理超越數要比代數數多得多 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 基數的大小比較 定義5 1 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 3 假設A B是兩個集合 若A與B的某個真子集B 對等 但不與B對等 則說A的勢小于B的勢 記作 或說B的勢大于A的勢 記作 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 從而說明無限也是分很多層次 且不存在最大的集合 4無最大勢定理 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 定理5 2 Bernstein定理 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 從前面我們已經看到 Cantor認為在之間不存在別的基數 即不存在這樣的集合A 使得但Cantor證明不了 這就是著名的Cantor連續統假設 連續統假設 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 2連續勢集的性質 卡氏積 有限個 可數個連續勢的卡氏積仍為連續勢集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 推論 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 正方形的一條邊與正方形的面積有 相同多 的點 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 其次所以 首先所以 例3設E表示 0 1 上一切有界實函數的類 證明E的勢為 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 證明 回憶一下前面的進位表示法以及Cantor集的構造立刻看到 這里用三進制小數表示 0 1 中的點 將會更方便于討論 我們先來看看 去掉的三等分區間中的點用三進制表示的話 有什么規律 顯然 第一次刪去的區間 例4 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 內的點對應的三進制數第一位必然是1 進一步觀察不難發現 只要點在某個刪去的區間內 則的三進制表示中 必有某一位是1 反之 如果不是分點 且在某位出現1 則在經過若干次刪除手續后 必然在刪去的區間內 即 因此 除了分點外 在中當且僅當其三進制表示中不出現數1 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 由Cantor集的作法中去掉的點為小數位出現1的點的全體 從而Cantor集P為小數位只是0 2的點的全體 現在作對應P到 0 1 的對應如下 嚴格說是P到 0 1 的二進制數之間的對應 則顯然是一一對應 則立得 所以證畢 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 連續勢集的性質 并集 連續勢集的 有限個 可數個 連續勢個 并仍為連續勢集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 半序集定義 自反性 反對稱性 傳遞性 則稱A按成一半序集 偏序集 設A是一集合 為A中的某些元素的關系且滿足 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 2Zorn引理與選擇公理 Zorn引理 設是一偏序集 A中的每個全序子集有上界 則A必有極大元 選擇公理 設為一簇兩兩不交的非空集簇 則存在一集B使得是單元素集 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 1 集合的并 交 差 補等概念 以及集合的運算律 點集的內點 聚點 孤立點 邊界等基本概念 2 直線上開集 閉集的構造定理 康托集是本章的一個重要例子 本章主要基本知識 2020 3 13 福州大學數學與計算機學院聶建英 3 可列集的定義和性質 可列集是無限集中基數最小的一類集合者 連續集及其性質 掌握可列集 連續集的基本例子 4 無最大基數定理 5 伯恩斯坦定理 它是判斷兩個集合對等的有效方法 第三章復習 本章討論一類重要的函數 可測函數 它和連續函數有密切的聯系 同時又在理論上和應用上成為足夠廣泛的一類函數 我們可以看到可測函數取極限相當方便 可測函數的極限仍是可測函數 第三章可測函數 第一節可測函數的基本性質 Lebesgue積分 從分割值域入手 用mEi表示Ei的 長度 要使Lebesgue積分的思想得以實現 必須要求分割得出的點集Ei都是可測集 或更一般地要求 定義 設f x 是可測集E上的實函數 可取 若可測 則稱f x 是E上的可測函數 1可測函數定義 定義 設f x 是可測集E上的實函數 則f x 在E上可測 2 可測函數的等價描述 例1零測度集上的任何函數都是可測函數 證明 設f是零測度E上的函數 則對任意a R有因為零測度集的子集仍為零測度集 可測 由定義所以函數可測 例2簡單函數是可測函數 證 任取x E f a 則f x a 由連續性局部保號性知 例3 可測集E上的連續函數f x 一定為可測函數 可測函數關于子集 并集的性質 即 若f x 是E上的可測函數 可測 則f x 限制在E1上也是可測函數 3 可測函數的性質 證明 注意到 若 f x 限制在En上是可測函數 則f x 在E上也是可測函數 證明 注意到 設S是某個命題或某個性質 若S在集E上除了某個零測度集外處處成立 則稱S在E上幾乎處處成立 記為S a e 于E或S a e almosteverywhere 定義1 3 幾乎處處概念 若m E f g 0 則稱f x g x 在E上幾乎處處相等 記f x g x a e 于E 例如 幾乎處處相等 例如 Dirichlet函數幾乎處處等于0 例3設f x g x a e 于E f x 在E上可測 則g x 在E上也可測 例題說明 在一零測度集上改變函數的取值不影響函數的可測性 例如 幾乎處處收斂 設是E上的函數列 是E上的函數 若存在 使且對任意 有則稱在上幾乎處處收斂到f 記作 若 fn x 是可測集E上的可測函數列 則下列函數仍為E上可測函數 定理1 1 為方便我們把一般函數分解成兩個非負函數來考察 一般函數可分解成正部和負部如下 推論1設f x 是可測集E上的可測函數列 則下列函數在E上均為可測函數 推論2若 fn x 是可測集E上的可測函數列 則下列函數仍為E上可測函數 證明兩次應用定理1 1即可 推論3 可測函數列的極限函數仍為可測函數 注 連續函數列的極限函數不一定為連續函數 由于函數的可測性不受一個零測度集的值的影響 于是我們有下面定理1 2 定理1 2如果是可測集E上的可測函數序列 且幾乎處處收斂到 即則在E上可測 可測函數與簡單函數的關系 設f x 是可測集E上的可測函數 則f x 總可表示成一列簡單函數的極限而且還可辦到 注 由于一般函數f可表示成它的正部與負部之差 對f的正部與負部分別應用定理1 3即得 定理 可測函數的充分必要條件 函數f x 是可測集E上的可測函數的充分必要條件是f x 總可表示為一列簡單函數的極限 引理1 1函數 x x 是可測集E上的簡單函數 則它們的和 差 積 商 分母幾乎處處不為零 仍然是簡單函數 定理1 4可測集E上的兩個可測函數的和 差 積 商 假定運算幾乎處處有定義 仍然是E上可測函數 第二節可測函數列的收斂性 1 它的上極限集定義為 定義2 1 上 下極限集 2 下極限集定義為 3 如果集列的上極限集與下極限集相等 即 則稱集列收斂 稱其共同的極限為集列的極限集 記為 定義2 1 極限集 容易知道上 下極限集有關系 定理 單調集列是收斂的 單調增集列極限 函數逼近是分析中十分重要的問題 它的本質就是用 好 的或 簡單 的函數去逼近 壞 的或 復雜 的函數 點點收斂 函數列的幾種收斂定義 記作 一致收斂 記作 去掉某個零測度集 在留下的集合上處處收斂 即 幾乎處處收斂 記作 例1 試考察函數列 fn x xn n 1 2 在 0 1 上處處收斂 自然幾乎收斂 但不一致收斂 因為極限函數不連續 但去掉一小測度集合 1 1 在留下的集合上一致收斂 fn x xn 定義2 2設E為可測集 mE fn f是E上幾乎處處有限的可測函數 如果對 則稱fn在E上近一致收斂于f 記作 即 去掉某個小 任意小 測度集 在留下的集合上一致收斂 4 近一致收斂 即 去掉任意小 適當小 的測度集 在留下的集合上仍不一致收斂 fn不近一致收斂于f 定義2 3設E為可測集 fn f是E上的可測函數 如果對每個 0 有 則稱fn在E上依測度收斂于f 記作 依測度收斂 不依測度收斂 1 處處收斂但不依測度收斂 在R 上處處收斂于f x 1 幾種收斂的區別 例2 說明 當n越大 取1的點越多 故 fn x 在R 上處處收斂于1 所以 fn x 在R 上不依測度收斂于1 又例 上述 fn 處處收斂于1但不近一致收斂于f x 1 例3 依測度收斂但處處不收斂 取基本集E 0 1 n 2k i 0 i 2k k 0 1 2 3 fn如下圖 因為 但是 對任何x 0 1 fn x 有兩個子列 一個恒為1 一個恒為0 所以 fn x 在 0 1 上處處不收斂 例 函數列fn x xn在 0 1 上處處收斂到f x 0 但不一致收斂 但去掉一小測度集合 1 1 在留下的集合上一致收斂 收斂的聯系 葉果洛夫定理的引入 設E為可測集 mE fn f是E上幾乎處處有限的可測函數 即 可測函數列的 收斂 幾乎處處收斂 基本上 是一致收斂 定理2 1 葉果洛夫定理 引理 設mE fn f在E上幾乎處處有限且可測 注 a 葉果洛夫定理中條件mE 不可少 則fn在R 上處處收斂于f x 1 fn不幾乎一致收斂于f于R 例 設 定理2 2 葉果洛夫定理的逆定理 Lebesgue定理 設mE fn f在E上幾乎處處有限且可測 Riesz定理證明的說明 定理2 4令mE 則 1 若又有 則f x h x a e 于E 依測度收斂的性質 唯一性和四則運算 第三節可測函數的構造 可測函數 問 可測函數是否可表示成一列連續函數的極限 可測集E上的連續函數定為可測函數 設f x 為E上幾乎處處有限的可測函數 則使得m E F 且f x 在F上連續 去掉一小測度集 在留下的集合上成為連續函數 即 可測函數 基本上 是連續函數