江蘇省南京市2020屆高三年級第一學期期初聯考考試數學試題一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）1.已知集合A，B，則AB_【答案】【解析】【分析】根據交集定義直接求得結果.【詳解】由交集定義可得：本題正確結果：【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，屬于基礎題.2.已知復數z（i是虛數單位），則z的虛部是 .【答案】-2【解析】【分析】直接利用復數代數形式的除法運算化簡，則復數z的虛部可求【詳解】z，z的虛部是2故答案為2【點睛】本題考查了復數代數形式的除法運算，考查了復數的基本概念，是基礎題3.對一批產品的質量（單位：克）進行抽樣檢測，樣本容量為1600，檢測結果的頻率分布直方圖如圖所示根據標準，單件產品質量在區間25，30)內為一等品，在區間15，20)，20，25)和30，35)內為二等品，其余為三等品則樣本中三等品件數為_【答案】200.【解析】分析】根據頻率分布直方圖求得三等品對應頻率，根據頻數等于頻率乘以總數求得結果.【詳解】由題意可知，單間產品質量在和的為三等品三等品對應的頻率為：三等品件數為：本題正確結果：【點睛】本題考查根據頻率分布直方圖計算頻數的問題，屬于基礎題.4.現有三張卡片，分別寫有“1”、“2”、“3”這三個數字將這三張卡片隨機排序組成一個三位數，則該三位數是偶數的概率是_【答案】.【解析】【分析】計算出三位數個數和其中偶數個數，根據古典概型概率公式求得結果.【詳解】三張卡片隨機排序組成一個三位數，共有：個，其中偶數有：個該三位數是偶數的概率：本題正確結果：【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎題.5.函數的定義域為_【答案】【解析】【分析】直接由根式內部的代數式大于等于0，然后求解對數不等式得答案.【詳解】由，得，函數的定義域為.故答案為：.【點睛】本題考查了函數的定義域及其求法，考查對數不等式的解法，是基礎題.6.運行如圖所示的偽代碼，其結果為 【答案】17【解析】試題分析：第一次循環，I=1，S=1+1=2；第二次循環，I=3，S=2+3=5；第三次循環，I=5，S=5+5=10；第四次循環，I=7，S=10+7=17，結束循環輸出S=17考點：循環結構流程圖7.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C：(a0)的右頂點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線C的方程為_【答案】.【解析】【分析】由方程得到頂點坐標和漸近線方程，利用點到直線距離公式構造方程求得，從而得到所求方程.【詳解】由雙曲線方程知，右頂點為，漸近線方程為：，即右頂點到雙曲線漸近線距離，解得：雙曲線的方程為：本題正確結果：【點睛】本題考查雙曲線標準方程的求解，關鍵是能夠利用點到直線距離公式構造方程求得未知量.8.如圖所示是古希臘數學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發現我們來重溫這個偉大發現，圓柱的表面積與球的表面積之比為_【答案】.【解析】分析】設球的半徑為，可知圓柱高為；根據圓柱表面積和球的表面積公式分別求得表面積，作比得到結果.【詳解】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為圓柱的表面積；球的表面積圓柱的表面積與球的表面積之比為本題正確結果：【點睛】本題考查圓柱表面積和球的表面積公式的應用，屬于基礎題.9.函數(A0，0)部分圖象如圖所示若函數在區間m，n上的值域為，2，則nm的最小值是_【答案】3.【解析】【分析】根據三角函數圖象求得函數解析式；利用和求得的取值，可知當時取最小值，從而得到結果.【詳解】由圖象知： ，又 ，當時，或，或， 當時， 若最小，則 本題正確結果：【點睛】本題考查利用三角函數圖象求解函數解析式、根據值域求解定義域的問題；關鍵是能夠通過特殊角三角函數值確定角的取值.10.在公比為q且各項均為正數的等比數列中，為的前n項和若，且，則首項的值為_【答案】.【解析】【分析】首先驗證時，不符合題意，可知；利用和可構造方程求得，代入求得結果【詳解】當時，由得：，解得：與矛盾，可知，又，解得： 本題正確結果：【點睛】本題考查等比數列通項公式的應用，關鍵是能夠利用已知等式構造出關于公比的方程.11.已知是定義在區間(1，1)上的奇函數，當x0時，已知m滿足不等式，則實數m的取值范圍為_【答案】(0，1).【解析】【分析】根據二次函數性質和奇偶性可知在上單調遞減；將不等式變為，根據單調性和定義域可得不等式組，解不等式組求得結果.【詳解】為定義在上的奇函數 時， 在上單調遞減為奇函數 在上單調遞減 在上單調遞減由得：，解得：，即的取值范圍為：本題正確結果：【點睛】本題考查利用單調性和奇偶性求解函數不等式的問題，關鍵是能夠將問題轉化為函數值之間的比較，根據單調性將函數值的比較變為自變量的比較；易錯點是忽略定義域的要求，造成求解錯誤.12.已知圓O：x2y24和圓O外一點P(，)，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，且AOB120若點C(8，0)和點P滿足POPC，則的范圍是_【答案】.【解析】【分析】根據可知，利用構造方程可求得；根據且可解不等式求得結果.【詳解】， ，即又且 且解得： ，解得：本題正確結果：【點睛】本題考查直線與圓的綜合應用問題，涉及到兩點間距離公式的應用、點的軌跡方程的求解；關鍵是能夠利用表示出動點的橫坐標，從而根據橫坐標范圍構造不等式.13.如圖，已知梯形，取中點，連接并延長交于，若，則_【答案】.【解析】【分析】作，根據三角形相似得到比例關系證得；利用平面向量線性運算可用，表示出，根據數量積的運算律可整理得到，從而得到結果.【詳解】作，交于點 ，又又，可得： 又 ，即本題正確結果：【點睛】本題考查平面向量的綜合應用問題，涉及到向量的線性運算、向量數量積的運算律等知識；關鍵是能夠用基底準確的表示向量，將數量積運算轉化為模長之間的關系，屬于較難題.14.已知函數,若，且，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】首先可根據題意得出不可能同時大于，然后令，根據即可得出，最后通過構造函數以及對函數的性質進行分析即可得出結果。【詳解】根據題意以及函數圖像可知，不可能同時大于，因為，所以可以令，即，因為，所以，構造函數，則，令，則，即；令，則，即；令，則，即；所以在上單調遞減，在處取得極小值，在上單調遞增，所以，故答案為。【點睛】本題考查函數的相關性質，主要考查分段函數的相關性質、函數值與自變量之間的聯系以及導數的相關性質，能否通過題意構造出函數是解決本題的關鍵，考查推理能力，考查函數方程思想，是難題。二、解答題（本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PAAD，點F是棱PD的中點，點E為CD的中點（1）證明：EF平面PAC；（2）證明：AFPC【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位線可證得，由線面平行判定定理可證得結論；（2）利用線面垂直性質可證得，又，可證得線面垂直，進而得到；利用等腰三角形三線合一證得，得到平面；通過線面垂直的性質可證得結論.【詳解】（1）分別為中點 平面，平面 平面（2）平面，平面 又四邊形為正方形 ，平面 平面平面 ，為中點 又，平面 平面平面 【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關系、線線垂直關系的證明；證明線線垂直的常用方法是利用線面垂直的性質，通過證明線面垂直得到結論.16.在ABC中，A，AB6，AC（1）求sinB的值；（2）若點D在BC邊上，ADBD，求ABD的面積【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求得，再根據正弦定理求得；（2）根據同角三角函數關系求得，利用余弦定理可構造方程求得，代入三角形面積公式求得結果.【詳解】（1）由余弦定理可得：由正弦定理可得：（2）為銳角 由余弦定理得：又 【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正余弦定理的應用、三角形面積公式的應用，屬于常考題型.17.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個正十字形剩下的部分，正十字形的頂點都在圓周上已知正十字形的寬和長都分別為x，y（單位：dm）且xy，若剪去的正十字形部分面積為4dm2（1）求y關于x的函數解析式，并求其定義域；（2）現為了節約紙張，需要所用圓形紙片面積最小當x取何值時，所用到的圓形紙片面積最小，并求出其最小值【答案】（1）y關于x的函數解析式，定義域為(0，2)；（2）當x取，所用到的圓形紙片面積最小，最小值為【解析】【分析】（1）利用正十字形面積可構造關于的等式，整理可得函數關系式；利用且可解不等式求得定義域；（2）利用外接圓直徑可得，利用基本不等式可求得的最小值及取得最小值時的取值，代入圓的面積公式即可求得面積的最小值.【詳解】（1）由題意可得：，則：且，即 關于的解析式為，定義域為（2）設正十字形的外接圓的直徑為當且僅當，即時取等號即時，正十字形外接圓面積：即正十字形外接圓面積的最小值為：，此時【點睛】本題考查構造合適的函數模型解決實際問題，涉及到與實際相結合的函數的定義域的求解、基本不等式求解函數的最值；關鍵是能夠構造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式的取等條件確定最值點.18.已知橢圓C：(ab0)，左、右焦點分別為F1(1，0)，F2(1，0)，橢圓離心率為，過點P(4，0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點（A在B的左側）（1）求橢圓C的方程；（2）若B是AP的中點，求直線l的方程；（3）若B點關于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據交點坐標和離心率可求得，根據可求得橢圓方程；（2）設，根據中點坐標公式可得；代入橢圓方程求得點坐標，進而得到直線斜率，利用點斜式方程可求得結果；（3）設，則，設所求定點，根據三點共線斜率相等可構造等式求得，利用韋達定理表示出后可整理化簡得到，從而證得結論.【詳解】（1）由焦點坐標可知：又橢圓離心率 橢圓方程為：（2）設中點， 都在橢圓上 ，解得：或或 或直線方程為：即：或（3）設，則設為直線與軸的交點，且三點共線 ，解得：設直線方程為：，則， 聯立，化簡得：，則直線與軸相交于定點【點睛】本題考查直線與橢圓綜合應用問題，涉及到橢圓標準方程的求解、根據直線與橢圓的位置關系求解直線方程、定點類問題的求解；解決定點類問題的關鍵是能夠將變量表示成能夠應用韋達定理的形式，通過整理化簡得到定值，從而得到定點坐標.19.在數列中，已知，（1）若（k為常數），求k；（2）若求證：數列為等比數列；記，且數列的前n項和為，若為數列中的最小項，求的取值范圍【答案】（1）；（2）證明見解析；.【解析】【分析】（1）利用遞推關系式可根據得到關于的方程，解方程求得結果；（2）將遞推關系式整理為，可證得結論；求得后，采用分組求和法求得，根據最小項為，可將問題轉化為恒成立；分別在時求得范圍，當時，將問題轉化為，令且，可驗證出，得到；綜合上述情況可得結果.【詳解】（1）當時， 則，解得：（2）若，則 又 數列是以為首項，為公比的等比數列由知： 恒成立即：對恒成立當時，解得：當時，解得：當且時， 令且 綜上所述：【點睛】本題考查數列知識的綜合應用，涉及到利用遞推公式證明等比數列、求解數列通項、分組求和法求解數列的前項和、根據數列的單調性求解參數范圍等知識；本題中參數范圍求解的關鍵是能夠通過分組求和法求得數列前項和，進而將問題轉化為恒成立問題，通過對不同取值的討論最終得到結果，屬于較難題.20.已知函數（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數在區間上有零點，求的值；（3）記函數，設是函數的兩個極值點，若，且恒成立，求實數的最大值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據導數幾何意義求出切線斜率，由解析式求得切點坐標，從而得到切線方程；（2）由導數可得函數單調性，利用零點存在性定理可判斷出在上有零點，從而得到結果；（3）整理出，可知為的兩根，從而得到，；根據的范圍可確定的范圍后，將兩式代入進行整理；構造函數，利用導數可求得函數的最小值，該最小值即為的最大值.【詳解】（1）由題意得：，曲線在處切線為：，即（2）