定邊四中高二年級理科數學學科教學案主備人：曹世鵬 審核人：李秀萍 時間：2013年 3 月28 日 總第30課時選修：2-3 第一章：計數原理第1節：分類加法計數原理和分步乘法計數原理 第2課時個人空間教后反思 課題：分類加法計數原理和分步乘法計數原理課標要求：通過實例，總結分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題。教學目標：（1）知識與技能：理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理；會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題；（2）過程與方法：培養學生的歸納概括能力；（3）情感、態度與價值觀：引導學生形成 “自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式教材分析：兩個計數原理作為本章重要的知識，教材采取了“實例分析抽象概括”的方式，安排了從具體例證中歸納兩個計數原理的活動，以引導學生經歷原理的概括過程。教學重點：分類計數原理(加法原理)與分步計數原理(乘法原理) 教學難點：分類計數原理(加法原理)與分步計數原理(乘法原理)的準確理解教學過程：例題講解：例1. 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？分析：要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應用分類計數原理.要完成的事是“從書架的第1、2、3層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第1、2、3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應用分步計數原理.要完成的事是“取2本不同學科的書”，先要考慮的是取哪兩個學科的書，如取計算機和文藝書各1本，再要考慮取1本計算機書或取1本文藝書都只完成了這件事的一部分，應用分步計數原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數之間還應運用分類計數原理.解： (1) 從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機書，有4 種方法；第2 類方法是從第2 層取1本文藝書，有3 種方法；第3類方法是從第 3 層取 1 本體育書，有 2 種方法根據分類加法計數原理，不同取法的種數是 =4+3+2=9;（2）從書架的第 1 , 2 , 3 層各取 1 本書，可以分成3個步驟完成：第 1 步從第 1 層取 1 本計算機書，有 4 種方法；第 2 步從第 2 層取1本文藝書，有 3 種方法；第 3 步從第3層取1 本體育書，有 2 種方法根據分步乘法計數原理，不同取法的種數是=432=24 .（3）。例2. 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？解：從 3 幅畫中選出 2 幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第 1 步，從 3 幅畫中選 1 幅掛在左邊墻上，有 3 種選法；第 2 步，從剩下的 2 幅畫中選 1 幅掛在右邊墻上，有 2 種選法根據分步乘法計數原理，不同掛法的種數是 N=32=6 . 6 種掛法可以表示如下：分類加法計數原理和分步乘法計數原理，回答的都是有關做一件事的不同方法的種數問題區別在于：分類加法計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事同步練習：1填空：（1）一件工作可以用 2 種方法完成，有 5 人只會用第 1 種方法完成，另有 4 人只會用第 2 種方法完成，從中選出 1 人來完成這件工作，不同選法的種數是 ; （2）從 A 村去 B 村的道路有 3 條，從 B 村去 C 村的道路有 2 條，從 A 村經 B 的路線有條2現有高一年級的學生 3 名，高二年級的學生 5 名，高三年級的學生 4 名 （1）從中任選1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？村去 C 村，不同 （2）從 3 個年級的學生中各選 1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？ 3在例1中，如果數學也是 A 大學的強項專業，則 A 大學共有 6 個專業可以選擇， B 大學共有4個專業可以選擇，那么用分類加法計數原理，得到這名同學可能的專業選擇共有 6 + 4 = 10 （種） . 這種算法有什么問題？ 例3.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母 AG 或 UZ , 后兩個要求用數字19問最多可以給多少個程序命名？分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第 1 步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符而首字符又可以分為兩類解：先計算首字符的選法由分類加法計數原理，首字符共有7 + 6 = 13種選法再計算可能的不同程序名稱由分步乘法計數原理，最多可以有1399 = = 1053 個不同的名稱，即最多可以給1053個程序命名例4.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復的英文字母和 3 個不重復的阿拉伯數字，并且 3 個字母必須合成一組出現，3個數字也必須合成一組出現那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？分析：按照新規定，牌照可以分為 2類，即字母組合在左和字母組合在右確定一個牌照的字母和數字可以分6個步驟解：將汽車牌照分為 2 類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右字母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數字：第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法；第2步，從剩下的25個字母中選 1個，放在第2位，有25種選法；第3步，從剩下的24個字母中選 1個，放在第3位，有24種選法；第4步，從10個數字中選1個，放在第 4 位，有10種選法；第5步，從剩下的 9個數字中選1個，放在第5位，有9種選法；第6步，從剩下的 8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法根據分步乘法計數原理，字母組合在左的牌照共有26 25241098=11 232 000（個） .同理，字母組合在右的牌照也有11232 000 個所以，共能給11232 000 + 11232 000 = 22464 000（個） .輛汽車上牌照用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析 需要分類還是需要分步分類要做到“不重不漏”分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數分步要做到“步驟完整” 完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立分步后再計算每一步的方法數，最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數同步練習：1乘展開后共有多少項？2某電話局管轄范圍內的電話號碼由八位數字組成，其中前四位的數字是不變的，后四位數字都是。到 9 之間的一個數字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？3從 5 名同學中選出正、副組長各 1 名，有多少種不同的選法？4某商場有 6 個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？例5.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？ 解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以, 第一類, m1 = 12 = 2 條 第二類, m2 = 12 = 2 條 第三類, m3 = 12 = 2 條 所以, 根據加法原理, 從頂點A到頂點C1最近路線共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 條例6 .如圖,要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？ 解: 按地圖A、B、C、D四個區域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 種, 第二步, m2 = 2 種, 第三步, m3 = 1 種, 第四步, m4 = 1 種,所以根據乘法原理, 得到不同的涂色方案種數共有N = 3 2 11 = 6 變式試訓練：1，如圖,要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？ 2若顏色是2種，4種，5種又會什么樣的結果呢？鞏固練習：1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？2.書架上放有3本不同的數學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？（2）若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？3.如圖一,要給,四塊區域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數為( ) A. 180 B. 160 C. 96 D. 60一二三若變為圖二,圖三呢?4.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？5（2007年重慶卷）若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（ C ）A5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分課堂小結1分類加法計數原理和分步乘法計數原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導排列數、組合數公式的理論依據，也是求解排列、組合問題的基本思想.2理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理，并加區別分類加法計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方