一元微分學部分 第 4 頁 共 4 頁 2005年Bernoulli不等式及其應(yīng)用席華昌(山西師大臨汾學院數(shù)計系，山西省臨汾市 041000)摘 要：使用均值不等式及實數(shù)的稠密性推證Bernoulli不等式，并將其應(yīng)用于證明極限、連續(xù)、單調(diào)以及其它不等式和判別級數(shù)斂散性.關(guān)鍵詞：Bernoulli不等式、極限、連續(xù)、單調(diào)、不等式、級數(shù).中圖分類號：O178眾所周知，Bernoulli不等式在數(shù)學分析中占有非常重要的地位。本文由均值不等式及實數(shù)稠密性出發(fā)推導Bernoulli不等式，并舉例說明其在分析中的一些巧妙之應(yīng)用.一、 Bernoulli不等式設(shè) rR+，且-1x0，則 (A)分析與證明 先證明 (1+x)r1+rx, (0r1). 當rQ+時，設(shè)r= (n、mN，n、m互質(zhì)且n0，取有理數(shù)列rn，使對任意自然數(shù)n，有rrn1，且，則有1+rnx, 令n，得 (1+x)r1+rx ；若 -1x0，取有理數(shù)列rn，使對任意自然數(shù)n，有0rnr，且，則有1+rnx , 令n，得 +rx ,下證 (1+x)r1+rx. 取0zminr,1-r，則 rz（0，1），那么 (1+x)r=(1+x)r1=(1+x)r1+rx ( r1).當1+rx0時，(1+x)r01+rx ；當1+rx0時，(1+rx)1+rx .為應(yīng)用方便，(A)式常常也寫成： (AA)二、Bernoulli不等式的應(yīng)用1、極限方面的應(yīng)用例1 求證 (a1,k0均為常數(shù)).證明 由于 a1, 可記 (0 ) ，則=所以，對，要使，只需 ，即 ，于是取 N，則 當nN時，便有，即 .注：本極限中k取不同值時可得不同的極限式。1、 函數(shù)連續(xù)性方面的應(yīng)用例2 證明指數(shù)函數(shù)f(x)=ax (0a1) 在R上連續(xù)。證明 先證 .對 有1=a0ax1+(a-1)x由于 ,所以 由迫斂法則 .又，即 f(x)=ax在x=0處連續(xù)；再證 f(x)=ax在R上連續(xù)對，有=所以 f 在x0處連續(xù)，由的任意性，f 在R上連續(xù)。2、 不等式方面的應(yīng)用例3 證明不等式 .證明 由于是單增趨于e的數(shù)列，從而，于是 ,因此，只需證明 成立即可.當n=1時，顯然 ;設(shè) n=k時，有k!成立，兩端同乘(k+1)，得(k+1)!(k+1)=又 有 代入式，有(k+1)!由數(shù)學歸納法知 (nN) 成立. n!.3、 單調(diào)性方面的應(yīng)用例4 討論函數(shù) 的單調(diào)性.分析與解 討論函數(shù) 令 由（A）式得： 兩邊同時x2次方.即,函數(shù)在（0，）上嚴格增.論函數(shù) 令 由（A）式得， 兩邊同時x2+1次方 .從而 ，即,函數(shù)在（0，）上嚴格減.注：這兩個函數(shù)的單調(diào)性還可以利用導數(shù)進行討論，上面使用這種方法也適用于討論數(shù)列與的單調(diào)性.4、 級數(shù)斂散性方面的應(yīng)用例5判斷級數(shù) 的斂散性.解 記 . 則.由達朗貝爾判別法，級數(shù)收斂.注：該級數(shù)更一般的形式是：討論函數(shù)項級數(shù)的斂散性.由上面幾方面的應(yīng)用可以看出：在解決一些數(shù)學問題時，若能充分考慮到Bernoulli不等式的特點及其變形，便能達到妙題巧解，出奇制勝之效果.參考資料1、數(shù)學分析 紀樂剛2、數(shù)學分析經(jīng)典習題解析 孫 濤附：041000 山西師大臨汾學院數(shù)計系 副教授 席華昌 址 臨汾市堯都區(qū)鼓樓南18號本文發(fā)表于高等數(shù)學研究,2005,4(8):42-44.并列入高等數(shù)學研究論文范例被以下四篇論文引用：也談Bernoulli不等式的證明與應(yīng)用高等數(shù)學研究 2006年 第6期作者：蘇燦榮禹春福 合肥工業(yè)大學貝努利不等式的高階推廣和數(shù)值驗證內(nèi)江師范學院學報 2007年 第6期作者：石勇國陳志強呂曉亞 內(nèi)江師范學院Bernoulli不等式的控制證