西安電子(高西全丁美玉第三版)數字信號處理課后答案1.2 教材第一章習題解答1. 用單位脈沖序列及其加權和表示題1圖所示的序列。解：2. 給定信號： （1）畫出序列的波形，標上各序列的值；（2）試用延遲單位脈沖序列及其加權和表示序列；（3）令，試畫出波形；（4）令，試畫出波形；（5）令，試畫出波形。解：（1）x(n)的波形如題2解圖（一）所示。（2）（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，畫出圖形如題2解圖（二）所示。（4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，畫出圖形如題2解圖（三）所示。（5）畫時，先畫x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如題2解圖（四）所示。3. 判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。（1），A是常數；（2）。解：（1），這是有理數，因此是周期序列，周期是T=14；（2），這是無理數，因此是非周期序列。5. 設系統分別用下面的差分方程描述，與分別表示系統輸入和輸出，判斷系統是否是線性非時變的。（1）；（3），為整常數；（5）；（7）。解：（1）令：輸入為，輸出為故該系統是時不變系統。故該系統是線性系統。（3）這是一個延時器，延時器是一個線性時不變系統，下面予以證明。令輸入為，輸出為，因為故延時器是一個時不變系統。又因為故延時器是線性系統。（5） 令：輸入為，輸出為，因為故系統是時不變系統。又因為因此系統是非線性系統。（7） 令：輸入為，輸出為，因為故該系統是時變系統。又因為故系統是線性系統。6. 給定下述系統的差分方程，試判斷系統是否是因果穩定系統，并說明理由。（1）；（3）；（5）。解：（1）只要，該系統就是因果系統，因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關。如果，則，因此系統是穩定系統。（3）如果，因此系統是穩定的。系統是非因果的，因為輸出還和x(n)的將來值有關.（5）系統是因果系統，因為系統的輸出不取決于x(n)的未來值。如果，則，因此系統是穩定的。7. 設線性時不變系統的單位脈沖響應和輸入序列如題7圖所示，要求畫出輸出輸出的波形。解：解法（1）:采用圖解法圖解法的過程如題7解圖所示。解法（2）:采用解析法。按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式:因為 所以 將x(n)的表達式代入上式，得到8. 設線性時不變系統的單位取樣響應和輸入分別有以下三種情況，分別求出輸出。（1）；（2）；（3）。解：（1） 先確定求和域，由和確定對于m的非零區間如下：根據非零區間，將n分成四種情況求解：最后結果為y(n)的波形如題8解圖（一）所示。（2）y(n)的波形如題8解圖（二）所示.（3）y(n)對于m的非零區間為。最后寫成統一表達式：11. 設系統由下面差分方程描述：；設系統是因果的，利用遞推法求系統的單位取樣響應。解：令：歸納起來，結果為12. 有一連續信號式中，（1）求出的周期。（2）用采樣間隔對進行采樣，試寫出采樣信號的表達式。（3）畫出對應的時域離散信號(序列) 的波形，并求出的周期。第二章教材第二章習題解答1. 設和分別是和的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）令，則（2）（3）令，則（4） 證明： 令k=n-m，則2. 已知求的傅里葉反變換。解： 3. 線性時不變系統的頻率響應(傳輸函數)如果單位脈沖響應為實序列，試證明輸入的穩態響應為。解：假設輸入信號，系統單位脈沖相應為h(n)，系統輸出為上式說明，當輸入信號為復指數序列時，輸出序列仍是復指數序列，且頻率相同，但幅度和相位決定于網絡傳輸函數，利用該性質解此題。上式中是w的偶函數，相位函數是w的奇函數，4. 設將以4為周期進行周期延拓，形成周期序列，畫出和的波形，求出的離散傅里葉級數和傅里葉變換。解：畫出x(n)和的波形如題4解圖所示。,以4為周期，或者,以4為周期5. 設如圖所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列運算：（1）；（2）；（5）解：（1）（2）（5）6. 試求如下序列的傅里葉變換:（2）；（3）解：（2）（3） 7. 設:（1）是實偶函數，（2）是實奇函數，分別分析推導以上兩種假設下，的傅里葉變換性質。解：令 （1）x(n)是實、偶函數，兩邊取共軛，得到因此上式說明x(n)是實序列，具有共軛對稱性質。由于x(n)是偶函數，x(n)sinwn是奇函數，那么因此該式說明是實函數，且是w的偶函數。總結以上x(n)是實、偶函數時，對應的傅里葉變換是實、偶函數。（2）x(n)是實、奇函數。上面已推出，由于x(n)是實序列，具有共軛對稱性質，即由于x(n)是奇函數，上式中是奇函數，那么因此這說明是純虛數，且是w的奇函數。10. 若序列是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式: 求序列及其傅里葉變換。解：12. 設系統的單位取樣響應，輸入序列為，完成下面各題：（1）求出系統輸出序列；（2）分別求出、和的傅里葉變換。解：（1）（2）13. 已知，式中，以采樣頻率對進行采樣，得到采樣信號和時域離散信號，試完成下面各題：（1）寫出的傅里葉變換表示式；（2）寫出和的表達式；（3）分別求出的傅里葉變換和序列的傅里葉變換。解：（1）上式中指數函數的傅里葉變換不存在，引入奇異函數函數，它的傅里葉變換可以表示成：（2） （3）式中式中上式推導過程中，指數序列的傅里葉變換仍然不存在，只有引入奇異函數函數，才能寫出它的傅里葉變換表達式。14. 求以下序列的Z變換及收斂域：（2）；（3）；（6） 解：（2） （3）（6）16. 已知:求出對應的各種可能的序列的表達式。解：有兩個極點，因為收斂域總是以極點為界，因此收斂域有以下三種情況：三種收斂域對應三種不同的原序列。（1）當收斂域時，令，因為c內無極點，x(n)=0；，C內有極點0，但z=0是一個n階極點，改為求圓外極點留數，圓外極點有，那么（2）當收斂域時，C內有極點0.5；，C內有極點0.5，0，但0是一個n階極點，改成求c外極點留數，c外極點只有一個，即2，最后得到（3）當收斂域時，C內有極點0.5，2；n0，由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此x(n)=0。或者這樣分析，C內有極點0.5，2，0，但0是一個n階極點，改成求c外極點留數，c外無極點，所以x(n)=0。最后得到17. 已知，分別求：（1）的Z變換；（2）的Z變換；（3）的z變換。解：（1）（2）（3）18. 已知，分別求：（1）收斂域對應的原序列；（2）收斂域對應的原序列。解：（1）當收斂域時，內有極點0.5，,c內有極點0.5,0,但0是一個n階極點,改求c外極點留數,c外極點只有2, ,最后得到（2（當收斂域時，c內有極點0.5,2, c內有極點0.5,2,0,但極點0是一個n階極點,改成求c外極點留數,可是c外沒有極點,因此, 最后得到25. 已知網絡的輸入和單位脈沖響應分別為，試：（1）用卷積法求網絡輸出；（2）用ZT法求網絡輸出。解：（1）用卷積法求，,，最后得到（2）用ZT法求令,c內有極點因為系統是因果系統，,，最后得到28. 若序列是因果序列，其傅里葉變換的實部如下式：求序列及其傅里葉變換。解：求上式IZT，得到序列的共軛對稱序列。因為是因果序列，必定是雙邊序列，收斂域取：。時，c內有極點,n=0時，c內有極點,0，所以又因為所以3.2 教材第三章習題解答1. 計算以下諸序列的N點DFT,在變換區間內,序列定義為（2）；（4）；（6）；（8）；（10）。解：（2）（4）（6）（8）解法1 直接計算解法2 由DFT的共軛對稱性求解因為所以即結果與解法1所得結果相同。此題驗證了共軛對稱性。（10）解法1上式直接計算較難，可根據循環移位性質來求解X(k)。因為 所以 等式兩邊進行DFT得到故 當時，可直接計算得出X（0）這樣，X（k）可寫成如下形式：解法2 時，時，所以，即2. 已知下列，求（1）;（2）解：（1）（2）3. 長度為N=10的兩個有限長序列 作圖表示、和。解：、和分別如題3解圖（a）、（b）、（c）所示。14. 兩個有限長序列和的零值區間為: 對每個序列作20點DFT,即如果試問在哪些點上，為什么？解：如前所示，記，而。長度為27，長度為20。已推出二者的關系為只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上，才滿足所以15. 用微處理機對實數序列作譜分析,要求譜分辨率，信號最高頻率為1kHZ，試確定以下各參數：（1）最小記錄時間；（2）最大取樣間隔；（3）最少采樣點數；（4）在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的N值。解：（1）已知（2）（3）（4）頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變，應該使記錄時間擴大一倍為0.04s實現頻率分辨率提高一倍（F變為原來的1/2）18. 我們希望利用長度為N=50的FIR濾波器對一段很長的數據序列進行濾波處理，要求采用重疊保留法通過DFT來實現。所謂重疊保留法，就是對輸入序列進行分段（本題設每段長度為M=100個采樣點），但相鄰兩段必須重疊V個點，然后計算各段與的L點（本題取L=128）循環卷積，得到輸出序列，m表示第m段計算輸出。最后，從中取出個，使每段取出的個采樣點連接得到濾波輸出。（1）求V；（2）求B；（3）確定取出的B個采樣應為中的哪些采樣點。解：為了便于敘述，規定循環卷積的輸出序列的序列標號為0，1，2，,127。先以與各段輸入的線性卷積考慮，中，第0點到48點（共49個點）不正確，不能作為濾波輸出，第49點到第99點（共51個點）為正確的濾波輸出序列的一段，即B=51。所以，為了去除前面49個不正確點，取出51個正確的點連續得到不間斷又無多余點的，必須重疊100-51=49個點，即V=49。下面說明，對128點的循環卷積，上述結果也是正確的。我們知道因為長度為N+M-1=50+100-1=149所以從n=20到127區域， ，當然，第49點到第99點二者亦相等，所以，所取出的第51點為從第49到99點的。綜上所述，總結所得結論V=49,B=51選取中第4999點作為濾波輸出。5.2 教材第五章習題解答1. 設系統用下面的差分方程描述：，試畫出系統的直接型、級聯型和并聯型結構。解：將上式進行Z變換（1）按照系統函數，根據Masson公式，畫出直接型結構如題1解圖（一）所示。（2）將的分母進行因式分解 按照上式可以有兩種級聯型結構：(a) 畫出級聯型結構如題1解圖（二）（a）所示(b) 畫出級聯型結構如題1解圖（二）（b）所示（3）將進行部分分式展開根據上式畫出并聯型結構如題1解圖（三）所示。2. 設數字濾波器的差分方程為，試畫出該濾波器的直接型、級聯型和并聯型結構。解：將差分方程進行Z變換，得到（1）按照Massion公式直接畫出直接型結構如題2解圖（一）所示。（2）將的分子和分母進行因式分解：按照上式可以有兩種級聯型結構：(a) 畫出級聯型結構如題2解圖（二）（a）所示。(b) 畫出級聯型結構如題2解圖（二）（b）所示。3. 設系統的系統函數為，試畫出各種可能的級聯型結構。解：由于系統函數的分子和分母各有兩個因式，可以有兩種級聯型結構。（1） ，畫出級聯型結構如題3解圖（a）所示。（2） ,畫出級聯型結構如題3解圖（b）所示。4.圖中畫出了四個系統，試用各子系統的單位脈沖響應分別表示各總系統的單位脈沖響應，并求其總系統函數。圖d解：(d) 5. 寫出圖中流圖的系統函數及差分方程。圖d解：(d) 6. 寫出圖中流圖的系統函數。圖f解：(f) 8已知FIR濾波器的單位脈沖響應為，試用頻率采樣結構實現該濾波器。設采樣點數N=5，要求畫出頻率采樣網絡結構，寫出濾波器參數的計算公式。解：已知頻率采樣結構的公式為式中，N=5 它的頻率采樣結構如題8解圖所示。6.2 教材第六章習題解答1. 設計一個巴特沃斯低通濾波器，要求通帶截止頻率，通帶最大衰減，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減。求出濾波器歸一化傳輸函數以及實際的。解：（1）求階數N。將和值代入N的計算公式得所以取N=5（實際應用中，根據具體要求，也可能取N=4，指標稍微差一點，但階數低一階，使系統實現電路得到簡化。）（2）求歸一化系統函數，由階數N=5直接查表得到5階巴特沃斯歸一化低通濾波器系統函數為或 當然，也可以按（6.12）式計算出極點:按（6.11）式寫出表達式代入值并進行分母展開得到與查表相同的結果。（3）去歸一化（即LP-LP頻率變換），由歸一化系統函數得到實際濾波器系統函數。由于本題中，即，因此 對分母因式形式，則有 如上結果中，的值未代入相乘，這樣使讀者能清楚地看到去歸一化后，3dB截止頻率對歸一化系統函數的改變作用。2. 設計一個切比雪夫低通濾波器，要求通帶截止頻率，通帶最在衰減速，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減。求出歸一化傳輸函數和實際的。解：（1）確定濾波器技術指標：，（2）求階數N和：為了滿足指標要求，取N=4。（2）求歸一化系統函數其中，極點由(6.2.38)式求出如下：（3）將去歸一化，求得實際濾波器系統函數 其中，因為，所以。將兩對共軛極點對應的因子相乘，得到分母為二階因子的形式，其系數全為實數。4. 已知模擬濾波器的傳輸函數為：(1)；(2)。式中，a,b為常數，設因果穩定，試采用脈沖響應不變法，分別將其轉換成數字濾波器。解：該題所給正是模擬濾波器二階基本節的兩種典型形式。所以，求解該題具有代表性，解該題的過程，就是導出這兩種典型形式的的脈沖響應不變法轉換公式，設采樣周期為T。（1）的極點為：，將部分分式展開（用待定系數法）：比較分子各項系數可知：A、B應滿足方程：解之得所以按照題目要求，上面的表達式就可作為該題的答案。但在工程實際中，一般用無復數乘法器的二階基本結構實現。由于兩個極點共軛對稱，所以將的兩項通分并化簡整理，可得用脈沖響應不變法轉換成數字濾波器時，直接套用上面的公式即可，且對應結構圖中無復數乘法器，便于工程實際中實現。（2） 的極點為：，將部分分式展開：通分并化簡整理得5. 已知模擬濾波器的傳輸函數為：（1）；（2）試用脈沖響應不變法和雙線性變換法分別將其轉換為數字濾波器，設T=2s。解：（1）用脈沖響應不變法方法1 直接按脈沖響應不變法設計公式，的極點為：，代入T=2s方法2 直接套用4