圓周角 一 復習引入 1 圓心角的定義 在同圓 或等圓 中 如果圓心角 弧 弦有一組量相等 那么它們所對應的其余兩個量都分別相等 答 頂點在圓心的角叫圓心角 2 上節課我們學習了一個反映圓心角 弧 弦三個量之間關系的一個結論 這個結論是什么 考考你 你能仿照圓心角的定義 給下圖中象 ACB這樣的角下個定義嗎 頂點在圓上 并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角 辨別是非 如圖所示的角 哪些是圓周角 判斷下列各圖中 哪些是圓周角 為什么 o A B o A B o A B o A B o A B o A B o A B o A B C C C C C C C C 圖1 圖2 圖3 圖4 圖5 圖6 圖7 圖8 圖9 如圖 當球員在B D E處射門時 他所處的位置對球門AC分別形成三個張角 ABC ADC AEC 這三個角有何特點 它們的大小有什么關系 探究 如圖是一個圓柱形的海洋館的橫截面的示意圖 人們可以通過其中的圓弧形玻璃AB觀看窗內的海洋動物 同學甲站在圓心的O位置 同學乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C 他們的視角 AOB和 ACB 有什么關系 如果同學丙 丁分別站在他靠墻的位置D和E 他們的視角 ADB和 AEB 和同學乙的視角相同嗎 探究 類比圓心角探知圓周角 在同圓或等圓中 同弧或等弧所對的圓心角相等 在同圓或等圓中 同弧或等弧所對的圓周角有什么關系 為了解決這個問題 我們先探究同弧所對的圓周角和圓心角之間有的關系 你會畫同弧所對的圓周角和圓心角嗎 圓周角和圓心角的關系 在 O任取一個圓周角 BCA 將圓對折 使折痕經過圓心O和 BCA的頂點C 由于點C的位置的取法可能不同 這時有三種情況 1 折痕是圓周角的一條邊 如圖 1 2 折痕在圓周角的內部 如圖 2 3 折痕在圓周角的外部 如圖 3 如圖 觀察圓周角 ABC與圓心角 AOC 它們的大小有什么關系 說說你的想法 并與同學交流 圓周角和圓心角的關系 1 首先考慮一種特殊情況 當圓心 O 在圓周角 ABC 的一邊 BC 上時 圓周角 ABC與圓心角 AOC的大小關系 AOC是 ABO的外角 AOC B A OA OB A B AOC 2 B 即 ABC AOC 根據以上證明你能得到什么結論 2 考慮第二種情況當圓心 O 在圓周角 ABC 的內部時 圓周角 ABC與圓心角 AOC的大小關系會怎樣 能否轉化為1的情況 過點B作直徑BD 由1可得 ABC AOC 根據以上證明你又能得到什么結論 ABD AOD CBD COD 圓周角和圓心角的關系 圓周角和圓心角的關系 3 考慮第二種情況當圓心 O 在圓周角 ABC 的外部時 圓周角 ABC與圓心角 AOC的大小關系會怎樣 能否也轉化為1的情況 過點B作直徑BD 由1可得 ABD AOD CBD COD ABC AOC 根據以上證明你又能得到什么結論 綜上所述 圓周角 ABC與圓心角 AOC的大小關系是 同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 即 ABC AOC 結論 思考 如圖 線段AB是 O的直徑 點C是 O上任意一點 除點A B 那么 ACB就是直徑AB所對的圓周角 想想看 ACB會是怎樣的角 90 的圓周角所對的弦是什么 試找出下圖中所有相等的圓周角 練習 1 在圓中 一條弧所對的圓心角和圓周角分別為 2x 100 和 5x 30 求這條弧所對的圓心角和圓周角的度數 2 如圖 A是圓O的圓周角 A 40 求 OBC的度數 如果 A 44 則 BOC 如果 BOC 44 則 A 如果 A 35 則 BDC LIAN練習xi 如圖 點E F G H在圓上 你會找出幾對相等的圓周角 例 如圖OA OB OC都是 O的半徑 AOB 2 BOC 求證 ABC BAC 例題講解 例 已知 ABC的三個頂點在 O上 BAC 50 ABC 47 求 AOB 解 有題意知 A B C是圓周角 AOB是圓心角 又 BAC 50 ABC 47 ACB 180 A B 180 50 47 83 AOB 2 ACB 2 83 166 例題講解 例 如圖 o的直徑AB為10cm 弦AC為6cm ACB的平分線交 o與D 求BC AD BD的長 思考與鞏固 1 如圖 在 O中 BOC 50 求 A的大小 3 在圓中 一條弧所對的圓心角和 圓周角分別為 2x 100 和 5x 30 求這條弧所對的圓心角和圓周角的度數 4 如圖 A是圓O的圓周角 A 40 求 OBC的度數 在 o中 圓心角 AOB 56 則弦AB所對的圓周角等于多少 即 在同圓或等圓中 同弦或等弦所對的圓周角相等或互補 在 o中 圓心角 AOB 56 則弧AB所對的圓周角等于多少 2 如圖 你能設法確定一個圓形紙片的圓心嗎 你有多少種方法 與同學交流一下 D O O O 方法一 方法二 方法三 方法四 A B 練習 1 圓周角定義 頂點在圓上 并且兩邊都和