導數及其應用11.（2011年昌平期末文18）已知函數，其中為實數.（1）求導數;（2）若求在-2,3上的最大值和最小值；（3）若在（-和3，上都是遞增的，求的取值范圍解：（1） 3分 (2) 由可得 又在-2,3上的最小值為-3 .9分(3) 圖象開口向上,且恒過點(0,-1)由條件可得: 即: .14分12.（2011年海淀期末文18）已知函數其中.（I）若曲線在處的切線與直線平行，求的值；（II）求函數在區間上的最小值. 解：，. .2分（I）由題意可得，解得， .3分此時，在點處的切線為，與直線平行.故所求值為1. .4分（II）由可得， . 5分當時，在上恒成立 ， 所以在上遞增， .6分所以在上的最小值為 . .7分當時，0.10分極小由上表可得在上的最小值為 . .11分當時，在上恒成立，所以在上遞減 . .12分所以在上的最小值為 . .13分綜上討論，可知：當時， 在上的最小值為；當時，在上的最小值為；當時，在上的最小值為. 13.（2011年東城區期末文18）已知函數（）求函數的單調區間與極值；（）若對于任意，恒成立，求實數的取值范圍解：（）由，可得令，解得因為當或時，；當時，所以的單調遞增區間是和，單調遞減區間是又，所以當時，函數有極大值；當時，函數有極小值 6分（）由已知對于任意恒成立，所以對于任意恒成立，即 對于任意恒成立.因為，所以（當且僅當時取“=”號）所以的最小值為2 由，得，所以恒成立時，實數的取值范圍是13分14.（2011年東城區期末理18）已知函數（）求函數在上的最小值；（）若存在（為自然對數的底數，且）使不等式成立，求實數的取值范圍解：（）由，可得， 2分當時，單調遞減；當時，單調遞增所以函數在上單調遞增又，所以函數在上的最小值為 6分（）由題意知，則若存在使不等式成立，只需小于或等于的最大值設，則當時，單調遞減；當時，單調遞增由，可得所以，當時，的最大值為故 13分15（2011年房山區期末文19）已知函數在時取得極值，曲線在處的切線的斜率為；函數，函數的導函數的最小值為（）求函數的解析式；（）求實數的值；() 求證：解：（），由題意有， -2分解得 -3分函數的解析式為 -4分（），在單調遞增， -7分， -9分() ，由（）知，當時， 當時， ， -11分在上是增函數 -12分 -14分16（2011年房山區期末理19）設函數（）求函數的定義域及其導數；（）當時，求函數的單調區間；（）當時，令，若在上的最大值為，求實數的值解：（）由得，即函數的定義域為（0,2）； -2分 -4分（）當時， （1）當時，所以在區間上，故函數的單調遞增區間是； -5分（2）當時，令，解得， 當時，即時，在區間上，故函數的單調遞增區間是； -7分當時，即時，在區間上， 在區間上，故函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是 -9分 （） 當且時， -11分 即函數在區間上是增函數，故函數在上的最大值為， -12分所以，即 -14分17（2010年海淀期中理19）已知函數（）.（I）當時，求在點處的切線方程；（）求函數在上的最小值.解：（I） 當時， 1分， 3分所以在點處的切線方程為，即5分（II） 6分， 8分當時，在上導函數，所以在上遞增，可得的最小值為；10分當時，導函數的符號如下表所示0極小所以的最小值為； 12分當時，在上導函數，所以在上遞減，所以的最小值為 14分18.（2011年東城區示范校考試理18）已知函數（1）當時，求曲線處的切線方程；（2）設的兩個極值點，的一個零點，且證明：存在實數按照某種順序排列后構成等差數列，并求（）解：當a=1,b=2時，因為f（x）=（x-1）（3x-5） 2分故 3分f（2）=0, 4分所以f（x）在點（2,0）處的切線方程為y=x - 2 5分（）證明：因為f（x）3（xa）（x），7分由于ab故a所以f（x）的兩個極值點為xa，x 9分不妨設x1a，x2，因為x3x1，x3x2，且x3是f（x）的零點，故x3b 10分又因為a2（b），x4（a），所以a，b依次成等差數列， 所以存在實數x4滿足題意，且x413分19.（2011年東城區示范校考試理20）已知函數（1）時，求函數的單調區間；（2）求函數在區間上的最小值（）解：當時, ,由得, 解得或注意到,所以函數的單調遞增區間是由得,解得,注意到,所以函數的單調遞減區間是當時，由得,解得，注意到,所以函數的單調遞增區間是由得,解得或，由,所以函數的單調遞減區間是綜上所述，函數的單調遞增區間是，；單調遞減區間是， 5分（）當時,，所以7分設當時，有, 此時,所以,在上單調遞增 所以 9分當時, 令,即,解得或（舍）;令,即,解得若,即時, 在區間單調遞減，所以若,即時, 在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,所以若,即時, 在區間單調遞增，所以 13分綜上所述,當或時, ; 當時, ;當時, 14分20.（2011年東城區示范校考試文18）設函數（）若曲線在點處與直線相切，求的值；（）求函數的單調區間與極值點解：（） -2分曲線在點處與直線相切，-6分（）,當時，函數在上單調遞增，此時函數沒有極值點 -9分當時，由，當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，此時是的極大值點，是的極小值點-13分21（2011年西城期末理19）已知函數.()若曲線在和處的切線互相平行，求的值；()求的單調區間；()設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.解：. 2分（），解得. 3分（）. 5分當時， 在區間上，；在區間上，故的單調遞增區間是，單調遞減區間是. 6分當時， 在區間和上，；在區間上，故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是. 7分當時， 故的單調遞增區間是. 8分當時， 在區間和上，；在區間上，故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是. 9分（）由已知，在上有. 10分由已知，由（）可知，當時，在上單調遞增，故，所以，解得，故. 11分當時，在上單調遞增，在上單調遞減，故.由可知，所以， 13分綜上所述，. 14分22（2011年西城期末文19）已知函數.()若，求曲線在處切線的斜率；()求的單調區間；（）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.解：()由已知， 2分.故曲線在處切線的斜率為. 4分(). 5分當時，由于，故，所以，的單調遞增區間為. 6分當時，由，得.在區間上，在區間上，所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為. 8分（）由已知，轉化為. 9分 10分由()知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.) 11分當時，在上單調遞增，在上單調遞減，故的極大值即為最大值， 13分所以，解得. 14分23.（2011年豐臺區期末理19）設函數（I）求的單調區間；（II）當0a2時，求函數在區間上的最小值解：（I）定義域為 1分 3分令，則，所以或 因為定義域為，所以 5分令，則，所以因為定義域為，所以 7分所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為 （無定義域扣3分） （II） （） 9分因為0a2，所以，令 可得所以函數在上為減函數，在上為增函數10分當，即時，在區間上，在上為減函數，在上為增函數所以 12分當，即時，在區間上為減函數所以 14分綜上所述，當時，；當時，24.（2011年豐臺區期末文19）已知函數（）若曲線在點處的切線與x軸平行，求a的值；（）求函數的極值解：（） 3分因為曲線在點處的切線與x軸平行，所以 ，即 4分所以 5分（） 令，則或 6分當，即時，函數在上為增函數，函數無極值點； 7分當，即時+0-0+極大值極小值9分所以 當時，函數有極大值是，當時，函數有極小值是； 10分當，即時+0-0+極大值極小值12分所以 當時，函數有極大值是，當時，函數有極小值是 13分綜上所述，當時函數無極值；當時，當時，函數有極大值是，當時，函數有極小值是；當時，當時，函數有極大值是，當時，函數有極小值是25（2011年朝陽期末理17）已知函數 .（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，討論的單調性.（）解：當時，.所以，. （求導、定義域各一分） 2分因此. 即曲線在點處的切線斜率為1. 3分又， 4分所以曲線在點處的切線方程為. 5分（）因為，所以，. 7分令，當時，當時，此時，函數單調遞減； 8分當時，此時，函數單調遞增. 9分當時，由即解得，. 此時，所以當時，此時，函數單調遞減；10分時，此時，函數單調遞增；11分時，此時，函數單調遞減. 12分綜上所述：當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；在上單調遞減. 13分26（2011年朝陽期末文17）已知函數的圖象過點，且在點處的切線方程為.（）求函數的解析式；（）求函數的單調區間.解：（）由的圖象經過，知， 1分所以.所以. 3分由在處的切線方程是，知，即，. 5分所以 即 解得. 6分故所求的解析式是. 7分（）因為， 8分令，即，解得 ，. 10分當或時， 11分當時， 12分故在內是增函數，在內是減函數，在內是增函數. 13分27（2011年海淀期末理18）已知函數 ().（）當曲線在處的切線與直線平行時，求的值；（）求函數的單調區間.解：， .2分（I）由題意可得，解得， .3分因為，此時在點處的切線方程為，即，與直線平行，故所求的值為3. .4分（II） 令，得到 ， 由可知 ，即. .5分 即時，.所以,， .6分故的單調遞減區間為 . .7分 當時，即，所以，在區間和上，； .8分在區間上，. .9分故 的單調遞減區間是和，單調遞增區間是. .10分當時， 所以，在區間上； .11分在區間上 ， .12分故的單調遞增區間是，單調遞減區間是. .13分綜上討論可得：當時，函數的單調遞減區間是；當時，函數的單調遞減區間是和，單調遞增區間是；當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.28（2011年石景山期末理19）已知函數（）若，求曲線在點處的切線方程；（）求的極值；（）若函數的圖象與函數的圖象在區間上有公共點，求實數的取值范圍解：（） ， 且 1分又， 3分在點處的切線方程為：，即 4分（）的定義域為， 5分令得當時，是增函數；當時，是減函數； 7分在處取得極大值，即 8分（）（i）當，即時，由（）知在上是增函數，在上是減函數，當時，取得最大值，即又當時，當時，當時，所以，的圖像與的圖像在上有公共點，等價于，解得，又因為，所以 11分（ii）當，即時，在上是增函數，在上的最大值為，原問題等價于，解得，又 無解綜上，的取值范圍是 13分29（2011年昌平期末理18）已知函數,其中a為實數.（1）若在處有極值，求a的值；（2）若在上是增函數，求a的取值范圍。解：（1）由已知得的定義