數學曲面一、綜述（一）背景人物高斯高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日1855年2月23日），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。高斯被認為是最重要的數學家，并擁有數學王子的美譽。1792年，15歲的高斯進入Braunschweig學院。在那里，高斯開始對高等數學作研究。獨立發現了二項式定理的一般形式、數論上的“二次互反律”（Law of Quadratic Reciprocity)、質數分布定理（prime numer theorem)、及算術幾何平均(arithmetic-geometric mean)。1795年高斯進入哥廷根大學。1796年，19歲的高斯得到了一個數學史上極重要的結果，就是正十七邊形尺規作圖之理論與方法。1855年2月23日清晨，高斯于睡夢中去世。高斯是一對普通夫婦的兒子。他的母親是一個貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似于文盲。在她成為高斯父親的第二個妻子之前，她從事女傭工作。他的父親曾做過園丁，工頭，商人的助手和一個小保險公司的評估師。當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學會計算。能夠在頭腦中進行復雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。 高斯幼年時就表現出超人的數學天才。11歲時發現了二項式定理，17歲時發明了二次互反律，18歲時發明了正十七邊形的尺規作圖法，解決了兩千多年來懸而未決的難題，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。他發現了質數分布定理、算術平均、幾何平均。21歲大學畢業，22歲時獲博士學位。1804年被選為英國皇家學會會員。從1807年到1855年逝世，一直擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺長。在成長過程中。幼年的高斯主要是力于母親和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30歲那年死于肺結核，留下了兩個孩子：高斯的母親羅捷雅、舅舅弗利德里希。弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干投身于紡織貿易頗有成就。他發現姐姐的兒子聰明伶利，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發高斯的智力。若干年后，已成年并成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，深感對他成才之重要，他想到舅舅多產的思想，不無傷感地說，舅舅去世使“我們失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼識英才，經常勸導姐夫讓孩子向學者方面發展，才使得高斯沒有成為園丁或者泥瓦匠。 高斯的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、復變函數和微分幾何等方面都做出了開創性的貢獻。他還把數學應用于天文學、大地測量學和磁學的研究，發明了最小二乘法原理。十分注重數學的應用，并且在對天文學、大地測量學和磁學的研究中也偏重于用數學方法進行研究。 高斯開辟了許多新的數學領域，從最抽象的代數數論到內蘊幾何學，都留下了他的足跡。從研究風格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是1819世紀之交的中堅人物。如果我們把18世紀的數學家想象為一系列的高山峻嶺，那么最后一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀的數學家想象為一條條江河，那么其源頭就是高斯。 高斯在曲面研究領域也有成就，很多術語都以他的名字命名，如“高斯博內公式”“高斯-邦尼公式”，曲面的總曲率又稱為或“高斯曲率”。他還研究出著名的“高斯“極妙定理”：曲面的主曲率在無伸縮彎曲變形下要發生變化，因而不是內蘊的。但是，主曲率的乘積即總曲率K卻在這樣的彎曲變形下保持不變，也即曲面的總曲率是內蘊的。1828年他出版了關于曲面的一般研究，全面系統地闡述了空間曲面的微分幾何學，并提出內蘊曲面理論。 （二）曲面曲面是一條動線，在給定的條件下，在空間連續運動的軌跡。產生曲線的動線（直線或曲線）稱為母線；曲面上任一位置的母線（如BB1、CC1)稱為素線，控制母線運動的線、面分別稱為導線、導面，在下圖中，直線L、曲面A1B1C1N1分別稱為直導線和曲導線。根據形成曲面的母線形狀，曲面可分為：直線面由直母線運動而形成的曲面。曲線面由曲母線運動而形成的曲面。根據形成曲面的母線運動方式，曲面可分為：回轉面由直母線或曲母線繞一固定軸線回轉而形成的曲面。非回轉面由直母線或曲母線依據固定的導線、導面移動而形成的曲面。曲面是微分幾何研究的主要對象之一。直觀上，曲面是空間具有二個自由度的點的軌跡。設r=(x,y,z）表示三維歐氏空間E3中點的位置向量，D是二維u-平面的一個區域，映射：r(u，）=(x(u，），y(u，），z(u，）（u，）D) 的像為S。它滿足下列條件：r(u，）是Ck階的，即函數x(u，），y(u，），z(u，）具有直到k階的連續偏導數，當它們是無窮次可微分函數或是（實）解析函數時，分別稱為是C階和C階的；r(u，）是一個同胚，即它的逆映射SD存在且連續；r(u，）是正則的，即雅可比矩陣的秩為2，S稱為E3的Ck曲面片，C曲面片也稱為光滑曲面片，C曲面片稱為解析曲面片。設慏為E3中的一個子集，如果對慏中任意點p，都有E3中p的一個開集V，使得V慏是E3中的一個Ck曲面片，則慏 稱為E3中的Ck曲面。式稱為曲面的參數方程。此外，曲面有時也可用z=?(x,y）或F(x,y,z)=0來表示。 曲面是數學中一個有多種含義的基本數學概念，可以將其用解析表達形式表示出來，按照最常用的數學定義，我們通常把曲面定義為三維歐幾里德空間中的一個“二維流形”。我們在一些數學課程的學習中，已經接觸和熟悉了平面，球面，雙曲面等一些常見的基本曲面，繪制曲面圖形相對簡單，而在實際應用中我們常常碰到的的是一些復雜的，具有特殊幾何性態的特殊曲面，繪圖比較困難。MATLAB具有強大的三維圖像顯示和繪制功能，利用這一功能，我們可以通過函數繪制出各種精確而美觀的曲面圖像并研究曲面的特性。二、書后練習題11.1 MATLAB語言的預備知識練習1、編寫一個程序繪制拋物雙曲面z=x2 -y2在區域內的曲面圖形。th=linspace(0,2*pi,100);r=linspace(0,5,30);th,r=meshgrid(th,r);x,y=pol2cart(th,r);z=x.2-y.2;h=surf(x,y,z);axis equal;axis off;練習2、在曲面的上方和下方各設置一個光源，前者是紅色的平行光源，后者是藍色的點光源。L1=light;L2=light;set(L1,position,0,0,10,color,1 0 0);set(L2,position,0,0,-10,color,0 0 1);set(L2,style,local);練習3、執行shading interp命令，觀察曲面的變化。shading interp;練習4、采用不同的liahting命令，觀察曲面圖形的視覺變化，特別注意觀察光源引起的高光效果。(1)lighting gouraud;(2)lighting phong;(3)lighting flat;(4)lighting none;練習5、執行rotate3d命令，從各個視角觀察曲面的整體形狀。rotate3d;(1)AZ=-64,EL=2(2)AZ=-90,EL=-90 (3)AZ=-90,EL=90 (4)AZ=-90,EL=0(5)AZ=1,EL=0 (6)AZ=90,EL=0 11.2 幾種有趣的數學曲面1.惠特尼傘形曲面思考題 （1）在兩個不同的子圖上（subplot命令）繪制u=常數及v=常數的一系列曲線，思考數學表達式和曲面的關系，得出你自己的結論。（2） 調整函數的參數變化范圍（a,b的取值），觀察所引起的曲面形狀的變化，并分析產生變化的原因。（3） 由于曲面的底部沒有設置光源，因此到視角的俯仰角為負時曲面是黑色的，無法看清形狀，試修改程序，在底部的適當位置添加一個光源。3. Klein瓶練習 （1）修改上述命令中的a,b兩個參數進行實驗，觀察這兩個參數的變化對曲面形狀的影響。（為保證曲面的特征不發生變化，參數a的大小最好不要超過1，在對該參數的作用有一定的了解后在將它調成較大的數。）（2） 分別對后續的五個參數在上述例子命令的范圍內進行調整，體會參數曲面表達式中的取值范圍的不同對曲面形狀產生的作用。（3） 根據所給出的參數曲面表達式分析兩個曲面是如何密合地在底部銜接在一起的，其中的原因何在？（4） 取定u,v中的某個參數為常數，讓另一個參數在相應的取值范圍內變化，在兩個子圖內分別繪制相應的曲線族（plot3命令），觀察它們的圖形，體會u,v參數的作用。（5） 修改曲面表達式中的常數項1/2，觀察它的選取對曲面形狀是影響，寫出你的結論。4. 旋轉曲面練習 分別編寫程序繪制下列的幾個旋轉曲面，根據觀察和理論分析確定它們分別是何種曲面。（1）function lianxifo(a,b,t1,t2,s1,s2)u=linspace(t1,t2,100);v=linspace(s1,s2,100);u,v=meshgrid(u,v);x=a*sqrt(abs(v)*cos(u);y=a*sqrt(abs(v)*sin(u);z=b*v;surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(0.1 0.8 0.8);light;light(position,-6 -5 20,color,0.5 0 0.1);axis equal;axis off;view(-15,35);rotate3d on;運行函數：（1）lianxifo(2,1,0,pi,0,5);（2）lianxifo(2,121,0,2*pi,0,12);（2）function lianxift(a,b,c,t1,t2,s1,s2)u=linspace(t1,t2,100);v=linspace(s1,s2,100);u,v=meshgrid(u,v);x=a*sqrt(abs(v)*cos(u);y=b*sqrt(abs(v)*sin(u);z=c*v;surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(0.1 0.8 0.8);light;light(position,-6 -5 20,color,0.5 0 0.1);axis equal;axis off;view(-15,35);rotate3d on;運行函數:（1）lianxift(2,1,2,0,pi,0,5);（2）lianxift(2,11,2,0,2*pi,0,5);（3）lianxift(2,11,42,0,2*pi,0,115);（3）function lianxiftr(a,b,c,t1,t2,s,h)u=linspace(t1,t2,100);v=linspace(s,h,100);u,v=meshgrid(u,v);x=a*(h-v)*sqrt(abs(v)*cos(u);y=b*(h-v)*sqrt(abs(v)*sin(u);z=c*v;surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(0.1 0.8 0.8);light;light(position,-6 -5 20,color,0.5 0 0.1);axis equal;axis off;view(-15,35);rotate3d on;運行函數:（1）lianxift(2,1,2,0,pi,0,5);（2）lianxiftr(2,11,2,0,2*pi,0,5);（3）lianxiftr(2,11,42,0,2*pi,0,115);5. 渦輪型曲面練習 編寫程序繪制如下的柱坐標形式的曲面圖形。（1） ,0rR, 02, nN.function lianxifio(r1,r2,t1,t2,n)t=linspace(t1,t2,60);r=linspace(r1,r2,60);t,r=meshgrid(t,r);x,y=pol2cart(t,r);z=sin(exp(r)-n*t);surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(1 .5 0);light;axis equal;axis off;view(0,90);rotate3d on;運行函數:lianxifio(0,5,0,2*pi,2);(2) ,0rR, 02, nN.function lianxifit(r1,r2,t1,t2,n)t=linspace(t1,t2,60);r=linspace(r1,r2,60);t,r=meshgrid(t,r);x,y=pol2cart(t,r);z=cos(sqrt(r2+t2)-n*t);surf(x,y,z);shading interp;lighting phong;colormap(1 .5 0);light;axis equal;axis off;view(0,90);rotate3d on;運行函數:lianxifit(0,5,0,2*pi,2);三、程序功能與使用方法本程序用于展示各種三維的數學曲面，包括傘形曲面，環形曲面，Klein瓶曲面，旋轉曲面，偽球面，渦輪形曲面等。當點擊右邊相應按鈕后，可快速直接觀察到對應的圖形，并且初始默認為加坐標軸，加網格。如果想去掉網格或是坐標軸，可以點擊右下方的對應按鈕。如果想增加光照，可以點擊“添加光源”按鈕。回復初始狀態，只需再點擊對應曲面按鈕。左下角是參數調整區，每個方框內的值對應左側變量的值，每個變量分別屬于相應曲面的參數。并且當特定的幾個參數被賦值是時，而其余參數為空時，對應特定的一種曲面的參數調整。具體對應關系如下： 參數數學曲面abt 1t 2t 3s 1s 2n傘形曲面非空非空環形曲面非空非空非空非空Klein瓶非空非空非空非空非空非空非空旋轉曲面偽球面非空非空非空非空非空非空渦輪形曲面非空非空非空非空非空其中旋轉曲面和偽球面參數輸入相同，故通過subplot將兩個圖左右均畫出。當用鼠標指向對應的圖時，可對改圖進行三維旋轉。通過不斷改變參數，可觀察圖形的變化情況。并且，當執行過對旋轉曲面或偽球面的參數調整后，可將畫面分為兩部分，鼠標點擊過哪個圖，接下來就只對該圖操作，這樣可對后續所有圖進行對比分析，包括同一種曲面的不同參數值調整后的對比。使用完后，可通過退出按鈕退出。該應用程序存在以下問題：1. 只能對特定的幾個典型曲面進行演示，不能讓用戶自己輸入其他方程；2. 用戶想輸入特定曲面的參數時，不能很好地選擇該填的參數對應的空；3. 當畫過用戶自己設的參數的雙曲面和偽球面后，圖形的顯示區域變為整個窗口，并且被分為左右兩個區域，使單個圖形的顯示范圍變小，而且在一個圖形顏色變化時，另一個圖形顏色也隨之改變。建議：可以再增加一方程輸入窗口，便可以畫用戶自己的圖形了。四、程序運行實例及思考1.惠特尼傘形曲面如下圖圖1思考題（1） 圖2如圖2，當v為常數時，隨著u 的變化，曲面將繞著v所確定的軸線向相反的兩個面扭曲； 圖3如圖3,所示，u為常數時，隨著v的變化，曲面以z軸為中軸，逐漸收縮。圖4（2） 如圖4，當a,b變化時，曲面形狀不發生變化，a,b范圍小時對應的曲面相當于從a,b范圍大時的對應曲面上截得的圖。2.環形曲面 圖6從圖6可以看出，t1,t2上限減小時，中間的孔越來越小。3.Klein瓶圖7圖8由圖8可得，在a和其他參數不變時，b越小，瓶越高越瘦。 圖9由圖9可得，b和其他參數不變時，a越大，瓶柄“越粗，a越小，瓶柄越細。4.旋轉曲面(1)“8”字型曲面 圖10參數的影響 圖11從圖11看出，只有a變化時，a越小，圖形越高，a越大，圖形越矮。圖12從圖12看出，只有b變化時，b越小，圖越粗，b越大，圖越細。（2）偽球面圖13觀察參數變化的影響 圖14從圖14看出，只有a變化時，a越大，曲面越矮；a越小，曲面越高。圖15從圖15看出，只有b變化時,b越大，曲面越高，下盤越小；b越小，曲面越矮，下盤越大。5.渦輪型曲面圖16 圖17從圖17可看出，只有t1變化時，t1越小，曲面月圓，t1越大，曲面殘缺越多。圖18從圖18可得，只有t2變化時，t2越大，曲面越圓，t2越小。曲面殘缺越多。 圖19從圖19看出，只有r1變化時，且r1小于6時，r1越大，環形內徑越大，r1越小，環形越接近圓。R1再大時，出現相反情況。圖20從圖20看出，只有r2變化時，r2越大，旋轉度越大，r2越小，旋轉度越小。6. 默比烏斯曲面n=1；n=0；橢圓作為初始曲線，n=1；星形線旋轉后得到的曲面；正弦曲線對應的曲面；正弦曲線對應的曲面，n=2；正弦曲