第1課時一元二次不等式的解法核心必知1一元二次不等式(1)定義：形如 ax2bxc0(0)或ax2bxc0(ab0)可看作一元二次不等式嗎？提示：可以，把b看作常數，則是關于a的一元二次不等式；把a看作常數，則是關于b的一元二次不等式2一元二次不等式與一元二次函數有什么關系？提示：一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集就是一元二次函數yax2bxc(a0)的圖像在x軸上方的點的橫坐標x的集合；ax2bxc0)的解集就是一元二次函數yax2bxc(a0)的圖像在x軸下方的點的橫坐標x的集合講一講1解不等式：2x27x40.提示先求相應方程的根，再寫出不等式的解集嘗試解答因為724240，所以方程2x27x40有兩個實數根x1，x2.二次函數y2x27x4的圖像如圖所示所以不等式的解集為x|x或x解一元二次不等式的步驟：(1)確定對應的二次方程的解(2)畫出對應的二次函數的圖像簡圖(3)由圖像寫出不等式的解集練一練1多維思考將例1中，二次項系數改為“2”，其它不變，解不等式解：不等式變形為2x27x40，因為(7)242(4)81，所以方程2x27x40有兩個實數根x1，x24.二次函數y2x27x4的圖像如圖所示不等式的解集為x|x4講一講2已知關于x的不等式x2axb0的解集為x|1x0的解集提示由不等式的解集得到相應方程的根，再由根與系數的關系求解嘗試解答x2axb0的解集為x|1x0.由2x23x10(2x1)(x1)0x1.bx2ax10的解集為(1，)已知一元二次方程的根，可以寫出相應不等式的解集，反之，已知不等式的解集也可以寫出相應二次方程的根，進一步可求得方程中的系數或得到系數之間的關系練一練2若不等式ax2bxc0的解集是，求不等式cx2bxa0的解集解：法一：由ax2bxc0的解集為知a0.又20.又，2為方程ax2bxc0的兩個根，.又，ba，ca.不等式變為x2xa0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集為.法二：由已知得a0，設方程cx2bxa0的兩根分別為x1，x2，則x1x2，x1x2，其中，x13，x2，不等式cx2bxa0)的解集為.講一講3已知方程x22mxm120的兩實數根都大于2，求實數m的取值范圍提示思路一：由根與系數的關系求解；思路二：結合二次函數的圖像，列出不等式求解嘗試解答法一：設方程x22mxm120的兩實數根為x1，x2，由題意知：即解得所以m4.法二：設函數f(x)x22mxm12，則即所以m4.與一元二次方程的根有關的問題可以轉化為二次函數圖像與x軸的位置關系進行解決主要考慮判別式的符號、對稱軸的位置和端點處的函數值，當然要注意條件的等價轉化練一練3m為何值時，關于x的方程8x2(m1)xm70的兩實數根均在區間(0,1)內？解：令f(x)8x2(m1)xm7，由題意得即解得7x.錯解由x2x兩邊同時約去x，得x1，所以原不等式的解集為x|x1錯因本題因不等式兩邊同時約去x時，未考慮x的取值(正負性)，機械應用不等式性質而出現失解現象，因此導致求解錯誤應將一元二次不等式化成標準形式，再由方程的根得出解集正解法一：原不等式可化為x2x0，即x(x1)0.方程x(x1)0的兩根為x10，x21，不等式x2x0的解集為x|x1法二：原不等式可化為x(x1)0，即或解得x1或x0，原不等式的解集為x|x11下列不等式中一元二次不等式的個數為()(m1)x2xx25x60(xa)(xa1)2a1b2c3 d4解析：選c由一元二次不等式的定義可知，為一元二次不等式2在下列不等式中，解集是的是()a2x23x20 bx24x40c44xx20解析：選d不等式23x2x20可化為2x23x20.因為(3)242270，不等式2x23x20的解集為.3函數ylog2(3x2x2)的定義域為()ar bcx|x1 dx|x0，即(3x2)(x1)0.x1或x.4(廣東高考)不等式x2x20的解集為_解析：令f(x)x2x2(x2)(x1)，畫出函數圖像可知，當2x1時，f(x)0，從而不等式x2x20的解集為x|2x1答案：x|2x0，則ua等于_解析：易知ax|x2，或x0，故uax|0x2答案：x|0x26若不等式x2axb0的解集為x|2x0的解集解：不等式x2axb0的解集為x|2x0，即為5x26x10，又方程5x26x10的兩個根為x11，x2，不等式ax2bx10的解集為x|x1一、選擇題1不等式2x2x10的解集是()a.b(1，)c(，1)(2，) d.(1，)解析：選d由一元二次不等式的解法易得x1或x.2(宿豫檢測)不等式x23 bx|x3cr dx|0x3解析：選d不等式變形為x23x0，易得0x3.3不等式9x26x10的解集是()a. b.c d.解析：選d0，則方程9x26x10的根為x1x2，所以原不等式的解集為.4函數y 的定義域為()ax|x0 bx|x1cx|x10 dx|0x1解析：選c解不等式組得x1或x0.二、填空題5不等式x22x3a22a1的解集為，則實數a的取值范圍是_解析：x22x(a22a4)0的解集為，44(a22a4)0，a22a30.1a3.答案：(1,3)6若關于x的不等式ax26xa21，則不等式(xa)0的解集為_解析：方程(xa)(x)0的兩根為x1a，x2，又a1時，a，不等式(xa)(x)0的解集為x|xa，或xa，或x8(福州師大附中檢測)若2x21x2，則函數y2x的值域是_解析：2x21()x222x4，x212x4，即x22x30.解得3x1，y2，函數y2x的值域是，2答案：，2三、解答題9已知方程x2(2m3)xm2150的兩個根一個大于2，一個小于2，求實數m的取值范圍解：設函數f(x)x2(2m3)xm215，則由題意：即解得1m4的解集為x|xb(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb)xbc4即ax23x20的解集為x|xb，所以x11與x2b是方程ax23x20的兩個實數根，且b1，a0.由根與系數的關系，得解得(2)由(1)知不等式ax2(acb)xbc0可化為x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2時，不等式(x2)(xc)0的解集為x|2xc；當c2時，不等式(x2)(xc)0的解集為x|cx2；當c2時，不等式(x2)(xc)0的解集為.第2課時含參數的一元二次不等式的解法講一講1解關于x的不等式ax2(a1)x10(ar)提示a0時化為一次不等式；a0時化為二次不等式分別求解嘗試解答(1)當a0時，原不等式化為：x10x1.(2)當a0時，原不等式化為a(x)(x1)0時，原不等式等價于(x)(x1)0x1.當a0.1。當a1，即1時，的解為x1.2。當a1，即1時，的解為x1.3。當1a1時，的解為x.綜上所述：不等式的解集是：當a0時，x|x0時，x|x1；當a1時，x|x1；當a1時，xr|x1；當1a0時，x|x對字母系數分類討論時，要注意確定分類的標準，而且分類時要不重不漏一般方法是：(1)當二次項系數不確定時，按二次項系數等于零、大于零、小于零三種情況進行討論(2)判別式不確定時，按判別式大于零、等于零、小于零三種情況討論(3)判別式大于零時，還需要討論兩根的大小練一練1解關于x的不等式x2(aa2)xa30(ar)解：原不等式可化為(xa)(xa2)0.當a0時，aa2，解集為x|xa2；當a0時，a2a，解集為x|x0；當0a1時，a2a，解集為x|xa當a1時，a2a，解集為x|x1當a1時，aa2，解集為x|xa2綜上所述，當a1時，解集為x|xa2；當0a1時，解集為x|xa；當a0時，解集為x|x0；當a1時，解集為x|x1講一講2當a為何值時，不等式(a21)x2(a1)x10的解是全體實數提示可結合相應函數的圖像，數形結合建立關于a的不等式求解嘗試解答(1)當a210時，a1.若a1，不等式化為10恒成立若a1，不等式化為2x10解集不為r.(2)當a210時，必須滿足即解得a1.綜合以上得當0的解集是實數集r(或恒成立)的條件是當a0時，b0，c0；當a0時，2不等式ax2bxc0的解集是實數集r(或恒成立)的條件是當a0時，b0，c0在r上恒成立，求實數a的取值范圍解：當a0時，不等式2x20的解集為x|x1，不滿足題意當a0時，若不等式的解集為r，只需解得a.綜上，所求實數a的取值范圍是(，)解不等式x(mx1)0.錯解當m0時，不等式化為x0，得x0，則0，得x；若m，得x0，m0時解集為(，0)；m0時解集為(，0)；m0時解集為(0，)錯因m0得x0，則0，得x；若m，得x0時解集為(，0)；m0時解集為.1當a0時，不等式42x2axa20的解集為()a. b.c. d解析：選a不等式化為(6xa)(7xa)0，a，故選a.2不等式x(xa1)a的解集是x|xa其中a1，則()aa1 ba1 dar解析：選cx(xa1)a(x1)(xa)0.解集是x|xa，a1.3(重慶高考)關于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a()a. b. c. d. 解析：選a由條件知x1，x2為方程x22ax8a20的兩根，則x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，得a，故選a.4(福建高考)已知關于x的不等式x2ax2a0在r上恒成立，則實數a的取值范圍是_解析：由題意得a28a0，解得a(0,8)答案：(0,8)5不等式x2(ab)xab0(ab)的解集是_解析：x2(ab)xab0(xa)(xb)0.ab，原不等式的解集為x|bxa答案：x|bx0m.即m(，0)(0，)時，方程mx2(2m1)xm0有兩個不相等的實數解一、選擇題1(潮州調研)若集合ax|ax2ax10，則實數a的值的集合是()aa|0a4 ba|0a4ca|00時相應二次方程中a24a0得a|0a4，綜上得a|0a42在r上定義運算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1對任意實數x恒成立，則()a1a1 b0a2ca da解析：選c根據題意，不等式(xa)(xa)1可變形為(xa)(1xa)0.要使x2xa2a10恒成立，則(1)24(a2a1)0，即4a24a30，a.3(蘭州一中檢測)若0t1，則不等式(x1)0的解集是()a. b.c. d.解析：選d方程(x1)(x)0的兩個根為1，.又0t1.原不等式的解集為x|1x0，bx|x2axb0若abr，ab(3,4，則ab等于()a7 b1 c1 d7解析：選da(，1)(3，)abr，ab(3,4，b1,4a(14)3，b144.ab7.二、填空題5若0t1，則不等式(xt)0的解集為_解析：0t1，所以(xt)0的解集為.答案：6當x(1,2)時，不等式x2mx40恒成立，則m的取值范圍是_解析：構造函數f(x)x2mx4，x1,2，則f(x)在1,2上的最大值為f(1)或f(2)由于當x(1,2)時，不等式x2mx40的解集為r，則a的范圍是_解析：若a0則x20即x2，不合題意若a0，則a.綜上，a.答案：(，)8若函數f(x) 的定義域為r，則a的取值范圍是_解析：根據題意得2x22axa10的解集為r，即x22axa0恒成立(2a)24(a)0.a2a0.1a0.答案：1,0三、解答題9已知不等式x2m(x21)若對于所有的實數x不等式恒成立，求m的取值范圍解：原不等式可化為mx2xm20，當m0時，此不等式為x20，對任意實數不恒成立當m0時，mx2xm20，對任意x恒成立等價于1m1.綜合知m的取值范圍為(1，1)10關于x的不等式ax2(a1)x10的解集中的整數恰有3個，求a的取值范圍解：原不等式等價于(ax1)(x1)0，分類討論：(1)當a0時，不等式的解集為(1，)整數不止3個；(2)當a0時，方程(ax1)(x1)0的兩根為和1，1.當0a1時，不等式的解集為(1，)，當45時滿足條件，得a1時，不等式的解集為(，1)顯然不滿足題意當a0.解：原不等式移項得ax2(a2)x20，化簡為(x1)(ax2)0.a0，(x1)0.當2a0時，x1；當a2時，x1；當a2時，1x.綜上所述，當2a0時，解集為；當a2時，解集為；當a0(axb)(cxd)00(axb)(cxd)0的步驟(1)將f(x)最高次項的系數化為正數；(2)將f(x)分解為若干個一次因式的積；(3)將每一個因式的根標在數軸上，從右上方依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根既穿又過)；(4)根據曲線顯現出的f(x)值的符號變化規律，寫出不等式的解集問題思考0的同解不等式是什么？提示：0(axb)(cxd)0或axb0.講一講1解下列不等式：(1)0；(2)2.提示先化分式不等式為整式不等式，后求解嘗試解答(1)由0，此不等式等價于(x3)(x1)0，原不等式的解集為x|x1(2)法一：移項得20，左邊通分并化簡，得0，即0，此不等式等價于x2或x5.原不等式的解集為x|x2，或x5法二：原不等式可化為0，此不等式等價于或解得x5，解得x2，原不等式的解集為x|x0；(2)3.解：(1)0(2x1)(3x1)0x，不等式的解集為x|x，或x(2)330，00x2，故不等式的解集為x|x0；(2)x.解：(1)將方程x(x1)2(x3)0的根0，1,3標在數軸上，并用穿針引線法依次通過每一個根如圖所示所以，原不等式的解集為x|x1，或1x3(2)原不等式0將方程x(x1)(x1)0的根1,0,1標在數軸上，并用穿針引線法依次通過每一個根如圖所示所以，原不等式的解集為x|x1，或00，所以這輛汽車剎車前的車速至少為80 m/h.解不等式應用題，一般可按以下四步進行：(1)閱讀理解、認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系；(2)引進數學符號，用不等式表示不等關系；(3)解不等式；(4)回扣實際問題練一練3某小型服裝廠生產一種風衣，日銷貨量x件與貨價p元/件之間的關系為p1602x，生產x件所需成本為c50030x元，假設所產風衣能夠全部銷出，問：該廠日產量多大時，日獲利不少于1 300元？解：設日產量為x件，日獲利為y元，則y(1602x)x(50030x)2x2130x500，2x2130x5001 300.解得20x45，該日產量為x20,45件時，日獲利不少于1 300元(湖南師大附中月考)若關于x的不等式axb0的解集為(1，)，則關于x的不等式0的解集為()a(1,2)b(，1)(2，)c(1,2) d(，2)(1，)巧思由axb0的解集為(1，)可得ab，代入不等式0可求解妙解axb0的解集為(1，)，ab且a0.則不等式0，可化為0，解得x2.答案b1不等式0的解集是()a(，1)(1,2b1,2c(，1)2，) d(1,2解析：選d此不等式等價于11答案：x|x0，或x15(江西高考)不等式0的解集是_解析：由0，得(x3)(x3)(x2)0，利用數軸標根法易得3x3.答案：x|3x36.某單位在對一個長為800 m、寬為600 m的草坪進行綠化時，是這樣設想的：中間為矩形綠草坪，四周為等寬的花壇，如圖所示，若要保證綠草坪的面積不小于總面積的二分之一，試確定花壇寬度的取值范圍解：設花壇寬度為x m，則草坪的長為(8002x) m，寬為(6002x) m，(0x300)根據題意得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x60 0000，解不等式得x600(舍去)或x100，因此0x100.故當花壇的寬度在(0,100之間取值時，綠草坪的面積不小于總面積的二分之一一、選擇題1若不等式(x2a)(x1)(x3)0的解集為(，1)(3,4)則a的值為()a4 b2c4 d2解析：選d當2a4時，用穿針引線法易知不等式的解集滿足題意，a2.2不等式0的解集為()ax|0x2 012bx|0x2 012cx|x0，或2 011x2 012dx|x0，或2 011x2 012解析：選a原不等式等價于如圖所示用穿針引線法，求得原不等式的解集為x|0x2 0123不等式0的解集為()ax|1x2或2x3bx|1x3cx|2x3dx|1x3解析：選a原不等式等價于解得1x0，即x210x0，得0x10.售價應在(90,100)范圍之內二、填空題5(上岡檢測)不等式1的解集為_解析：11002x1.所以原不等式的解