課時提升作業 五柱坐標系與球坐標系簡介一、選擇題(每小題6分,共18分)1.(2016泰安高二檢測)設點a的柱坐標為(1,0),則點的直角坐標為()a.(-1,0,0)b.(1,0,0)c.(0,0,-1)d.(-1,0)【解析】選a.設點的直角坐標為(x,y,z),柱坐標為(,z),因為(,z)=(1,0),由x=cos,y=sin,z=z,得x=cos,y=sin,z=0,即x=-1,y=0,z=0.所以點a(1,0)的直角坐標為(-1,0,0).【補償訓練】點m的直角坐標為(3,1,-2),則它的柱坐標為()a.2,6,2b.2,3,2c.2,6,-2d.2,-6,-2【解析】選c.=(3)2+12=2,tan=13=33,=6,所以點m的柱坐標為2,6,-2.2.點的球坐標2,2,23化為直角坐標為()a.(1,3,0)b.(1,-3,0)c.(-1,3,0)d.(-1,-3,0)【解析】選c.設點的直角坐標為(x,y,z),球坐標為(r,),因為(r,)=2,2,23, 由x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos,得x=2sin2cos23,y=2sin2sin23,z=2cos2,即x=-1,y=3,z=0.故化為直角坐標為(-1,3,0).3.在球坐標系中,滿足=4,r0,+),0,的動點p(r,)的軌跡為()a.點b.直線c.半平面d.半球面【解析】選c.由于在球坐標系中,=4,r0,+),0,故射線om平分xoy,由球坐標系的意義,知動點p(r,)的軌跡為二面角x-on-y的平分面,這是半平面,如圖所示.二、填空題(每小題6分,共12分)4.已知在柱坐標系中,點m的柱坐標為2,23,5,且點m在坐標軸oy上的射影為n,則|mn|=_.【解析】設點m在平面xoy上的射影為p,連接pn,則pn為線段mn在平面xoy上的射影.因為mn直線oy,mp平面xoy,所以pn直線oy.所以|op|=2,|pn|=cos23=1,在rtmnp中,mpn=90, 所以|mn|=|pm|2+|pn|2=(5)2+12=6.答案:65.點m的球坐標為4,2,53,則m的直角坐標為_.【解析】因為m的球坐標為4,2,53,所以r=4,=2,=53所以x=rsincos=4112=2, y=rsinsin=41-32=-23,z=rcos=40=0,故m的直角坐標為(2,-23,0).答案:(2,-23,0)【補償訓練】空間點p的柱坐標為6,3,4,則點p關于z軸的對稱點為_.【解析】點p關于z軸的對稱點坐標為6,43,4.答案:6,43,4三、解答題(每小題10分,共30分)6.設點m的直角坐標為(1,-1,6),求點m的坐標.【解析】由坐標變換公式,得r=x2+y2+z2=22,由rcos=z(0),得cos=6r=32,來 由于0,所以=6.又tan=yx=-1(02,且角的終邊過點(1,-1),所以=74,故點m的球坐標為22,6,74.7.設點m的直角坐標為(1,1,2),求點m的柱坐標與球坐標.【解析】由坐標變換公式,可得=x2+y2=2,tan=yx=1,=4(點(1,1)在平面xoy的第一象限),r=x2+y2+z2=12+12+(2)2=2.由rcos=z=2(0),得cos=2r=22,=4.所以點m的柱坐標為2,4,2,球坐標為2,4,4.8.已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為1,如圖建立空間直角坐標系a-xyz,ax為極軸,求點c1的直角坐標、柱坐標以及球坐標.【解析】點c1的直角坐標為(1,1,1),設點c1的柱坐標為(,z),球坐標為(r,),其中0,r0,0,00,盤旋的角速度為0,求t時刻螞蟻所在的位置的球坐標.【解析】取圓錐的頂點o為坐標原點,建立球坐標系,設t時刻螞蟻在點m(r,)處,由題意