32.1復數代數形式的加、減運算及其幾何意義學習目標1.熟練掌握復數代數形式的加、減運算法則.2.理解復數加減法的幾何意義，能夠利用“數形結合”的思想解題知識點一復數代數形式的加減法思考類比多項式的加減法運算，想一想復數如何進行加減法運算？答案兩個復數相加(減)就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加(減)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.梳理(1)運算法則設z1abi，z2cdi是任意兩個復數，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)加法運算律對任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)知識點二復數加減法的幾何意義思考1復數與復平面內的向量一一對應，你能從向量加法的幾何意義出發討論復數加法的幾何意義嗎？答案如圖，設，分別與復數abi，cdi對應，則(a，b)，(c，d)，由平面向量的坐標運算，得(ac，bd)，所以與復數(ac)(bd)i對應，復數的加法可以按照向量的加法來進行思考2怎樣作出與復數z1z2對應的向量？答案z1z2可以看作z1(z2)因為復數的加法可以按照向量的加法來進行所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1z2對應的向量(如圖)圖中對應復數z1，對應復數z2，則對應復數z1z2.梳理復數加法的幾何意義復數z1z2是以，為鄰邊的平行四邊形的對角線所對應的復數復數減法的幾何意義復數z1z2是從向量的終點指向向量的終點的向量所對應的復數1兩個虛數的和或差可能是實數()2在進行復數的加法時，實部與實部相加得實部，虛部與虛部相加得虛部()3復數的減法不滿足結合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立()類型一復數的加法、減法運算例1(1)若z12i，z23ai(aR)，復數z1z2所對應的點在實軸上，則a_.(2)已知復數z滿足|z|iz13i，則z_.考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的綜合應用答案(1)1(2)1i解析(1)z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，由題意得a10，則a1.(2)設zxyi(x，yR)，則|z|，|z|izixyix(y)i13i，解得z1i.反思與感悟(1)復數的加減運算就是實部與實部相加減，虛部與虛部相加減(2)當一個等式中同時含有|z|與z時，一般用待定系數法，設zxyi(x，yR)跟蹤訓練1(1)若復數z滿足zi33i，則z_.(2)(abi)(2a3bi)3i_(a，bR)(3)已知復數z滿足|z|z13i，則z_.考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的運算法則答案(1)62i(2)a(4b3)i(3)43i解析(1)zi33i，z62i.(2)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.(3)設zxyi(x，yR)，|z|，|z|z(x)yi13i，解得z43i.類型二復數加、減法的幾何意義例2(1)如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別對應的復數為0，32i，24i.求：表示的復數；表示的復數；表示的復數考點復數的加減法運算法則題點復數加減法與向量的對應解A，C對應的復數分別為32i，24i，由復數的幾何意義，知與表示的復數分別為32i，24i.因為，所以表示的復數為32i.因為，所以表示的復數為(32i)(24i)52i.，所以表示的復數為(32i)(24i)16i.(2)已知z1，z2C，|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.考點復數加減法的幾何意義及應用題點與加減法幾何意義有關的模的問題解根據復數加減法的幾何意義，由|z1|z2|知，以，為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形如圖，對應的復數為z1，對應的復數為z2，|，對應的復數為z1z2，|.在AOC中，|1，|，AOC30.同理得BOC30，OAB為等邊三角形，則|1，對應的復數為z1z2，|z1z2|1.引申探究若將本例(2)中的條件“|z1z2|”改為“|z1z2|1”，求|z1z2|.解如例2(2)圖，向量表示的復數為z1z2，|1，則AOB為等邊三角形，AOC30，則|，|，表示的復數為z1z2，|z1z2|.反思與感悟(1)常用技巧形轉化為數：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數運算去處理；數轉化為形：對于一些復數運算也可以給予幾何解釋，使復數作為工具運用于幾何之中(2)常見結論：在復平面內，z1，z2對應的點分別為A，B，z1z2對應的點為C，O為坐標原點四邊形OACB為平行四邊形；若|z1z2|z1z2|，則四邊形OACB為矩形；若|z1|z2|，則四邊形OACB為菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，則四邊形OACB為正方形跟蹤訓練2(1)已知復平面內的平面向量，表示的復數分別是2i,32i，則|_.(2)若z12i，z23ai，復數z2z1所對應的點在第四象限上，則實數a的取值范圍是_考點復數的加減法運算法則題點復數的加減法與向量的對應答案(1)(2)(，1)解析(1)，表示的復數為(2i)(32i)13i，|.(2)z2z11(a1)i，由題意知a10，即a1.1設z134i，z223i，則z1z2在復平面內對應的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點復數的加減法運算法則題點復數加減法與點的對應答案D解析z1z257i，z1z2在復平面內對應的點位于第四象限2已知復數z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是純虛數，那么實數a的值為()A1 B2C2 D2或1考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的運算法則答案C解析由z1z2a22a(a23a2)i是純虛數，得得a2.3在復平面內，O是原點，表示的復數分別為2i，32i,15i，則表示的復數為()A28i B44iC66i D42i考點復數的加減法運算法則題點復數加減法與向量的對應答案B解析()44i.4設f(z)|z|，z134i，z22i，則f(z1z2)等于()A. B5C. D5考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的綜合應用答案D解析因為z1z255i，所以f(z1z2)f(55i)|55i|5.5設平行四邊形ABCD在復平面內，A為原點，B，D兩點對應的復數分別是32i和24i，則點C對應的復數是_考點復數加減法的幾何意義及應用題點與加減法幾何意義有關的綜合應用答案52i解析設AC與BD的交點為E，則E點坐標為，設點C坐標為(x，y)，則x5，y2，故點C對應的復數為52i.1復數代數形式的加減法滿足交換律、結合律，復數的減法是加法的逆運算2復數加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則，復數減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則.一、選擇題1若復數z滿足z(34i)1，則z的虛部是()A2 B4C3 D4考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的運算法則答案B解析z(34i)1，z24i，故z的虛部是4.2實數x，y滿足z1yxi，z2yix，且z1z22，則xy的值是()A1 B2C2 D1考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的綜合應用答案A解析z1z2(yx)(xy)i2，即xy1，則xy1.3若z12i，z23ai(aR)，且z1z2所對應的點在實軸上，則a的值為()A3 B2C1 D1考點復數加減法運算法則題點復數加減法與點的對應答案D解析z1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)i.z1z2所對應的點在實軸上，1a0，a1.4設復數z滿足關系式z|z|2i，那么z等于()Ai B.iCi D.i考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的運算法則答案D解析設zabi(a，bR)，則z|z|(a)bi2i，則解得zi.5已知復數z對應的向量如圖所示，則復數z1所對應的向量正確的是()考點復數的加減法運算法則題點復數加減法與向量的對應答案A解析由圖知z2i，則z11i，由復數的幾何意義可知，A是正確的6復數z1a4i，z23bi，若它們的和z1z2為實數，差z1z2為純虛數，則a，b的值為()Aa3，b4 Ba3，b4Ca3，b4 Da3，b4考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的綜合應用答案A解析因為z1z2(a3)(4b)i為實數，所以4b0，b4.因為z1z2(a4i)(3bi)(a3)(4b)i為純虛數，所以a3且b4.故a3，b4.7在復平面內點A，B，C所對應的復數分別為13i，i，2i，若，則點D表示的復數是()A13i B3iC35i D53i考點復數加減法的幾何意義及應用題點與加減法幾何意義有關的綜合應用答案C解析點A，B，C對應的復數分別為13i，i,2i，對應的復數為22i.設D(x，y)，(x1，y3)(2,2)，解得點D表示的復數為35i.二、填空題8已知z1(3xy)(y4x)i(x，yR)，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)設zz1z2，且z132i，則z1_，z2_.考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的綜合應用答案59i87i解析zz1z2(3xy4y2x)(y4x5x3y)i(5x3y)(x4y)i132i，解得z159i，z287i.9設z34i，則復數z|z|(1i)在復平面內的對應點在第_象限考點復數的加減法運算法則題點復數加減法與點的對應答案三解析因為z34i，所以|z|5，所以z|z|(1i)34i5(1i)15i.復數z15i在復平面內的對應點Z(1，5)位于第三象限10已知|z|4，且z2i是實數，則復數z_.考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的綜合應用答案22i解析因為z2i是實數，可設za2i(aR)，由|z|4得a2416，所以a212，所以a2，所以z22i.11.如圖所示，在復平面內的四個點O，A，B，C恰好構成平行四邊形，其中O為原點，A，B，C所對應的復數分別是zA4ai，zB68i，zCabi(a，bR)，則zAzC_.考點復數的加減法運算法則題點復數加減法與向量的對應答案24i解析因為，所以4ai(abi)68i.因為a，bR，所以所以所以zA42i，zC26i，所以zAzC(42i)(26i)24i.三、解答題12設mR，復數z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虛數，求m的取值范圍考點復數的加減法運算法則題點復數加減法的運算法則解因為z1(m15)i，z22m(m3)i，所以z1z2(m15)m(m3)i(m22m15)i.因為z1z2是虛數，所以m22m150且m2，所以m5且m3且m2，所以m的取值范圍是(，3)(3，2)(2,5)(5，)13(1)若f(z)z1i，z134i，z22i，求f(z1z2)；(2)若z12cos i，z22isin (02)，且z1z2在復平面內對應的點位于第二象限，求的取值范圍考點復數加減法的幾何意義及應用題點與加減法幾何意義有關的綜合應用解(1)z1z2(34i)(2i)53i，f(z1z2)f(53i)(53i)1i62i.(2)z1z2(2cos )(2sin 1)i，由題意得即又0,2，所以.四、探究與拓展14復數z11icos ，z2sin i，則|z1z2|的最大值為()A32 B.1C32 D.1考點復數加減法的幾何意義及應用題點與加減法幾何意義有關的模的問題答案D解析|z1z2|(1sin )(cos 1)i| .max1，|z1z2|max1.15已知復平面內平行四邊形ABCD，A點對應的復數為2i，向量對應的復數為12i，向量對應的復數為3i，求：(1)點C