新人教版數學八年級下冊18.2.3正方形課時練習一選擇題（共15小題）1如圖，ABC是一個等腰直角三角形，DEFG是其內接正方形，H是正方形的對角線交點；那么，由圖中的線段所構成的三角形中相互全等的三角形的對數為（）A12B13 C26D30答案：C知識點：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性質解析：解答：解：設AB3，圖中所有三角形均為等腰直角三角形，其中，斜邊長為1的有5個，它們組成10對全等三角形；斜邊長為的有6個，它們組成15對全等三角形；斜邊長為2的有2個，它們組成1對全等三角形；共計26對故選C分析：根據全等三角形的判定可以確定全等三角形的對數，由于圖中全等三角形的對數較多，可以根據斜邊長的不同確定對數，可以做到不重不漏本題考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性質，解題的關鍵是記熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏2如圖所示，EF分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CEDF，AE，BF相交于點O，下列結論AEBF；AEBF；AOOE；SAOBS四邊形DEOF中，錯誤的有（）A1個B2個 C3個D4個答案：A知識點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質解析：解答：解：四邊形ABCD是正方形，CDADCEDFDEAFADEBAFAEBF，SADESBAF，DEAAFB，EADFBASAOBS四邊形DEOFABFAFBDAEDEA90AFBEAF90AEBF一定成立錯誤的結論是：AOOE故選A分析：根據四邊形ABCD是正方形及CEDF，可證出ADEBAF，則得到：AEBF，以及ADE和BAF的面積相等，得到；SAOBS四邊形DEOF；可以證出ABOBAO90，則AEBF一定成立錯誤的結論是：AOOE本題考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性質3如圖，在正方形ABCD中，AB4，E為CD上一動點，AE交BD于F，過F作FHAE于H，過H作GHBD于G，下列有四個結論：AFFH，HAE45，BD2FG，CEH的周長為定值，其中正確的結論有（）AB CD答案：D知識點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質解析：解答：解：（1）連接FC，延長HF交AD于點L，BD為正方形ABCD的對角線，ADBCDF45ADCD，DFDF，ADFCDFFCAF，ECFDAFALHLAF90，LHCDAF90ECFDAF，FHCFCH，FHFCFHAF（2）FHAE，FHAF，HAE45（3）連接AC交BD于點O，可知：BD2OA，AFOGFHGHFGFH，AFOGHFAFHF，AOFFGH90，AOFFGHOAGFBD2OA，BD2FG（4）延長AD至點M，使ADDM，過點C作CIHL，則：LIHC，根據MECMIC，可得：CEIM，同理，可得：ALHE，HEHCECALLIIMAM8CEM的周長為8，為定值故（1）（2）（3）（4）結論都正確故選D分析：（1）作輔助線，延長HF交AD于點L，連接CF，通過證明ADFCDF，可得：AFCF，故需證明FCFH，可證：AFFH；（2）由FHAE，AFFH，可得：HAE45；（3）作輔助線，連接AC交BD于點O，證BD2FG，只需證OAGF即可，根據AOFFGH，可證OAGF，故可證BD2FG；（4）作輔助線，延長AD至點M，使ADDM，過點C作CIHL，則ILHC，可證ALHE，再根據MECMIC，可證：CIIM，故CEM的周長為邊AM的長，為定值解答本題要充分利用正方形的特殊性質，在解題過程中要多次利用三角形全等4一個圍棋盤由1818個邊長為1的正方形小方格組成，一塊邊長為1.5的正方形卡片放在棋盤上，被這塊卡片覆蓋了一部分或全部的小方格共有n個，則n的最大值是（）A4B6 C10D12答案：D知識點：正方形的性質解析：解答：解：卡片的邊長為1.5，卡片的對角線長為23，且小方格的對角線長1.5故該卡片可以按照如圖所示放置：圖示為n取最大值的時候，n12故選D分析：要n取最大值，就讓邊長為1.5的正方形卡片邊與小方格的邊成一定角度本題考查的是已知正方形邊長正方形對角線長的計算，旋轉正方形卡片并且找到合適的位置使得n為最大值，是解題的關鍵5如圖，四邊形ABCD是正方形，以CD為邊作等邊三角形CDE，BE與AC相交于點M，則AMD的度數是（）A75B60 C54D67.5答案：B知識點：正方形的性質；線段垂直平分線的性質解析：解答：解：如圖，連接BD，BCEBCDDCE9060150，BCEC，EBCBEC（180BCE）15BCMBCD45，BMC180（BCMEBC）120，AMB180BMC60AC是線段BD的垂直平分線，M在AC上，AMDAMB60故選B分析：連接BD，根據BD，AC為正方形的兩條對角線可知AC為BD的垂直平分線，所以AMDAMB，要求AMD，求AMB即可本題考查的正方形的對角垂直平分的性質，根據垂直平分線的性質可以求得AMDAMB，確定AC和BD垂直平分是解題的關鍵6在平面直角坐標系中，稱橫縱坐標均為整數的點為整點，如下圖所示的正方形內（包括邊界）整點的個數是（）A13B21 C17D25答案：D知識點：正方形的性質；坐標與圖形性質解析：解答：解：正方形邊上的整點為（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；在其內的整點有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）故選D分析：根據正方形邊長的計算，計算出邊長上的整點，并且根據邊長的坐標找出在正方形范圍內的整點本題考查的是正方形四條邊上整點的計算，找到每條邊上整點變化的規律是解本題的關鍵7在同一平面上，正方形ABCD的四個頂點到直線l的距離只取四個值，其中一個值是另一個值的3倍，這樣的直線l可以有（）A4條B8條 C12條D16條答案：D知識點：正方形的性質；點到直線的距離解析：解答：解：符合題目要求的一共16條直線，下圖虛線所示直線均符合題目要求分析：根據正方形的性質，一個值為另一個值的3倍，所以本題需要分類討論，該直線切割正方形，確定直線的位置；該直線在正方形外，確定直線的位置本題考查了分類討論計算點到直線的距離，找到直線的位置是解題的關鍵8如圖，正方形ABCD的邊長為1，E為AD中點，P為CE中點，F為BP中點，則F到BD的距離等于（）AB CD答案：D知識點：正方形的性質；三角形的面積解析：解答：解：連接DP，SBDPSBDCSDPCSBPC11，F為BP的中點，P到BD的距離為F到BD的距離的2倍SBDP2SBDF，SBDF，設F到BD的距離為h，根據三角形面積計算公式，SBDFBDh，計算得：h故選D分析：圖中，F為BP的中點，所以SBDP2SBDF，所以要求F到BD的距離，求出P到BD的距離即可本題考查的是轉化思想，先求三角形的面積，再根據三角形面積計算公式，計算三角形的高，即F到BD的距離9搬進新居后，小杰自己動手用彩塑紙做了一個如圖所示的正方形的掛式小飾品ABCD，彩線BDANCM將正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中點，N是BC的中點，AN與CM交于O點已知正方形ABCD的面積為576cm2，則被分隔開的CON的面積為（）A96cm2B48cm2 C24cm2D以上都不對答案：B知識點：正方形的性質；三角形的面積；相似三角形的判定與性質解析：解答：解：找到CD的中點E，找到AD的中點F，連接CF，AE，則CMEA，ANFC，BOMBKA，同理可證：，故DKKOOB，BOC和BOA的面積和為正方形ABCD的面積，CNNBAMBM，OCN的面積為BOC和BOA的面積和，OCN的面積為48cm2，故選B分析：先證明BO為正方形ABCD的對角線BD的，再求證CNO，NBO，AMO，BMO的面積相等，即CON的面積為正方形面積的本題考查了正方形內中位線的應用，考查了正方形四邊均相等的性質，解本題的關鍵是求證BOBD，OCN的面積為BOC和BOA的面積和10如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，在BD上截取BEBC，連接CE，點P是CE上任意一點，PMBD于M，PNBC于N，若正方形ABCD的邊長為1，則PMPN（）A1B CD1答案：C知識點：正方形的性質，三角形的面積解析：解答：解：連接BP，作EHBC，則PMPN分別為BPE和BCP的高，且底邊長均為1，SBCE1SCDE，DEBDBE，CDE中CD邊上的高為（1），SCDECD（1）；SBCE1SCDE；又SBCESBPESBPCBC（PMPN）PMPN故選C分析：連接BP，PMPN分別為BPE和BCP的高，且底邊長均為1，因此根據面積計算方法可以求PMPN本題考查的用求三角形面積的方法求三角形的高的轉化思想，考查正方形對角線互相垂直且對角線即角平分線的性質，面積轉換思想是解決本題的關鍵11頂點為A（6，6），B（4，3），C（1，7），D（9，4）的正方形在第一象限的面積是（）A25B36 C49D30答案：B知識點：正方形的性質；坐標與圖形性質；三角形的面積解析：解答：解：連接OA，過AD兩點的直線方程是，即y16，解得它與x軸的交點E的橫坐標是x7.8，同理求得過AB兩點的直線方程是y4.2，解得它與y軸的交點E的縱坐標是y4.2，SAOE7.8623.4，SAFO4.2612.6，SAOESAFO23.412.636，即頂點為A（6，6），B（4，3），C（1，7），D（9，4）的正方形在第一象限的面積是36分析：根據正方形的頂點坐標，求出直線AD的方程，由方程式知AD與x軸的交點E的坐標，同理求得AB與y軸的交點F的坐標，連接OA，再去求兩個三角形的面積，從而求得正方形在第一象限的面積解答本題要充分利用正方形的特殊性質注意在正方形中的特殊三角形的應用，利用直角三角形求面積，在本題中，借助直線方程求的點EF在坐標軸上的坐標，據此解得所求三角形的邊長，代入面積公式求得結果12ABCD是邊長為1的正方形，BPC是等邊三角形，則BPD的面積為（）ABCD答案：B知識點：正方形的性質；三角形的面積；等邊三角形的性質解析：解答：解：BPD的面積等于BCP和CDP面積和減去BCD的面積因此本題求解BCPCDP面積和BCD的面積即可，SBCP，SCDP，SBCD11，SBPD故選B分析：根據三角形面積計算公式，找到BPD的面積等于BCP和CDP面積和減去BCD的面積的等量關系，并進行求解本題考查了三角形面積的計算，考查了正方形對角線平分正方形為2個全等的等腰直角三角形解決本題的關鍵是找到BPD的面積等于BCP和CDP面積和減去BCD的面積的等量關系13如圖，正方形ABCD的面積為16，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線BD上有一點P，使PCPE的和最小，則這個最小值為（）A4B2C2D2答案：A知識點：軸對稱最短路線問題；等邊三角形的性質；正方形的性質解析：解答：解：正方形ABCD，ACBD，OAOC，CA關于BD對稱，即C關于BD的對稱點是A，連接AE交BD于P，則此時EPCP的值最小，CA關于BD對稱，CPAP，EPCPAE，等邊三角形ABE，EPCPAEAB，正方形ABCD的面積為16，AB4，EPCP4，故選A分析：根據正方形的性質，推出CA關于BD對稱，推出CPAP，推出EPCPAE，根據等邊三角形性質推出AEABEPCP，根據正方形面積公式求出AB即可本題考查了正方形的性質，軸對稱最短問題，等邊三角形的性質等知識點的應用，解此題的關鍵是確定P的位置和求出EPCP的最小值是AE，題目比較典型，但有一定的難度，主要培養學生分析問題和解決問題的能力14.如圖是一張矩形紙片ABCD，AD10cm，若將紙片沿DE折疊，使DC落在DA上，點C的對應點為點F，若BE6cm，則CD()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm答案：A知識點：正方形的性質；翻折變換（折疊問題）解析：解答：解：四邊形CEFD是正方形，ADBC10cm，BE6cm，CEEFCD1064(cm).分析：根據正方形的性質，即可輕松解答15.如圖，菱形ABCD中，B60，AB4，則以AC為邊的正方形ACEF的周長為()A.14B.15 C.16D.17答案：C知識點：正方形的性質；菱形的性質解析：解答：解：四邊形ABCD是菱形，ABBC，B60，ABC是等邊三角形，ACAB4，正方形ACEF的周長是ACCEEFFA4416.分析：根據正方形和菱形的性質，即可輕松解答二填空題（共5小題）1如圖所示，將五個邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，其中點A、B、C、D分別是正方形對角線的交點、如果有n個這樣大小的正方形這樣擺放，則陰影面積的總和是_cm2答案：知識點：正方形的性質；探索圖形規律解析：解答：解：點A、B、C、D分別是正方形對角線的交點兩個三角形之間的陰影面積為正方形總面積的，即11，當有三個三角形時，其面積為當有四個時，其面積為所以當n個三角形時，其面積為故答案為分析：求面積問題，因為點A、B、C、D分別是正方形對角線的交點，所以兩個三角形之間的陰影面積為正方形總面積的，由此便可求解熟練掌握正方形的性質，會運用正方形的性質進行一些簡單的計算問題2如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系、已知OA3，OC2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，若在y軸上存在點P，且滿足FEFP，則P點坐標為 答案：（0，4）或（0，0）知識點：正方形的性質；坐標與圖形性質；全等三角形的判定與性質解析：解答：解：連接EF，OA3，OC2，AB2，點E是AB的中點，BE1，BFAB，CFBE1，FEFP，RtFCPRtFBE，PCBF2，P點坐標為（0，4）或（0，0），即圖中的點P和點P故答案為：（0，4），（0，0）分析：連接EF，CFBE1，若EFFP，顯然RtFCPRtFBE，由此確定CP的長本題考查了三角形翻折前后的不變量，利用三角形的全等解決問題3如圖，邊長為a的正方形ABCD和邊長為b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分別是兩個正方形的中心，則陰影部分的面積為，線段O1O2的長為答案： 知識點：正方形的性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質解析：解答：解：做O1HAE，使O2HO1H，交BG于P，K點，（1）BP，又O2HHO1，KPHO2，PKO1HO2O1，KP，陰影部分的面積BK（）；（2）HO1，HO2，根據勾股定理O1O2故答案為：；分析：陰影部分的面積可以看成兩個三角形面積之和，所以求2個三角形面積即可；線段O1O2的長根據勾股定理求解本題考查的相似三角形的證明即對應邊比例相等的性質，三角形面積的計算，考查了根據勾股定理計算直角三角形斜邊的應用，解決本題的關鍵是構建直角三角形HO1O24已知正方形ABCD在直角坐標系內，點A（0，1），點B（0，0），則點C，D坐標分別為 和 （只寫一組）答案：（1，0）和（1，1）知識點：正方形的性質；坐標與圖形性質解析：解答：解：正方形ABCD的點A（0，1），點B（0，0），BDx軸，ACx軸，這樣畫出正方形，即可得出C與D的坐標，分別為：C（1，0），D（1，1）故答案為：（1，0），（1，1）分析：首先根據正方形ABCD的點A（0，1），點B（0，0），在坐標系內找出這兩點，根據正方形各邊相等，從而可以確定C，D的坐標本題主要考查了正方形的性質與坐標內圖形的性質，確定已知點的坐標，從而根據正方形的性質，確定其它頂點的坐標是解決問題的關鍵5如圖，在一個正方形被分成三十六個面積均為1的小正方形，點A與點B在兩個格點上在格點上存在點C，使ABC的面積為2，則這樣的點C有 個答案：5知識點：正方形的性質；三角形的面積解析：解答：解：圖中標出的5個點均為符合題意的點故答案為 5分析：要使得ABC的面積為2，即Sah，則使得a2、h2或者a4、b1即可，在圖示方格紙中找出C點即可本題考查了正方形各邊長相等的性質，考查了三角形面積的計算公式，本題中正確地找全C點是解題的關鍵，考生容易漏掉一個或者幾個答案三解答題（共5小題）1如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AF平分BAC，交BD于點F（1）求證：；（2）點A1、點C1分別同時從A、C兩點出發，以相同的速度運動相同的時間后同時停止，如圖，A1F1平分BA1C1，交BD于點F1，過點F1作F1EA1C1，垂足為E，請猜想EF1，AB與三者之間的數量關系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，當A1E16，C1E14時，則BD的長為答案：（1）見解析 （2）ABEF1A1C1 （3）知識點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理解析：解答：解：（1）過F作FGAB于G，AF平分CAB，FOAC，FGAB，OFFG，AOFAGF90，AFAF，OFFG，AOFAGF，AOAG，直角三角形BGF中，DGA45，FGBGOF，ABAGBGAOOFACOF，ABOFAC（2）過F1作F1G1A1B，過F1作F1H1BC1，則四邊形F1G1BH1是矩形同（1）可得EF1F1G，因此四邊形F1G1BH1是正方形EF1G1F1F1H1，即：F1是三角形A1BC1的內心，EF1（A1BBC1A1C1）2A1BBC1ABA1ABCCC1，而CC1A1A，A1BBC12AB，因此式可寫成：EF1（2ABA1C1）2，即ABEF1A1C1（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的內心，且E1、G1、H1都是切點A1E（A1C1A1BBC1）2，如果設CC1A1Ax，A1EA1C1（ABx）（ABx）2（102x）26，x1，在直角三角形A1BC1中，根據勾股定理有A1B2BC12AC12，即：（AB1）2（AB1）2100，解得AB7，BD7分析：（1）可通過構建全等三角形來求解，過F作FGAB于G，那么可通過角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出OFFG，通過全等三角形AOF和AGF可得出AOAG，那么ABAOOF，而AC2OA，由此可得證；（2）本題作輔助線的方法與（1）類似，過F1作F1G1AB，F1H1BC，那么可證得四邊形F1G1BH1是正方形，EF1F1G1F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的內心，根據直角三角形的內心公式可得出EF1（A1BBC1A1C1）2，然后根據用AB分別表示出A1B，BC1，最后經過化簡即可得出ABEF1A1C1；（3）求BD的長，首先要求出AB的長，本題可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的內心來解，那么我們不難看出E，G1，H1都應該是切點，根據切線長定理不難得出A1EA1G1A1C1A1BC1EBG1，由于C1EC1H1，BG1BH1，A1EA1G1因此式子可寫成2A1EA1C1A1BBC1，而（A1BBC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的長，那么可根據勾股定理用AB表示出兩條直角邊，求出AB的長，然后即可得出BD的值本題主要考查了正方形的性質，三角形的內接圓與內心等知識點，要注意的是后兩問中，結合圓的知識來解會使問題更簡單2已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且EAAF求證：DEBF答案：見解析知識點：全等三角形的判定與性質；正方形的性質解析：解答：證明：FABBAE90，DAEBAE90，FABDAE，ABAD，ABFADE，AFBADE，DEBF分析：由同角的余角相等知，FABDAE，由正方形的性質知，ABAD，ABFADE90，則ASA證得AFBADEDEBF此題即考查了實數的運算又考查了正方形的性質學生對學過的知識要系統起來3如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，AGEF，垂足為G，且AGAB，則EAF為多少度答案：45知識點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質解析：解答：解：在RtABF與RtAGF中，ABAG，AFAF，BG90，ABFAGF（HL），BAFGAF，同理易得：AGEADE，有GAEDAE；即EAFEAGFAGDAGBAGDAB45，故EAF45分析：根據角平分線的判定，可得出ABFAGF，故有BAFGAF，再證明AGEADE，有GAEDAE；所以可求EAF45主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定4如圖，正方形ABCD中，AB，點E、F分別在BC、CD上，且BAE30，DAF15度（1）求證：DFBEEF；（2）求EFC的度數；（3）求AEF的面積答案：（1）見解析 （2）30 （3）知識點：正方形的性質；全等