2014 2015 期末沖刺 八年級數學 難點突破 三 答案 學而思中考研究中心出品 1 歡迎加入八年級數物英期末備戰群 365089092 20142014 20152015 期末沖刺八年級期末沖刺八年級數學數學 難點突破 三 非幾何模型 編寫教師 學而思中考研究中心 孫 迪 一 難點概要一 難點概要 得模型者得幾何 這是對想學好初中平面幾何同學最直白的回應 模型雖然重要 但與去年八年級期中期末基本清一色的考等腰直角對直角模型相比 今年期中考試有接近一 半的卷子考的是非模型的代幾綜合題 那么這一類問題我們應該如何解決呢 答案其實就是兩個字 條件 比如 題目中有角平分線 會有什么樣的輔助線思路 比如 結論是要證明 AB CD EF 你是否會想到截長補短 再比如 要你求一個角度或幾條 線段的關系 你是否會先猜后證 看到等腰 是否會想到構造旋轉全等 等等 當然 非幾何題的熟練掌握也非一朝一夕之功 比如 角平分線有四種輔助線技巧 遇 到一個題目該如何選 考試時有時間一種一種試么 很顯然不現實 所以練習 歸納總結的 意義在于在最短的時間內嘗試出輔助線的做法 這個不僅會在考試時給我們充裕的時間 在 平時的練習中會極大提升我們的效率 難點 三 便是我這段時間根據大家問我的題目編出的我自己總結出的相似題型 希望 對大家有所幫助 也希望大家后面能像我這樣 對幾何難題分門別類的整理出來 如果持之 以恒 你會發現 到八下你的幾何就可能比別人厲害很多了 二 典型例題二 典型例題 一 等腰 RT 中一直角邊出現兩條相等邊的解決方法 例題 例題 1 1 兩種方法必須掌握 第一種 過 A 做 AK BC 于 K 交 BD 于 O 先證 ABO CAE 則 AO CE BO AE 再證 ADO CDE ADB CDE OD DE AE DE BD O A BC D EK 2014 2015 期末沖刺 八年級數學 難點突破 三 答案 學而思中考研究中心出品 2 歡迎加入八年級數物英期末備戰群 365089092 288536025 第二種 過 C 做 CS AC 交 AE 的延長線于 S 先證 ABD CAS 得 AD CS ADB S BD AS 再證 CDE CSE CDE S DE ES ADB CDE BD AS AE ES AE DE 練練 1 1 兩種方法必須掌握 第一種 過 A 做 AK BC 于 K 交 BD 于 O 先證 ABO CAG 則 AO CG BO AG 再證 ADO CEG ADB CEG OD GE AG GE BD 第二種 過 C 做 CS AC 交 AG 的延長線于 S 先證 ABD CAS 得 AD CS ADB S BD AS 再證 CGE CGS CDG S GE GS ADB CEG BD AS AG GS AG GE 練練 2 2 考點 全等三角形的判定與性質 坐標與圖形性質 菁優網版權所有 分析 1 作 CM x 軸于 M 求出 CM CN 2 證 BAO ACM 推出 AO CM 2 OB AM 4 即可得出答案 2 求出 AO CN 2 根據相似求出 AD DC 根據三角形面積公式求出即可 3 在 BD 上截取 BF AE 連 AF 證 BAF CAE 證 AFD CED 即可得 出答案 解答 只寫一種 還有一種自己照葫蘆畫瓢 1 作 CM x 軸于 M C 2 2 CM 2 CN 2 AB AC BAC AOB CMA 90 BAO CAM 90 CAM ACM 90 BAO ACM 在 BAO 和 ACM 中 P B C A S D E O A BC GK D E P B C A S G D E 2014 2015 期末沖刺 八年級數學 難點突破 三 答案 學而思中考研究中心出品 3 歡迎加入八年級數物英期末備戰群 365089092 BAO ACM AO CM 2 OB AM AO OM 2 2 4 B 0 4 2 證明 如圖 1 作 CN y 軸于 N AO 2 A 2 0 OA CN BD BD 根據等底 BD BD 等高的三角形面積相等得出 S ABD S CBD 3 證明 在 BD 上截取 BF AE 連 AF BAO CAM ABF CAE 在 ABF 和 ACE 中 ABF CAE SAS AF CE ACE BAF 45 BAC 90 FAD 45 ECD 在 AFD 和 CED 中 AFD CED SAS DE DF BD AE DE 2014 2015 期末沖刺 八年級數學 難點突破 三 答案 學而思中考研究中心出品 4 歡迎加入八年級數物英期末備戰群 365089092 288536025 二 腳拉腳中的中線倍長 例題 例題 2 2 考點 全等三角形的判定與性質 直角三角形斜邊上的中線 等腰直角三角形 菁優網版權所有 分析 1 根據等腰直角三角形的性質得出 ACB BAC 45 ADE EBC EDC 90 推出 BM DM BM CM DM CM 推出 BCM MBC ACM MDC 求出 BMD 2 BCM 2 ACM 2 BCA 90 即可 2 延長 ED 交 AC 于 F 求出 DM FC DM FC DEM NCM 根據 ASA 推 出 EDM CNM 推出 DM BM 即可 3 過點 C 作 CF ED 與 DM 的延長線交于點 F 連接 BF 推出 MDE MFC 求出 DM FM DE FC 作 AN EC 于點 N 證 BCF BAD 推出 BF BD DBA CBF 求出 DBF 90 即可得出答案 解答 1 證明 ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形 ACB BAC 45 ADE EBC EDC 90 點 M 為 BC 的中點 BM EC DM EC BM DM BM CM DM CM BCM MBC DCM MDC BME BCM MBC 2 BCE 同理 DME 2 ACM BMD 2 BCM 2 ACM 2 BCA 2 45 90 BMD 是等腰直角三角形 2 解 如圖 2 BDM 是等腰直角三角形 理由是 延長 ED 交 AC 于 F ADE 和 ABC 是等腰直角三角形 BAC EAD 45 AD ED ED DF M 為 EC 中點 EM MC DM FC DM FC BDN BND BAC 45 2014 2015 期末沖刺 八年級數學 難點突破 三 答案 學而思中考研究中心出品 5 歡迎加入八年級數物英期末備戰群 365089092 ED AB BC AB ED BC DEM NCM 在 EDM 和 CNM 中 EDM CNM ASA DM MN BM DN BMD 是等腰直角三角形 3 BDM 是等腰直角三角形 理由是 過點 C 作 CF ED 與 DM 的延長線交于點 F 連接 BF 可證得 MDE MFC DM FM DE FC AD ED FC 作 AN EC 于點 N 由已知 ADE 90 ABC 90 可證得 DEN DAN NAB BCM CF ED DEN FCM BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD BCF BAD BF BD DBA CBF DBF DBA ABF CBF ABF ABC 90 DBF 是等腰直角三角形 點 M 是 DF 的中點 則 BMD 是等腰直角三角形 練 練 2 2 考點 旋轉的性質 全等三角形的判定與性質 等腰直角三角形 正方形的性質 菁優網版權所有 專題 幾何綜合題 分析 1 首先證明 B E D 三點共線 根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 即可證明 EG DG GF CG 得到 EGF 2 EDG CGF 2 CDG 從而證得 EGC 90 2 首先證明 FEG DHG 然后證明 ECH 為等腰直角三角形 可以證得 EG CG 且 EG CG 3 首先證明 BEC FEH 即可證得 ECH 為等腰直角三角形 從而得到 2014 2015 期末沖刺 八年級數學 難點突破 三 答案 學而思中考研究中心出品 6 歡迎加入八年級數物英期末備戰群 365089092 288536025 EG CG 且 EG CG 解答 解 1 EG CG 且 EG CG 證明如下 如圖 連接 BD 正方形 ABCD 和等腰 Rt BEF EBF DBC 45 B E D 三點共線 DEF 90 G 為 DF 的中點 DCB 90 EG DG GF CG EGF 2 EDG CGF 2 CDG EGF CGF 2 EDC 90 即 EGC 90 EG CG 2 仍然成立 證明如下 如圖 延長 EG 交 CD 于點 H BE EF EF CD 1 2 又 3 4 FG DG FEG DHG EF DH EG GH BEF 為等腰直角三角形 BE EF BE DH CD BC CE CH ECH 為等腰直角三角形 又 EG GH EG CG 且 EG CG 3 仍然成立 證明如下 如圖 延長 CG 至 H 使 GH CG 連接 HF 交 BC 于 M 連接 EH EC GF GD HGF CGD HG CG HFG CDG HF CD GHF GCD HF CD 正方形 ABCD HF BC HF BC BEF 是等腰直角三角形 BE EF EBC HFE BEC FEH HE EC BEC FEH BEF HEC 90 ECH 為等腰直角三角形 又 CG GH EG CG 且 EG CG 2014 2015 期末沖刺 八年級數學 難點突破 三 答案 學而思中考研究中心出品 7 歡迎加入八年級數物英期末備戰群 365089092 三 等腰 RT 中的特殊全等 例題 例題 3 3 考點 全等三角形的判定與性質 坐標與圖形性質 等腰直角三角形 菁優網版權所有 分析 1 根據非負數的性質即可求得 a b 的值 從而得到 AOB 是等腰直角三角形 據此即可求得 2 根據等腰三角形的性質以及三角形的外角的性質可以得到 POC DPE 即可 證得 POC DPE 則 OC PE OC 的長度根據等腰直角三角形的性質可以求得 3 利用等腰三角形的性質 以及外角的性質證得 POC DPE 即可證得 POC DPE 根據全等三角形的對應邊相等 即可求得 OD 的長 從而求得 D 的 坐標 解答 解 1 根據題意得 解得 a b 3 OA OB 又 AOB 90 AOB 為等腰直角三角形 OAB 45 2 PE 的值不變 理由如下 AOB 為等腰直角三角形 且 AC BC AOC BOC 45 又 OC AB 于 C PO PD POD PDO 又 POD 45 POC PDO 45 DPE POC DPE 在 POC 和 DPE 中 POC DPE 2014 2015 期末沖刺 八年級數學 難點突破 三 答案 學而思中考研究中心出品 8 歡迎加入八年級數物英期末備戰群 365089092 288536025 OC PE 又 PE 3 3 OP PD POD PDO 67 5 則 PDA 180 PDO 180 67 5 112 5 POD A APD APD 67 5 45 22 5 BPO 180 OPD APD 112 5 PDA BPO 則在 POB 和 DPA 中 POB DPA PA OA 3 DA PB 6 3 OD OA DA 3 6 3 6 6 練 練 3 3 考點 全等三角形的判定與性質 勾股定理的應用 菁優網版權所有 專題 計算題 分析 1 根據平方根和平方數均 0 可解題 2 OA OB 即可判定 AOB 為等腰直角三角形 3 在平面直角坐標系中求出點 D N 的坐標即可求得 DN 的長度 即可解題 解答 解 1 3 b 2 0 a b 3 A 3 0 B 0 3 2 OA OB 3 AOB 90 AOB 為等腰直角三角形 OBA 45 3 直線 AB 解析式為 y x 3 設 D 點坐標 a 3 a 則 M 點坐標為 2a 0 直線 MN AB 且過 M 點 直線 MN 的坐標為 y x 2a N 點坐標為 a a 2014 2015 期末沖刺 八年級數學 難點突破 三 答案 學而思中考研究中心出品 9 歡迎加入八年級數物英期末備戰群 365089092 DN2 DN AB 3 AB 2DN 四 平行構造全等 例 例 4 4 考點 等邊三角形的性質 全等三角形的判定與性質 菁優網版權所有 分析 1 首先在 AC 上截取 CM CD 由 ABC 為等邊三角形 易得 CDM 是等邊三角 形 繼而可證得 ADM EDC 即可得 AM EC 則可證得 CA CD CE 2 首先在 AC 延長線上截取 CM CD 由 ABC 為等邊三角形 易得 CDM 是等 邊三角形 繼而可證得 ADM EDC 即可得 AM EC 則可證得 CA CE CD 解答 證明 1 在 AC 上截取 CM CD ABC 是等邊三角形 ACB 60 CDM 是等邊三角形 MD CD CM CMD CDM 60 AMD 120 ADE 60 ADE MDC ADM EDC DE 與 ACB 的外角平分線交于點 E ACE 60 DCE 120 AMD 在 ADM 和 EDC 中 ADM EDC ASA AM EC CA CM AM CD CE 2 CA CE CD 證明 在 AC 的延長線上截取 CM CD ABC 是等邊三角形 ACB 60 DCM 60 CDM 是等邊三角形 2014 2015 期末沖刺 八年級數學 難點突破 三 答案 學而思中考研究中心出品 10 歡迎加入八年級數物英期末備戰群 365089092 288536025 MD CD CM CMD CDM 60 DE 與 ACB 的外角平分線交于點 E ACE DCE 60 ECD AMD ADE 60 ADE CDM ADM EDC 在 ADM 和 EDC 中 ADM EDC ASA AM EC CA AM CM CE CD 練 練 4 4 考點 全等三角形的判定與性質 菁優網版權所有 分析 1 在 AB 上取一點 M 使 BM BD 連接 MD 則 BDM 是等邊三角形 則易證 AM DC 根據 ASA 即可證得 AMD DCE ASA 根據全等三角形的對應邊相 等 即可證得 2 延長 CA 到 M 使 AM BD 與 1 相同 可證 CDM 是等邊三角形 然后 證明 AMD ECD ASA 根據全等三角形的對應邊相等 即可證得 解答 1 證明 如圖 在 AB 上取一點 M 使 BM BD 連接 MD ABC 是等邊三角形 B 60 BA BC BMD 是等