數(shù)學概念課 公式課課型教學模式及評價標準 什么是概念 概念是同類事物的本質特征的反映 概念既是存在于人腦知識結構的一種知識內容 又是主體所進行的一種認知加工過程 數(shù)學概念是導出全部數(shù)學定理 法則的邏輯基礎 數(shù)學概念是相互聯(lián)系 由簡到繁所形成的學科體系 數(shù)學概念不僅是建立理論系統(tǒng)的中心環(huán)節(jié) 同時也是提高解決問題的前提 因此 概念教學是數(shù)學基礎知識和基本技能教學的核心 數(shù)學概念課型的特點 1 它是以 事實學習 為中心內容的課型 該課型體現(xiàn)學生的學習活動是在進行 代表學習 和 概念學習 通過 概念學習 把作為新知識中的概念 正確地初步地轉化為學生自身認知結構的概念體系里的概念 通過 代表學習 對概念的文字 語言敘述或概念的定義能初步理解 掌握這些數(shù)學概念所對應的數(shù)學符號及這些符號的書寫 使用方法 初步了解由這些數(shù)學符號組成的語言含義 并能初步把它轉譯成一般語言 2 教師應通過各種數(shù)學形式 手段 把主要的力量 最佳的教學時間用在揭示和概括研究對象本質屬性的過程上 引導學生把握準某類事物的共同屬性的關鍵特征 解決好概念的 內涵 與 外延 的認識和理解 3 概念課應注意直觀教學 讓學生了解研究對象 多采用語言直觀 教具直觀 情境直觀 電化直觀等教學手段 引導學生從具體到抽象 經(jīng)概括和整理之后形成新的概念 或從舊概念的發(fā)展中形成新概念 4 概念課應解決學生 概念學習 中的幾個問題 對每一個數(shù)學概念 都應該準確地給它下定義 對一些基本 原始 概念 不宜定義的也應給予清晰準確的 描述 通過給概念下定義的教學 讓學生從定義的表達形式及邏輯思維中去領會該事物與其它事物的根本區(qū)別 并注意對同一概念的下定義的不同方案 從而深化對概念的理解 對概念 定義 的理解必須克服形式主義 課內應通過大量的正 反實例 變式等 反復地讓學生進行分析 比較 鑒別 歸納 使之與鄰近概念不至混淆 并要解決好新舊概念的相互干擾 概念教學還必須認真解決 語言文字 與 數(shù)學符號 式子 之間的互譯問題 為以后在數(shù) 式運算中應用數(shù)學概念指導運算打下基礎 使學生把代表某一概念的數(shù)學符號與概念內涵直接掛鉤 克服學生普遍存在的 學數(shù)學只管計算 何必花時間學概念 之類的錯誤認識 重視概念課教學的啟發(fā)性和藝術性 重視創(chuàng)設情境 激發(fā)學習興趣 引導學生對概念學習的高度重視 同時應采用多種形式的訓練 如選擇答案 填空 變式等 從多個側面去加深對概念的理解與應用 教師教學行為 概念課教學應遵循學生認知心理規(guī)律的四個發(fā)展層次 感覺 知覺 觀念 表象 概念 教學的各個環(huán)節(jié)安排應有利于這認知心理規(guī)律的四種形態(tài)的發(fā)展和不同層次的認知需要 課堂教學流程圖大致為 創(chuàng)設情境 引入課題 歸納探索 形成概念 概念應用 鞏固延展 歸納小結 提高認識 教學控制框圖 學生學習行為 1 學會觀察 歸納 通過觀察發(fā)現(xiàn)共性的東西 2 注意理解所學概念的來龍去脈 這個概念討論的對象是什么 有何背景 有哪些限制條件 哪些特殊規(guī)定 學習這個概念有什么意義 3 除老師及教材所下的定義外 試試能否用自己的語言來表述 注意有沒有其他等價的說法 為什么等價 應用時應如何處理這個等價轉換 4 相應的符號能否記牢 符號的讀法 表示法會不會 概念的名稱 進行表述時的術語有什么特點 5 根據(jù)概念中的條件和規(guī)定 可以歸納出哪些基本的性質 這些性質又分別由概念中的哪些因素 或條件 所決定 它們在應用中起什么作用 能否派生出一些數(shù)學思想方法 6 回憶過去學過的概念中 有沒有相近 相似 容易混淆的地方 它們與過去學過的概念有什么聯(lián)系 注意它們之間的區(qū)別 應當如何強調這些區(qū)別 7 根據(jù)所理解的定義 舉出實際的例子 課堂教學 1 全面了解教材的體系 把握好概念教學的層次2 在體驗數(shù)學概念產(chǎn)生的過程中認識概念 2 1創(chuàng)設情境 激發(fā)興趣2 2給出模型 感性引入 3 依托教材 落實雙基 3 1重視教材 提倡 咬文嚼字 避免 概念不清 反對強記硬背3 2加強對表示概念的數(shù)學符號的理解3 3在挖掘新概念的內涵與外延的基礎上理解概念3 4在尋找新舊概念之間聯(lián)系的基礎上掌握概念 4 采用多種方法鞏固概念 4 1在運用數(shù)學概念解決問題的過程中鞏固概念4 2承前啟后 鞏固概念4 3系統(tǒng)歸類 鞏固概念4 4指導編碼 鞏固概念 5 創(chuàng)新教學方法 改善課堂結構 5 1挖掘原型 提出問題5 2揭示本質 培養(yǎng)直覺思維能力5 3聚焦信息 培養(yǎng)概括能力5 4利用多媒體設備 進行直觀演示和過程模擬 培養(yǎng)學生抽象思維能力 6 客觀評價 快速反饋 6 1察言觀色 及時調控6 2客觀評價 激勵士氣 案例分析 課題 函數(shù)的單調性 教學目標 1 知識目標 使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調性的概念 初步掌握利用函數(shù)圖象和定義判斷 證明函數(shù)單調性的方法 2 能力目標 通過對函數(shù)單調性定義的探究 滲透數(shù)形結合的思想方法 培養(yǎng)學生觀察 歸納 抽象的能力和語言表達能力 通過對函數(shù)單調性的證明 提高學生的推理論證能力 3 情感目標 通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察 認真分析 嚴謹論證的良好思維習慣 讓學生感知從具體到抽象 從特殊到一般 從感性到理性的認知過程 教學重點 函數(shù)單調性的概念 判斷及證明 教學難點 根據(jù)定義證明函數(shù)的單調性 教學方法 教師啟發(fā)講授 學生探究學習 教學手段 多媒體 投影儀 教學過程 一 創(chuàng)設情境 引入課題 為了預測北京奧運會開幕式當天的天氣情況 數(shù)學興趣小組研究了2004年到2007年每年這一天的天氣情況 下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖 引導學生識圖 捕捉信息 啟發(fā)學生思考 問題 觀察圖形 能得到什么信息 預案 1 當天的最高溫度 最低溫度以及達到的時刻 2 在某時刻的溫度 3 某些時段溫度升高 某些時段溫度降低 教師指出 在生活中 我們關心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律 了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律 對我們的生活是很有幫助的 問題 還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎 預案 水位高低 降雨量 燃油價格 股票價格等 歸納 用函數(shù)觀點看 其實這些例子反映的就是隨著自變量的變化 函數(shù)值是變大還是變小 設計意圖 由生活情境引入新課 激發(fā)興趣 二 歸納探索 形成概念 對于自變量變化時 函數(shù)值是變大還是變小 是函數(shù)的重要性質 稱為函數(shù)的單調性 同學們在初中對函數(shù)的這種性質就有了一定的認識 但是沒有嚴格的定義 今天我們的任務首先就是建立函數(shù)單調性的嚴格定義 1 借助圖象 直觀感知2 抽象思維 形成概念 三 掌握證法 適當延展 例1 四 歸納小結 提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會 收獲 交流學習過程中的體驗和感受 師生合作共同完成小結 1 小結 1 概念探究過程 直觀到抽象 特殊到一般 感性到理性 2 證明方法和步驟 設元 作差 變形 斷號 定論 3 數(shù)學思想方法 數(shù)形結合 2 作業(yè)書面作業(yè) 課本第46頁練習a第3 5題 課后探究 研究函數(shù)的單調性 函數(shù)的單調性 教學設計說明 一 教學內容的分析函數(shù)的單調性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質 是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念 為進一步學習函數(shù)其他性質提供了方法依據(jù) 對于函數(shù)單調性 學生的認知困難主要在兩個方面 1 用準確的數(shù)學符號語言刻畫圖象的上升與下降 這種由形到數(shù)的翻譯 從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的 2 單調性的證明是學生在函數(shù)內容中首次接觸到的代數(shù)論證內容 而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的 根據(jù)以上的分析和教學大綱的要求 確定了本節(jié)課的重點和難點 二 教學目標的確定根據(jù)本課教材的特點 教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平 從三個不同的方面確定了教學目標 重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識 強調判斷 證明函數(shù)單調性的方法的落實以及數(shù)形結合思想的滲透 突出語言表達能力 推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成 三 教學方法和教學手段的選擇本節(jié)課是函數(shù)單調性的起始課 采用教師啟發(fā)引導 學生探究學習的教學方法 通過創(chuàng)設情境 引導探究 師生交流 最終形成概念 獲得方法 本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學 為學生提供直觀感性的材料 有助于學生對問題的理解和認識 四 教學過程的設計為達到本節(jié)課的教學目標 突出重點 突破難點 教學上采取了以下的措施 1 在探索概念階段 讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象 從特殊到一般 從感性到理性的認知過程 完成對函數(shù)單調性定義的三次認識 使得學生對概念的認識不斷深入 2 在應用概念階段 通過對證明過程的分析 幫助學生掌握用定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟 3 考慮到部分學生數(shù)學基礎較好 思維較為活躍的特點 對判斷方法進行適當?shù)难诱?加深對定義的理解 同時也為用導數(shù)研究函數(shù)單調性埋下伏筆 教學評價設計 學生學習綜合評價表教師自我反思評價表 數(shù)學公式課 數(shù)學公式是用符號 字母 運算符號 表示的量與量之間關系 定律或定理 的式子 數(shù)學公式可分為恒等變換型和函數(shù)方程型兩大類 目前中學階段經(jīng)常用的平方差公式 立方差公式 指數(shù)運算 對數(shù)運算 誘導公式等屬于恒等變換型 立體幾何中的表面積 體積公式 向量中的坐標運算公式 向量的內積 數(shù)列的通項 求和公式 斜率 三角變換公式等屬于函數(shù)方程類的 一 課型特點 該課型應體現(xiàn)學生的學習活動是在進行 命題學習 通過 命題學習 進一步了解概念與概念之間的內在聯(lián)系及其演繹規(guī)律 掌握幾個概念之間所存在某些定律或聯(lián)系法則 二 教師教學行為 1 上好一節(jié)公式課 應體現(xiàn)該課型一般的課堂結構 引入 觀察 歸納猜想 證明 課堂結構 2 公式課的教學應遵循以下兩個規(guī)律 一是以一般的原理為前提 推求到某個特殊場合作出新的結論的演繹推理規(guī)律 二是以若干特殊場合中的情況為前提 推求到一個一般的原理原則作為結論的歸納推理規(guī)律 3 公式課遵循如下的 教學控制框圖 數(shù)學教材中的公式是一個知識體系 在公式課教學中 應抓住本節(jié)所講的公式在體系中的 最近發(fā)展區(qū) 尋根問源 以舊知識為基礎創(chuàng)設問題情境 由此導出和啟發(fā)學生理解新的公式 片斷 兩角和與差的余弦 三 學生學習行為 1 注意命題提出的背景和條件 思考將會產(chǎn)生的結論 大膽猜想 并用語言表達出來 2 敢于動腦 動手去探求驗證或演繹證明 3 認真聽取老師和同學的分析思路 和自己的論證設想作比較 敢于爭論 并汲取最優(yōu)者 4 弄懂推理論證過程中所涉及的數(shù)學思想 方法及特殊技巧 5 理解公式的規(guī)定條件 結論及適用范圍和功能 以典型圖形表格等幫助記憶 6 對數(shù)學公式中各部分符號的含義應深刻理解 知道各部分間的內在聯(lián)系 學會公式的變形 四 課堂教學 一 公式教學應達到的目的 1 使學生學到研究問題 發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法 提高學生的創(chuàng)新意識與能力 同時激發(fā)學生的成就感 2 有計劃地進行數(shù)學的思想方法的滲透 提高學生的數(shù)學素養(yǎng) 提高分析問題和解決問題的能力 3 讓學生準確地掌握公式 深刻理解公式的條件 適用的范圍 作用以及公式的各種變形 二 教學要點 1 公式課應通過各種有效的教學手段 把主要的精力和時間用在公式推導 證明的全過程上 讓學生記住某一個公式并非命題課的最終目的 命題課要達到的教學目的是 揭示公式的來龍去脈 揭示其推導 論證中所用的有代表性的數(shù)學思想 思維方法和典型的數(shù)學技能技巧 交待清楚公式適應的范圍及成立的特定條件 理解由某一條件下所得出的必然結論 2 公式課應讓學生準確地掌握命題的條件部分和結論部份 了解公式中諸條件的性質和作用 掌握公式變形的各種形式 3 值得注意的問題 培養(yǎng)學生從實際事物中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題 或從已有的數(shù)學知識中提出新的數(shù)學問題的創(chuàng)造性思維能力 逐步提高學生從實際 或舊知識 中 類比猜想 歸納概括 以及 推理論證 最后得出 結論 的從感性到理性的抽象思維能力 克服 只重視結論及結論的套用 不重視推導過程 的命題學習心理 以及克服 只強調死記結論 不重視知識形成過程 的急功近利的 結論式 的命題教學心理 要解決好對公式的記憶方法問題 可在理解記憶 口訣記憶 形象 圖形 記憶 表格記憶 類比記憶 邏輯記憶 分類記憶這些記憶方法中 引導學生選取自己適用的記憶方法 與學習上的遺忘作斗爭 解決好公式 法則等數(shù)學原理從文字到數(shù)式之間的互譯 三 公式課教學的一般過程 1 第一階段 創(chuàng)設情境 要求教師根據(jù)教材的特點 找準知識的生長點 精心設計問題 根據(jù)不同的教學內容 設計的問題可以是實際問題也可以是數(shù)學問題 或模型演示 通過具有啟發(fā)性 探索性和開放性的問題 引起學生的認知沖突 激發(fā)探究興趣 同時 課堂教學的始終 教師都要創(chuàng)設有利于學生自主活動 進行數(shù)學思考的良好氛圍 創(chuàng)設平等 合作的教學情境 良好的教學情境 有利于學生積極主動地參與探究活動 2 第二階段 分析猜想 公式課的教學 不能只滿足于公式的證明與應用 而應鼓勵學生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn) 去猜想 去探索它們的發(fā)現(xiàn)過程 這一環(huán)節(jié)要充分發(fā)揮學生的主動性 引導學生通過實驗 觀察 運用類比 聯(lián)想 歸納 綜合等方法去探索 去研究 在學生的主動參與中 使問題逐步得到解決 在問題解決的過程中 引導學生不斷猜想 不斷發(fā)現(xiàn)新問題 獲得新知識 新方法 教師可以根據(jù)不同的教學內容 引導學生去猜想結論 猜想規(guī)律 猜想策略 猜想的一般方法有 1 觀察 實驗 猜想 2 類比 聯(lián)想 猜想 3 分析 歸納 猜想 在實際教學中 學生的猜想難免會有錯誤 教師的任務是引導學生大膽嘗試 最終得到有價值的猜想 案例1 觀察 實驗 猜想 問題 對比柱體體積公式的推導及結論 猜想一下錐體體積是否具有相似的結論 案例2 類比 聯(lián)想 猜想 與三棱柱相對照 請猜想三棱錐體積公式 定理二 如果三棱錐的底面積是s 高是h 那么它的體積是v三棱錐 sh c b 把三棱錐1以 abc為底面 aa1為側棱補成一個三棱柱 定理二 如果三棱錐的底面積是s 高是h 那么它的體積是v三棱錐 sh 連接b c 然后把這個三棱柱分割成三個三棱錐 就是三棱錐1和另兩個三棱錐2 3 定理二 如果三棱錐的底面積是s 高是h 那么它的體積是v三棱錐 sh 就是三棱錐1和另兩個三棱錐2 3 定理二 如果三棱錐的底面積是s 高是h 那么它的體積是v三棱錐 sh 定理二 如果三棱錐的底面積是s 高是h 那么它的體積是v三棱錐 sh 定理二 如果三棱錐的底面積是s 高是h 那么它的體積是v三棱錐 sh 定理二 如果三棱錐的底面積是s 高是h 那么它的體積是v三棱錐 sh v1 v2 v3 v三棱錐 案例3 分析 歸納 猜想 例如在進行 余弦定理 的教學時 教師可設計如下探索性問題 3 第三階段 論證評價 在這一環(huán)節(jié)中 教師要引導學生對自己的猜想進行評價 去驗證自己結論的合理性 并給出嚴格的邏輯證明 應鼓勵學生盡可能用自己的方式和方法完成證明 而不是完全模仿他人的證法 在學生經(jīng)過探究 找到思路之后 不要急于證明和應用 要給學生提供一個展示思維過程的機會 講出自己的思路 并反思自己的思路是怎樣想到的 使更多的同學受到啟發(fā) 相互借鑒 并討論能不能用別的方法來證明促使學生思路發(fā)散 完成證明之后 還要引導學生進行理性歸納 分析它和以前學過的某些公式有何本質的聯(lián)系 把新定理 公式納入知識體系中 4 第四階段 推廣應用 公式的運用是必不可少的一環(huán) 前面三個環(huán)節(jié)是從實際問題出發(fā) 經(jīng)過分析探究 逐步形成理論 而這一環(huán)節(jié)則是運用理論來指導實踐 讓學生學會用數(shù)學知識解決實際問題 這正體現(xiàn)了 實踐 理論 實踐 的哲學思想 在這一環(huán)節(jié)中 教師的作用是引導學生分析定理公式的特點 適用于解決哪些類型的問題 應用時有哪些注意事項 完成基礎知識和基本方法的運用 變式推廣 則要根據(jù)教材特點和學生的實際情況 適當加強或削弱公式的條件 看看能得到什么有益的結論 通過這一環(huán)節(jié) 引導學生進行反思小結 對知識進行整理 規(guī)律進行總結 思想方法進行提煉 最終形成自己的觀點 公式課的教學加強了創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng) 在整體結構上突出了 猜想 與 證明 兩大環(huán)節(jié) 而這正是數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的基本策略和途徑 這兩個環(huán)節(jié)與其他環(huán)節(jié)有機結合 共同承擔了對學生形象思維 直覺思維 邏輯思維的訓練與培養(yǎng) 對學生創(chuàng)新思維和能力的培養(yǎng)具有十分突出的作用 公式課案例分析 等比數(shù)列的前項和 第一課時 一 教材分析 從教材的編寫順序上來看 等比數(shù)列的前n項和是 數(shù)列 第六節(jié)的內容 它是 等差數(shù)列的前n項和 與 等比數(shù)列 內容的延續(xù) 與前面學習的函數(shù)等知識也有著密切的聯(lián)系 就知識的應用價值上來看 它是從大量數(shù)學問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型 在公式推導中所蘊涵的數(shù)學思想方法 如分類討論等在各種數(shù)列求和問題中有著廣泛的應用 另外它在如 分期付款 等實際問題的計算中也經(jīng)常涉及到 就內容的人文價值上來看 等比數(shù)列的前n項和公式的探究與推導需要學生觀察 分析 歸納 猜想 有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和探索精神 是培養(yǎng)學生應用意識和數(shù)學能力的良好載體 教師教學用書安排 等比數(shù)列的前n項和 這部分內容授課時間2課時 本節(jié)課作為第一課時 重在研究等比數(shù)列的前n項和公式的推導及簡單應用 教學中注重公式的形成推導過程并充分揭示公式的結構特征和內在聯(lián)系 二 教學目標 依據(jù)課程標準 結合學生的認知水平 確定本節(jié)課的教學目標如下 1 知識與技能目標 理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導方法 掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題 2 過程與方法目標 通過公式的推導過程 提高學生的建模意識及探究問題 分析與解決問題的能力 體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法 滲透方程思想 分類討論思想及轉化思想 優(yōu)化思維品質 3 情感與態(tài)度目標 通過經(jīng)歷對公式的探索 激發(fā)學生的求知欲 鼓勵學生大膽嘗試 勇于探索 敢于創(chuàng)新 磨練思維品質 從中獲得成功的體驗 感受思維的奇異美 結構的對稱美 形式的簡潔美 數(shù)學的嚴謹美 三 教學重點和難點 重點 等比數(shù)列的前項和公式的推導及其簡單應用 從教材體系來看 它為后繼學習提供了知識基礎 具有承上啟下的作用 從知識特點而言 蘊涵豐富的思想方法 就能力培養(yǎng)來看 通過公式推導教學可培養(yǎng)學生的運用數(shù)學語言交流表達的能力 突出重點方法 抓三線 突重點 即 一 知識技能線 問題情境 公式推導 公式運用 二 過程與方法線 特殊到一般 猜想歸納 錯位相減法等 轉化 方程思想 三 能力線 觀察能力 數(shù)學思想解決問題能力 靈活運用能力及嚴謹態(tài)度 難點 等比數(shù)列的前項和公式的推導 從學生認知水平來看 學生的探究能力和用數(shù)學語言交流的能力還有待提高 從知識本身特點來看 等比數(shù)列前n項和公式的推導方法和等差數(shù)列的的前n項和公式的推導方法可比性低 無法用類比的方法進行 它需要對等比數(shù)列的概念和性質能充分理解并融會貫通 而知識的整合對學生來說恰又是比較困難的 而且錯位相減法是第一次碰到 對學生來說是個新鮮事物 突破難點手段 抓兩點 破難點 即一抓學生情感和思維的興奮點 激發(fā)他們的興趣 鼓勵學生大膽猜想 積極探索 及時地給以鼓勵 使他們知難而進 二抓知識選擇的切入點 從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手 教師在學生主體下給予適當?shù)奶崾竞椭笇?四 教學方法