【知識點回顧】軸對稱：一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就 說這兩個圖形關于這條直線對稱。這條直線叫作對稱軸，兩個圖形中的對應 點叫做對稱點。軸對稱的性質：1、關于軸對稱的圖形全等。 2、如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線。線段垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等線段垂直平分線的判定：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。等腰三角形的性質 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等 腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。等腰三角形 是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形；等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫 成“等角對等邊”。） 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等 于斜邊的一半【典型例題】 例1. 如圖，中，BD平分。求證：。 分析：從要證明的結論出發，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發，通過角度計算可以得出。 證明：在BC上截取，連結DE、DF 在和中， 又 而 即【隨堂作業】1、下列圖形中，不是軸對稱圖形的是 （ ）A有兩個內角相等的三角形 B. 有一個內角是45直角三角形C. 有一個內角是30的直角三角形 D. 有兩個角分別是30和120的三角形2、下列說法中正確的是 （ ） 角平分線上任意一點到角的兩邊的線段長相等 角是軸對稱圖形 線段不是軸對稱圖形 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等 A. B. C. D.3、小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示 實際時間是 （ ） A21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：014、下列推理中，錯誤的是 () AABC ， ABC是等邊三角形 BABAC，且BC， ABC是等邊三角形 CA60，B60，ABC是等邊三角形 DABAC，B60，ABC是等邊三角形5、等腰三角形兩邊的長分別為2cm和5cm，則這個三角形的周長是 () A9cmB12cm C9cm和12cmD在9cm與12cm之間6、若等腰三角形的一個外角為130，則它的底角為_ .7、如圖，是等邊三角形，則的度數是_8、 如圖，在等腰三角形中，點是底邊上一個動點， 分別是的中點，若的最小值為2，則的周長 是（ ）ABCD9、 在等邊三角形ABC中，CD是ACB的平分線，過D作DEBC交AC于E，若 ABC的邊長為a，則ADE的周長為 () A2a B C15a Da10、 如圖，在中，點為的中點， 于點，則等于（ C ） ABCD 11、 如圖7111，在RtABC中，B為直角，DE是AC的垂直平分線，E在BC 上，BAE：BAC1：5，則C_.12、 如圖7112，BAC30，AM是BAC的平分線，過M作MEBA交AC于 E，作MDBA，垂足為D，ME10cm，則MD_.13、 已知：如圖7120，等腰直角三角形ABC中，A90，D為BC中點，E、 F分別為AB、AC上的點，且滿足EACF求證：DEDF14、已知：如圖ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點H，且AE=BE，求證：AH=2BD 【課后作業】PAECBD1、如圖：等邊三角形ABC中，BDCE，AD與BE相交于點P，則APE的度數是（）A45B55 C60D752、 等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩 部分的差為3cm，則腰長為（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不對3、 如圖，ABC中，ABAC，A36，BD、CE分別為ABC與ACB 的角平分線，且相交于點F，則圖中的等腰三角形有（ ） A. 6個 B. 7個 C. 8個 D. 9個 4、如圖,MPN25,又PAABBCCD,則DCM_度。5、 已知：在ABC中,A=20,D為AB上一點,AD=DC,且 ACDBCD=23,則 ABC=_6、等邊ABC中，點P在ABC內，點Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，問APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結論ACBQP7、 已知：如圖，AD平分BAC，EF垂直平分AD交BC延長線于F，連結AF 求證： B=CAF.ABDFEC8、 如圖，ABC中，ABC=2C，AD是BC邊上的高，B到點E，使BE=BD 求證：AF=FC一、 選擇題（每小題3分，共30分）1下列圖案中是軸對稱圖形的是( )2以下四個圖形中對稱軸條數最多的一個圖形是( )3到三角形的三個頂點距離相等的點是()A三條角平分線的交點 B三條中線的交點C三條高的交點 D三條邊的垂直平分線的交點 4已知點P在線段AB的中垂線上，點Q在線段AB的中垂線外，則()APAPBQAQBBPAPBQAQB CPAPBQAQB D不能確定 5等腰三角形的一個外角等于100，則與它不相鄰的兩個內角的度數分別為()A40，40B80，20C50，50D50，50或80，20 6下列說法：等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；等腰三角形的兩腰上的中線長相等；等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；等腰三角形的一邊長為8，一邊長為16，那么它的周長是32或40其中不正確的個數是()A1B2C3D4 7在ABC中，ABAC，BD平分ABC，若BDC75，則A的度數為()A30B40C45D608在等腰三角形ABC中，ABAC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為()A7B11C7或11D7或10 9如圖，在ABC中，ACADBD，DAC80，則B的度數是( ) A40B35C25D20 10如圖，直線l是一條河，P，Q兩地相距8km，P，Q兩地到l的距離分別為2km，5km，欲在l上的某點M處修建一個水泵站，向P，Q兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則鋪設的管道最短的是( )二、 填空題（每小題3分，共24分）11粗圓體的漢字“口”“天”等都是軸對稱圖形，請再寫出至少三個以上這樣的漢字_12如圖，ABC中，DE垂直平分AC，與AC交于點E，與BC交于點D，C15，BAD60，則ABC是_三角形13等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為20，則其頂角的大小為_14如圖，已知ABC中，ABAC，AB邊上的垂直平分線DE交AC于點E，D為垂足，若ABE：EBC2：1，則A_ 15在ABC中，ABAC，A36，角平分線BE與CD相交于點F，如果不添加其他線和字母，那么圖中等腰三角形有_個 16如圖，AD是ABC的中線，ADC60，BC4，把ADC沿直線AD折疊后，點C落在C的位置上，那么BC的長為_ 17如圖，在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分線，點E是AD的任一點，若ABC的面積為12cm，則圖中陰影部分的面積是_cm18ABC是等邊三角形，點D是BC邊上的任意一點，DEAB于點E，DFAC于點F，BNAC于點N，則DE，DF，BN三者的數量關系為_三、解答題（共46分）19（6分）（2013鹽城）如圖是3x3正方形方格，將其中兩個方格涂黑，并且使涂黑后的整個圖案是軸對稱圖形，約定繞正方形ABCD的中心旋轉能重合的圖案都視為同一種圖案，例如圖中的四幅圖就視為同一種圖案，則得到的不同圖案共有幾種？20（6分）已知：如圖，BCE、ACD分別是以BE、AD為斜邊的直角三角形，且BEAD，CDE是等邊三角形求證：ABC是等邊三角形 答案：考點精練 182.5 230a 3220 4105 5368 67秒或25秒 7（2，-2） 810 9D 10B 11B 12B 137cm或11cm 14關系：DE=DB，CD=CE，E=EDC，又ACB=60，E=30，又DBC=30，E=DBC，DB=DE 15（1）或 （2）已知求證ABC是等腰三角形證：先證EBODCO得OB=OC，得DBC=ECBABC=ACB即ABC是等腰三角形 16（1）DEF是等邊三角形，提示證ADFBEDCFE即得DEF是等邊三角形 （2）AD=BE=CF成立證略【例題經典】根據等腰三角形的性質尋求規律例1在ABC中，AB=AC，1=ABC，2=ACB，BD與CE相交于點O，如圖，BOC的大小與A的大小有什么關系？若1=ABC，2=ACB，則BOC與A大小關系如何？若1=ABC，2=ACB，則BOC與A大小關系如何？【分析】在上述條件由特殊到一般的變化過程中，根據等腰三角形的性質，1=2，ABD=ACE，即可得到1=ABC，2=ACB時，BOC=90+A；1=ABC，2=ACB時，BOC=120+A；1=ABC，2=ACB時，BOC=180+A 【點評】在例1圖中，若AE=AB，AD=AC類似上題方法同樣可證得BD=CE上述規律仍然存在會用等腰三角形的判定和性質計算與證明例2如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長 【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15兩種情況討論利用等腰三角形的性質證線段相等例3（2006年常德市）如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連結PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ=60，且BQ=BP，連結CQ （1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由 【分析】（1）把ABP繞點B順時針旋轉60即可得到CBQ利用等邊三角形的性質證ABPCBQ，得到AP=CQ（2）連接PQ，則PBQ是等邊三角形PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，PQC是直角三角形 【點評】利用等邊三角形性質、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明【考點精練】一、基礎訓練1如圖1，在ABC中，AB=AC，A=50，BD為ABC的平分線，則BDC=_ （1） （2） （3）2如圖2，是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_3如圖3，一個頂角為40的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個四邊形，則1+2=_度4（2006年煙臺市）如圖4，在等腰直角ABC中，B=90，將ABC繞頂點A逆時針方向旋轉60后得到ABC，則BAC等于_ （4） （5） （6）5（2006年包頭市）如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工從AC上的一點B取ABD=135，BD=520米，D=45，如果要使A、C、E成一直線，那么開挖點E離D的距離約為_米（精確到1米）6（2006年諸暨市）等腰ABC的底邊BC=8cm，腰長AB=5cm，一動點P在底邊上從點B開始向點C以0.25cm/秒的速度運動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間應為_7如圖6，等邊ABC，B點在坐標原點，C點的坐標為（4，0），點A關于x軸對稱點A的坐標為_8（2006年江陰市）如圖7，在ABC中，AB=AC，BAD=20，且AE=AD，則CDE=_ （7） （8） （9）9（2005年常州市）如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44，CDAB于D，則DCB等于（ ） A44 B68 C46 D2210（2006年海南省）如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60角，若考慮既要符合設計要求，又要節省材料，則在庫存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（ ）AL1 BL2 CL3 DL411（2006年日照市）如圖10，在ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點，且BD=BC=AD則A等于（ ）A30 B36 C45 D72 （10） （11）12（2006年懷化市）同學們都玩過蹺蹺板的游戲如圖11所示，是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB當蹺蹺板的一頭A著地時，OAC=25，則當蹺蹺板的另一頭B著地時，AOA等于（ ） A25 B50 C60 D130二、能力提升13如圖，已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15cm兩部分，求它的底邊長14已知如圖ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E使CE=CD試判斷DB與DE之間的