3 2 1常數與冪函數的導數3 2 2導數公式表 學習目標 題型探究 知識梳理 內容索引 當堂訓練 知識梳理 知識點一常數與冪函數的導數 0 1 2x 知識點二基本初等函數的導數公式表 0 uxu 1 cosx sinx axlna ex 題型探究 類型一利用導數公式求函數的導數 例1求下列函數的導數 1 y x12 解答 y x12 12x12 1 12x11 解答 解答 解答 解答 y 3x 3xln3 6 y 3x 解答 若題目中所給出的函數解析式不符合導數公式 需通過恒等變換對解析式進行化簡或變形后求導 如根式化成指數冪的形式求導 反思與感悟 3 答案 解析 因為 cosx sinx 所以 錯誤 因為 2ex 2ex 所以 正確 因為 2x 2xln2 所以 錯誤 類型二導數公式的綜合應用 命題角度1利用導數公式解決切線問題例2已知點P 1 1 點Q 2 4 是曲線y x2上兩點 是否存在與直線PQ垂直的切線 若有 求出切線方程 若沒有 說明理由 題意 解答 題意利用導數公式求解切線問題 因為y x2 2x 假設存在與直線PQ垂直的切線 即4x 4y 1 0 引申探究若本例條件不變 求與直線PQ平行的曲線y x2的切線方程 因為y x2 2x 設切點為M x0 y0 則y 2x0 解答 反思與感悟 解決切線問題 關鍵是確定切點 要充分利用 1 切點處的導數是切線的斜率 2 切點在切線上 3 切點又在曲線上這三個條件聯立方程解決 解答 跟蹤訓練2已知兩條曲線y sinx y cosx 是否存在這兩條曲線的一個公共點 使在這一點處兩條曲線的切線互相垂直 并說明理由 設存在一個公共點 x0 y0 使兩曲線的切線垂直 則在點 x0 y0 處的切線斜率分別為k1 y cosx0 k2 y sinx0 要使兩切線垂直 必須有k1k2 cosx0 sinx0 1 即sin2x0 2 這是不可能的 所以兩條曲線不存在公共點 使在這一點處兩條曲線的切線互相垂直 命題角度2利用導數公式求最值問題例3求拋物線y x2上的點到直線x y 2 0的最短距離 解答 反思與感悟 利用基本初等函數的求導公式 可求其圖象在某一點P x0 y0 處的切線方程 可以解決一些與距離 面積相關的幾何的最值問題 一般都與函數圖象的切線有關 解題時可先利用圖象分析取最值時的位置情況 再利用導數的幾何意義準確計算 跟蹤訓練3已知直線l 2x y 4 0與拋物線y x2相交于A B兩點 O是坐標原點 試求與直線l平行的拋物線的切線方程 并在弧上求一點P 使 ABP的面積最大 解答 設M x0 y0 為切點 過點M與直線l平行的直線斜率為k y 2x0 k 2x0 2 x0 1 y0 1 故可得M 1 1 切線方程為2x y 1 0 由于直線l 2x y 4 0與拋物線y x2相交于A B兩點 AB 為定值 要使 ABP的面積最大 只要P到AB的距離最大 故點M 1 1 即為所求弧上的點 使 ABP的面積最大 當堂訓練 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 3 設函數f x logax f 1 1 則a 答案 解析 1 2 3 4 5 解析 1 2 3 4 5 y 0 解