第二章 2 1橢圓 2 1 1橢圓及其標準方程 1 了解橢圓的實際背景 經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程 橢圓標準方程的推導與化簡過程 2 掌握橢圓的定義 標準方程及幾何圖形 學習目標 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 知識點一橢圓的定義 觀察圖形 回答下列問題 思考1 如圖 把細繩兩端拉開一段距離 分別固定在圖板上的兩點F1 F2處 套上鉛筆 拉緊繩子 移動筆尖 畫出的軌跡是什么圖形 答案 橢圓 思考2 圖中移動的筆尖始終滿足怎樣的幾何條件 答案 筆尖 動點 到兩定點 繩端點的固定點 的距離之和始終等于繩長 梳理把平面內與兩個定點F1 F2的距離之和等于的點的軌跡叫做橢圓 這兩個叫做橢圓的焦點 叫做橢圓的焦距 定長 大于 F1F2 定點 兩焦點間的距離 知識點二橢圓的標準方程 思考1 橢圓方程中 a b以及參數c有什么幾何意義 它們滿足什么關系 答案 橢圓方程中 a表示橢圓上的點M到兩焦點間距離之和的一半 可借助圖形幫助記憶 a b c 都是正數 恰構成一個直角三角形的三條邊 a是斜邊 c是焦距的一半 a b c始終滿足關系式a2 b2 c2 思考2 橢圓定義中 為什么要限制常數 MF1 MF2 2a F1F2 答案 只有當2a F1F2 時 動點M的軌跡才是橢圓 當2a F1F2 時 點的軌跡是線段F1F2 當2a F1F2 時 滿足條件的點不存在 梳理 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c c2 a2 b2 題型探究 類型一橢圓的標準方程 解答 這與a b相矛盾 故應舍去 當焦點在y軸上時 可設橢圓的標準方程為 方法二設橢圓的標準方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 解答 2a 12 即a 6 c 4 b2 a2 c2 62 42 20 解得 11或 21 舍去 求橢圓標準方程的方法 1 定義法 即根據橢圓的定義 判斷出軌跡是橢圓 然后寫出其方程 2 待定系數法 先確定焦點位置 設出方程 尋求a b c的等量關系 求a b的值 代入所設方程 特別提醒 若橢圓的焦點位置不確定 需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論 也可設橢圓方程為mx2 ny2 1 m n m 0 n 0 反思與感悟 解答 橢圓的焦點在y軸上 2 焦點在y軸上 且經過兩個點 0 2 和 1 0 橢圓的焦點在y軸上 又橢圓經過點 0 2 和 1 0 解答 設橢圓的方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 解答 答案 解析 0 1 反思與感悟 1 利用橢圓方程解題時 一般首先要化成標準形式 7 10 答案 解析 當焦點在x軸上時 a2 4 b2 m 由2c 2 得c 1 4 m 1 m 3 當焦點在y軸上時 a2 m b2 4 由2c 2 得c 1 m 4 1 則m 5 綜上可知 m 3或5 3或5 答案 解析 類型二橢圓定義的應用 解答 由余弦定理知 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos30 F1F2 2 2c 2 4 式兩邊平方 得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 20 F1PF2 引申探究在例3中 若圖中的直線PF1與橢圓相交于另一點B 連接BF2 其他條件不變 求 BPF2的周長 解答 反思與感悟 解答 從而 F1F2 2c 2 在 PF1F2中 由余弦定理可得 PF2 2 PF1 2 F1F2 2 2 PF1 F1F2 cos120 又由橢圓的定義知 PF1 PF2 4 所以 PF2 4 PF1 從而有 4 PF1 2 PF1 2 4 2 PF1 直線AP的垂直平分線交直線BP于點Q AQ PQ AQ BQ PQ BQ 6 點Q的軌跡是以A B為焦點的橢圓 解答 反思與感悟 用定義法求橢圓的方程 首先要利用平面幾何知識將題目條件轉化為到兩定點的距離之和為定值 然后判斷橢圓的中心是否在原點 對稱軸是否為坐標軸 最后由定義產生橢圓的基本量a b c 跟蹤訓練4已知圓A x 3 2 y2 100 圓A內一定點B 3 0 圓P過B且與圓A內切 求圓心P的軌跡方程 解答 如圖 設圓P的半徑為r 又圓P過點B PB r 又 圓P與圓A內切 圓A的半徑為10 兩圓的圓心距 PA 10 r 即 PA PB 10 大于 AB 點P的軌跡是以A B為焦點的橢圓 2a 10 2c AB 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 當堂訓練 1 已知F1 F2是定點 F1F2 8 動點M滿足 MF1 MF2 8 則動點M的軌跡是A 橢圓B 直線C 圓D 線段 答案 1 2 3 4 5 解析 MF1 MF2 8 F1F2 點M的軌跡是線段F1F2 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 焦點在y軸上 cos sin 1 2 3 4 5 由橢圓的定義知 3 7 2a 得a 5 則m a2 25 答案 解析 25 解答 設橢圓的標準方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 1 2 3 4 5 規律與方法 1 平面內