考點03函數及其表示1.了解函數、映射的概念.2.了解函數的定義域、值域及三種表示法（解析法、圖象法和列表法）.3.了解簡單的分段函數，會用分段函數解決簡單的問題.一、函數的概念1函數與映射的相關概念（1）函數與映射的概念函數映射兩個集合A、B設A、B是兩個非空數集設A、B是兩個非空集合對應關系按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數稱f：AB為從集合A到集合B的一個映射記法yf(x)，xAf：AB注意：判斷一個對應關系是否是函數關系，就看這個對應關系是否滿足函數定義中“定義域內的任意一個自變量的值都有唯一確定的函數值”這個核心點（2）函數的定義域、值域在函數yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)|xA叫做函數的值域（3）構成函數的三要素函數的三要素為定義域、值域、對應關系.（4）函數的表示方法函數的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.解析法：一般情況下，必須注明函數的定義域；列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征；圖象法：注意定義域對圖象的影響.2必記結論(1)相等函數如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數相等兩個函數是否是相等函數，取決于它們的定義域和對應關系是否相同，只有當兩個函數的定義域和對應關系完全相同時，才表示相等函數函數的自變量習慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示相等函數.(2)映射的個數若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從集合A到集合B的映射共有個二、函數的三要素1函數的定義域函數的定義域是使函數解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數定義域的要求為：(1)分式函數中分母不等于零.(2)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.(3)一次函數、二次函數的定義域均為R.(4)yx0的定義域是x|x0.(5)yax(a0且a1)，ysinx，ycosx的定義域均為R.(6)ylogax(a0且a1)的定義域為(0，).(7)ytanx的定義域為.2函數的解析式(1)函數的解析式是表示函數的一種方式，對于不是yf(x)的形式，可根據題目的條件轉化為該形式.(2)求函數的解析式時，一定要注意函數定義域的變化，特別是利用換元法(或配湊法)求出的解析式，不注明定義域往往導致錯誤.3函數的值域函數的值域就是函數值構成的集合，熟練掌握以下四種常見初等函數的值域：(1)一次函數ykxb(k為常數且k0)的值域為R.(2)反比例函數(k為常數且k0)的值域為(，0)(0，)(3)二次函數yax2bxc(a，b，c為常數且a0)，當a0時，二次函數的值域為；當a1，則f(f(2)=_；f(x)的值域為_.8已知函數fx=x2+2x-1，函數y=gx為一次函數，若gfx=2x2+4x+3，則gx=_.9已知函數,，則_10設函數則使得成立的的取值范圍是_1（2019年高考全國卷文數）設f(x)為奇函數，且當x0時，f(x)=，則當x0時，f(x)=ABCD2（2019年高考全國卷理數）設函數的定義域為R，滿足，且當時，若對任意，都有，則m的取值范圍是ABCD3（2018年高考全國I卷文科）設函數，則滿足的x的取值范圍是ABCD4（2017年高考山東卷理科）設函數的定義域為，函數的定義域為,則A（1,2）BC（2,1）D2,1)5（2017年高考天津卷理科）已知函數設，若關于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是ABCD6（2018年高考浙江卷）已知R，函數f(x)=，當=2時，不等式f(x)1時，f(x)=f(x-2)只是圖象的一個平移過程，所以值域是(-,0，填(1)0,(2)(-,0.【名師點睛】本題綜合考查分段函數求復合函數值問題，及分段函數值域問題，一般是分段求出y的取值范圍再求出整個函數的值域，本題解法根據函數平移對函數值域影響，省去了求函數表達式過程，更簡潔.8【答案】2x+5【解析】由題意，函數y=gx為一次函數，由待定系數法，設gx=kx+b（k0），gfx=kx2+2x-1+b，由對應系數相等，得k=2，b=5.即答案為2x+5.9【答案】3【解析】由題意，得，即，解得，即.故填3.10【答案】.【解析】由，得或，得或，即的取值范圍是，故答案為.【名師點睛】本題主要考查分段函數的解析式、由分段函數解不等式，屬于中檔題.對于分段函數解析式的考查是命題的動向之一，這類問題的特點是綜合性強，對抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰.直通高考1【答案】D【解析】由題意知是奇函數，且當x0時，f(x)=，則當時，則，得故選D【名師點睛】本題考查分段函數的奇偶性和解析式，滲透了數學抽象和數學運算素養采取代換法，利用轉化與化歸的思想解題2【答案】B【解析】，時，；時，；時，如圖：當時，由解得，若對任意，都有，則.則m的取值范圍是.故選B.【名師點睛】本題考查了函數與方程，二次函數.解題的關鍵是能夠得到時函數的解析式，并求出函數值為時對應的自變量的值.3【答案】D【解析】將函數的圖象畫出來，觀察圖象可知會有，解得，所以滿足的x的取值范圍是，故選D【思路分析】首先根據題中所給的函數解析式，將函數圖象畫出來，從圖中可以發現：若有成立，一定會有，從而求得結果.【名師點睛】該題考查的是通過函數值的大小來推斷自變量的大小關系，從而求得相關的參數的值的問題，在求解的過程中，需要利用函數解析式畫出函數圖象，從而得到要出現函數值的大小，絕對不是常函數，從而確定出自變量所處的位置，結合函數值的大小，確定出自變量的大小，從而得到其等價的不等式組，最后求得結果.4【答案】D【解析】由得，由得，故，選D5【答案】A【解析】不等式可化為 (*)，當時，(*)式即，即，又（當時取等號），（當時取等號），所以，當時，(*)式為，又（當時取等號），（當時取等號），所以綜上，故選A【名師點睛】首先將轉化為，涉及分段函數問題要遵循分段處理的原則，分別對的兩種不同情況進行討論，針對每種情況根據的范圍，利用極端原理，求出對應的的取值范圍6【答案】(1,4) 【解析】由題意得或，所以或，即，故不等式f(x)0的解集是當時，此時，即在上有兩個零點；當時，由在上只能有一個零點得.綜上，的取值范圍為.【名師點睛】根據分段函數，轉化為兩個不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數零點的取法，再對應確定二次函數零點的取法，即得參數的取值范圍.已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解7【答案】2，+）【解析】要使函數有意義，則需，解得，即函數的定義域為.【名師點睛】求給定函數的定義域往往需轉化為解不等式（組）的問題.求解本題時，根據偶次根式下被開方數非負列不等式，解對數不等式得函數定義域.8【答案】【解析】由題意得到關于x的不等式，解不等式可得函數的定義域.由已知得,即，解得，故函數的定義域為.【名師點睛】求函數的定義域，其實質就是以函數解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可9【答案】【解析】由得函數的周期為4，所以因此【名師點睛】(1)求分段函數的函數值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值，當出現的形式時，應從內到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍. 10【答案】，2【解析】分類討論：當時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，其中，結合二次函數的性質可知：當時，則；當時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，其中，結合二次函數的性質可知：當或時，則.綜合可得的取值范圍是.【名師點睛】由題意分類討論和兩種情況，結合恒成立的條件整理計算即可求得最終結果.對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法一般從：開口方向；對稱軸位置；判別式；端點函數值符號四個方面進行分析11【答案】【解析】由，即，得，根據幾何概型的概率計算公式得的概率是12【答案】【解析】要使函數有意義，則，即，故填13【答案】【解析】令，當時，；當時，；當時，寫成分段