4 7解三角形 知識梳理 考點自測 1 正弦定理和余弦定理在 ABC中 若角A B C所對的邊分別是a b c 則 知識梳理 考點自測 知識梳理 考點自測 知識梳理 考點自測 3 實際問題中的常用角 1 仰角和俯角 與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角 目標視線在水平視線的角叫做仰角 目標視線在水平視線的角叫做俯角 如圖 2 方向角 相對于某正方向的水平角 如南偏東30 北偏西45 西偏北60 等 3 方位角 指從正北方向轉到目標方向線的水平角 如點B的方位角為 如圖 4 坡度 坡面與水平面所成的二面角的度數 上方 下方 順時針 知識梳理 考點自測 1 在 ABC中 常有以下結論 1 A B C 2 在三角形中大邊對大角 大角對大邊 3 任意兩邊之和大于第三邊 任意兩邊之差小于第三邊 4 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 5 tanA tanB tanC tanA tanB tanC 6 A B a b sinA sinB cosA0時 可知A為銳角 當b2 c2 a2 0時 可知A為直角 當b2 c2 a2 0時 可知A為鈍角 知識梳理 考點自測 2 3 4 1 5 1 判斷下列結論是否正確 正確的畫 錯誤的畫 1 在 ABC中 已知a b和角B 能用正弦定理求角A 已知a b和角C 能用余弦定理求邊c 2 在三角形中 已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形 3 在 ABC中 sinA sinB的充分不必要條件是A B 4 在 ABC中 a2 b2 c2是 ABC為鈍角三角形的充分不必要條件 5 在 ABC的角A B C 邊長a b c中 已知任意三個可求其他三個 答案 知識梳理 考點自測 2 3 4 1 5 答案 解析 知識梳理 考點自測 2 3 4 1 5 答案 解析 知識梳理 考點自測 2 3 4 1 5 4 ABC的內角A B C的對邊分別為a b c 已知C 60 b c 3 則A 答案 解析 知識梳理 考點自測 2 3 4 1 5 5 ABC的內角A B C的對邊分別為a b c 若2bcosB acosC ccosA 則B 答案 解析 考點1 考點2 考點3 考點4 例1 2017全國 理17 ABC的內角A B C的對邊分別為a b c 已知 ABC的面積為 1 求sinBsinC 2 若6cosBcosC 1 a 3 求 ABC的周長 答案 考點1 考點2 考點3 考點4 思考已知怎樣的條件能用正弦定理解三角形 已知怎樣的條件能用余弦定理解三角形 解題心得1 已知兩邊和一邊的對角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形 正弦定理的形式多樣 其中a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC能夠實現邊角互化 2 已知兩邊和它們的夾角 已知兩邊和一邊的對角或已知三邊都能直接運用余弦定理解三角形 在運用余弦定理時 要注意整體思想的運用 3 已知兩角和一邊 該三角形是確定的 其解是唯一的 已知兩邊和一邊的對角 該三角形具有不唯一性 通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓練1 2017北京 理15 在 ABC中 A 60 c a 1 求sinC的值 2 若a 7 求 ABC的面積 答案 考點1 考點2 考點3 考點4 例2在 ABC中 a b c分別為內角A B C的對邊 且2asinA 2b c sinB 2c b sinC 1 求角A的大小 2 若sinB sinC 試判斷 ABC的形狀 解 1 由2asinA 2b c sinB 2c b sinC及正弦定理 得2a2 2b c b 2c b c 即bc b2 c2 a2 A 60 考點1 考點2 考點3 考點4 即sin B 30 1 0 B 120 30 B 30 150 B 30 90 即B 60 A B C 60 ABC為等邊三角形 考點1 考點2 考點3 考點4 思考判斷三角形的形狀時主要有哪些方法 解題心得判斷三角形的形狀時主要有以下兩種方法 1 利用正弦定理 余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系 通過因式分解 配方等得出邊的相應關系 從而判斷三角形的形狀 2 利用正弦定理 余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系 通過三角恒等變換 得出內角的關系 從而判斷出三角形的形狀 此時要注意應用A B C 這個結論 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓練2 2017云南楚雄州一模 理17 如圖 在 ABC中 1 若 BAC 求AB和BC的長 結果用 表示 2 當AB BC 6時 試判斷 ABC的形狀 考點1 考點2 考點3 考點4 考點1 考點2 考點3 考點4 考點1 考點2 考點3 考點4 例3 2017全國 理17 ABC的內角A B C的對邊分別為a b c 已知sin A C 8sin2 1 求cosB 2 若a c 6 ABC的面積為2 求b 考點1 考點2 考點3 考點4 考點1 考點2 考點3 考點4 思考在三角形中進行三角變換要注意什么 解題心得1 在三角形中進行三角變換要注意隱含條件A B C 使用這個隱含條件可以減少未知數的個數 2 在解三角形問題中 因為面積公式中既有邊又有角 所以要和正弦定理 余弦定理聯系起來 要靈活運用正弦定理 余弦定理實現邊角互化 為三角變換提供了條件 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓練3 2017吉林三模 理17 已知函數f x cos2x 2sin2x 2sinx 答案 考點1 考點2 考點3 考點4 例4設 ABC三個角A B C的對邊分別為a b c 向量p a 2b q sinA 1 且p q 1 求B的大小 2 若 ABC是銳角三角形 m cosA cosB n 1 sinA cosAtanB 求m n的取值范圍 解 1 p a 2b q sinA 1 且p q a 2bsinA 0 由正弦定理得sinA 2sinBsinA 0 A B C是 ABC的內角 考點1 考點2 考點3 考點4 考點1 考點2 考點3 考點4 答案 考點1 考點2 考點3 考點4 例5如圖 一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛 到A處時測得公路北側一山腳C在西偏北30 的方向上 行駛600m后到達B處 測得此山腳C在西偏北75 的方向上 山頂D的仰角為30 則此山的高度CD m 答案 解析 考點1 考點2 考點3 考點4 思考利用正弦定理 余弦定理解決實際問題的一般思路是什么 解題心得利用正弦定理 余弦定理解決實際問題的一般思路 1 實際問題經抽象概括后 已知量與未知量全部集中在一個三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 實際問題經抽象概括后 已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形 這時需作出這些三角形 先解夠條件的三角形 再逐步求解其他三角形 有時需設出未知量 根據條件列出方程 組 解方程 組 得出所要求的解 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓練5如圖 小明同學在山頂A處觀測到 一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛 小明在A處測得公路上B C兩點的俯角分別為30 45 且 BAC 135 若山高AD 100m 汽車從點B到點C歷時14s 則這輛汽車的速度為m s 精確到0 1m s 參考數據 答案 解析 考點1 考點2 考點3 考點4 1 正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊 角關系轉化為角的關系或邊的關系 2 在已知關系式中 既含有邊又含有角 通常的解題思路 先將角都化成邊或將邊都化成角 再結合正弦定理 余弦定理即可