第二課時函數的最大 小 值 目標導航 新知探求 課堂探究 新知探求 素養養成 情境導學 導入如圖所示是某市房管局公布的2013年10月 2014年9月該市房價走勢圖 想一想1 從導入圖中能否得出2013年10月 2014年9月房價的最大值 在2014年5月 房價達到最大值 約為27000元 想一想2 從導入圖中能否得出2013年10月 2014年9月房價的最小值 在2013年12月 房價達到最小值 約為25400元 知識探究 1 最大值 1 定義 一般地 設函數y f x 的定義域為I 如果存在實數M滿足 對于任意的x I 都有f x M 存在x0 I 使得 那么 稱M是函數y f x 的最大值 2 幾何意義 函數y f x 的最大值是圖象最點的坐標 探究 若函數f x M 則M一定是函數的最大值嗎 答案 不一定 只有定義域內存在一點x0 使f x0 M時 M才是函數的最大值 否則不是 f x0 M 縱 高 2 最小值 1 定義 一般地 設函數y f x 的定義域為I 如果存在實數M滿足 對于任意的x I 都有f x M 存在x0 I 使得 那么 稱M是函數y f x 的最小值 2 幾何意義 函數y f x 的最小值是圖象最點的坐標 f x0 M 低 縱 拓展延伸 最值的求法 1 作出函數的圖象 尤其是分段函數或解析式含有絕對值的函數 從圖象直接觀察可得最值 2 求出函數的值域 其邊界即為最值 此時要注意邊界值能否取到 即最值是否存在 3 利用函數的單調性求最值 以下可以作為結論使用 若函數在閉區間 a b 上是減函數 則f x 在 a b 上的最大值為f a 最小值為f b 若函數在閉區間 a b 上是增函數 則f x 在 a b 上的最大值為f b 最小值為f a 自我檢測 1 最大值 函數f x 3 x2的最大值為 A 3 B 2 C 0 D 4 A 2 最小值 函數y x2 2x 1在 0 3 上的最小值為 A 0 B 4 C 1 D 以上都不對 B B 4 最值的應用 若函數y ax 1在 1 2 上的最大值與最小值的差為2 則實數a的值是 答案 2 5 最值 函數f x 在 2 上的圖象如圖所示 則函數的最小值為 最大值為 答案 不存在3 題型一 圖象法求最值 課堂探究 素養提升 解 1 函數的圖象如圖所示 由圖象可知f x 的單調遞增區間為 0 和 0 無遞減區間 2 根據函數的圖象求出函數的最小值 解 2 由函數圖象可知 函數的最小值為f 0 1 方法技巧利用圖象求函數最值的方法 畫出函數y f x 的圖象 觀察圖象 找出圖象的最高點和最低點 寫出最值 最高點的縱坐標是函數的最大值 最低點的縱坐標是函數的最小值 即時訓練1 1 用min a b c 表示a b c三個數中的最小值 則函數f x min 4x 1 x 4 x 8 的最大值是 解析 在同一坐標系中分別作出函數y 4x 1 y x 4 y x 8的圖象后 取位于下方的部分得函數f x min 4x 1 x 4 x 8 的圖象 如圖所示 由圖象可知 函數f x 在x 2時取得最大值6 答案 6 備用例1 已知函數f x 求f x 的最大值 最小值 題型二 單調性法求最值 例2 已知函數f x 1 判斷函數在區間 1 上的單調性 并用定義證明你的結論 2 求該函數在區間 2 4 上的最大值和最小值 方法技巧 1 由函數單調性結合函數圖象找出最高 低 點的縱坐標即為函數的最大 小 值 2 分段函數的最大 小 值是函數整體上的最大 小 值 即時訓練2 1 已知函數f x x 3 5 1 判斷函數在區間 3 5 上的單調性 并給出證明 2 求該函數的最大值和最小值 備用例2 求函數y 2x 1 的最大值 題型三 二次函數的最值 例3 已知函數f x 3x2 12x 5 當自變量x在下列范圍內取值時 求函數的最大值和最小值 1 x R 解 f x 3x2 12x 5 3 x 2 2 7 1 當x R時 f x 3 x 2 2 7 7 當x 2時 等號成立 即函數f x 的最小值為 7 無最大值 2 0 3 3 1 1 解 2 函數f x 3 x 2 2 7的圖象如圖所示 由圖可知 函數f x 在 0 2 上遞減 在 2 3 上遞增 并且f 0 5 f 2 7 f 3 4 所以在 0 3 上 f x max f 0 5 f x min f 2 7 3 由圖象可知 f x 在 1 1 上單調遞減 f x max f 1 20 f x min f 1 4 變式探究 1 若本例函數解析式不變 求此函數在 0 a 上的最大值和最小值 解 1 由題意知a 0 f x 3x2 12x 5 3 x 2 2 7 故此函數的對稱軸為x 2 當0 a 2時 f x min f a 3a2 12a 5 f x max f 0 5 當2 a 4時 f x min f 2 7 f x max f 0 5 當a 4時 f x min f 2 7 f x max f a 3a2 12a 5 2 若將函數 f x 3x2 12x 5 變為 f x x2 2ax 2 則函數在 1 1 上的最小值如何 解 2 f x x2 2ax 2 x a 2 2 a2 其圖象開口向上 對稱軸為x a a1時 f x 在 1 1 上單調遞減 f x min f 1 3 2a 綜上 f x min 即時訓練3 1 已知函數f x x2 2ax 2 當x 1 時 f x a恒成立 求a的取值范圍 解 因為f x x a 2 2 a2 所以此二次函數圖象的對稱軸為x a 當a 1 時 f x 在 1 上單調遞增 所以f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得a 3 即 3 a 1 當a 1 時 f x min f a 2 a2 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2 a2 a 解得 2 a 1 即 1 a 1 綜上所述 實數a的取值范圍為 3 1 備用例3 已知函數f x x2 2x 3 若x t t 2 求函數f x 的最值 解 因為對稱軸為x 1 當1 t 2即t 1時 f x max f t t2 2t 3 f x min f t 2 t2 2t 3 題型四函數最值的實際應用 例4 經市場調查 某城市的一種小商品在過去的近20天內的日銷售量 單位 件 與單個商品的價格 單位 元 均為時間t 單位 天 的函數 且銷售量近似滿足g t 80 2t 單個商品的價格近似滿足于f t 1 試寫出該種商品的日銷售額y關于時間t 0 t 20 的函數解析式 2 求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值 解 2 由 1 知 當0 t 10時 y t2 10t 1200 t 5 2 1225 函數圖象開口向下 對稱軸為直線t 5 該函數在 0 5 上單調遞增 在 5 10 上單調遞減 所以ymax 1225 當t 5時取得 ymin 1200 當t 10時取得 當10 t 20時 y t2 90t 2000 t 45 2 25 圖象開口向上 對稱軸為直線t 45 該函數在 10 20 上單調遞減 ymax 1200 當t 10時取得 ymin 600 當t 20時取得 由 知 ymax 1225 當t 5時取得 ymin 600 當t 20時取得 方法技巧函數的單調性在實際生活中的應用問題 大多涉及最值的求解 如利潤最大 用料最省等 解題的關鍵是先由題意確定函數的解析式 然后借助函數單調性求出最值 但要注意函數的自變量的值要使實際問題有意義 即時訓練4 1