3 函數模型及其應用 知識歸納1 求解函數應用問題的思路和方法 2 函數建模的基本流程 誤區警示求解函數應用題時 關鍵環節是審題 審題時 一要弄清問題的實際背景 注意隱含條件 二是將文字語言恰當準確的翻譯為數學語言 用數學表達式加以表示 三是弄清給出什么條件 解決什么問題 通過何種數學模型加以解決 四是嚴格按各種數學模型的要求進行推理運算 并對運算結果作出實際解釋 3 常見函數模型的理解 1 一 二次函數模型 2 指數函數模型 3 對數函數模型 4 冪函數模型 5 分式函數模型 題型探析 考點1一次函數 二次函數模型的應用 例1 2010 廣東模擬 某種商品原來定價為每件a元時 每天可售出m件 現在把定價降低x個百分點 即x 后 售出數量增加了y個百分點 且每天的銷售額是原來的k倍 1 設y nx 其中n是大于1的常數 試將k寫成x的函數 2 求銷售額最大時x的值 結果可用喊n的式子表示 3 當n 2時 要使銷售額比原來有所增加 求x的取值范圍 考點2分段函數模型例2 2011 江蘇四市模擬 某廠生產某種零件 每個零件的成本為40元 出廠單價定為60元 該廠為鼓勵銷售商訂購 決定當一次訂購量超過100個時 每多訂購一個 訂購的全部零件的出廠單價就降低0 02元 但實際出廠單價不能低于51元 i 當一次訂購量為多少個時 零件的實際出廠單價恰降為51元 ii 設一次訂購量為x個 零件的實際出廠單價為p元 寫出函數的表達式 iii 當銷售商一次訂購500個零件時 該廠獲得的利潤是多少元 如果訂購1000個 利潤又是多少元 工廠售出一個零件的利潤 實際出廠單價 成本 題型3 指數 對數型函數例3 2011 江蘇鎮江模擬 按復利計算利息的一種儲蓄 本金為a元 每期利率為r 設本利和為y 存期為x 寫出本利和y歲存期x變化的函數式 如果存入本金1000元 每期利率2 25 試計算5期后的本利和是多少 題型4 分式 不等式 型例4 2011湖南十二校聯盟 對1個單位質量的含污物體進行清洗 清洗前其清潔度 含污物體的清潔度定義為 為0 8 要求清洗完后的清潔度為0 99 有兩種方案可供選擇 方案甲 一次清洗 方案乙 分兩次清洗 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響 其質量變為設用x單位質量的水初次清洗后的清潔度是用y單位質量的水第二次清洗后的清潔度是 其中c是該物體初次清洗后的清潔度 分別求出方案甲以及時方案乙的用水量 并比較哪一種方案用水量較少 題型4 分式 不等式 型例4 2011湖南十二校聯盟 對1個單位質量的含污物體進行清洗 清洗前其清潔度 含污物體的清潔度定義為 為0 8 要求清洗完后的清潔度為0 99 有兩種方案可供選擇 方案甲 一次清洗 方案乙 分兩次清洗 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響 其質量變為設用x單位質量的水初次清洗后的清潔度是用y單位質量的水第二次清洗后的清潔度是 其中c是該物體初次清洗后的清潔度 若采用方案乙 當a為某固定值時 如何安排初次與第二次清洗的用水量 使總用水量最小 并討論a取不同數值時對最少總用水量多少的影響 作業 1 改編 某地區上年度電價為0 8元 千瓦 時 年用電量為a千瓦 時 本年度計劃將電價降到0 55元 千瓦 時 至0 75元 千瓦 時 之間 而用戶期望電價為0 4元 千瓦 時 經測算 下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比 比例系數為k 該地區電力的成本價為0 3元 千瓦 時 1 寫出本年度電價下調后 電力部門的收益y與實際電價x的函數關系式 2 設k 0 2a 當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20 注 收益 實際用電量 實際電價 成本價 2 2011 浙江寧波高三回頭考 運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米路程 按交通法規限制50 x 100 單位 千米 小時 假設汽油的價格是每升2元 而汽車每小時耗油升 司機的工資是每小時14元 求這次行車總費用y關于y的表達式 當為何值時 這次行車的總費用最低 并求出最低費用的值 精確到小數點后兩位 3 2011 湖北兩地市聯盟 某廠家擬在2008年舉行促銷活動 經調查測算 該產品的年銷售量 即該廠的年產量 x萬件與年促銷費用m萬元 m 0 滿足 如果不搞促銷活動 則該產品的年銷售量只能是1萬件 已知2008年生產該產品的固定投入為8萬元 每生產1萬件該產品需要再投入16萬元 廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均