類比歸納專題 三角形中內 外角的有關計算 全方位求角度 類型一 已知角的關系 直接利用內 角和或結合方程思想 1 在 ABC 中 A B 35 C 55 則 B 等于 A 50 B 55 C 45 D 40 2 在 ABC 中 已知 A 2 B 3 C 則 ABC 是 A 銳角三角形 B 直角三角形 C 鈍角三角形 D 形狀無法確定 3 如圖 在 ABC 中 C ABC 2 A BD 是 AC 邊上的高 求 DBC 的度 數 4 如圖 ABC 中 B 26 C 70 AD 平分 BAC AE BC 于 E EF AD 于 F 求 DEF 的度數 類型二 綜合內外角的性質 5 如圖 BD CD 分別平分 ABC 和 ACE A 60 則 D 的度數是 A 20 B 30 C 40 D 60 第 5 題圖 第 6 題圖 6 如圖 B 20 A C 40 則 CDE 的度數為 7 如圖 AD 平分 BAC EAD EDA 1 求證 EAC B 2 若 B 50 CAD E 1 3 求 E 的度數 類型三 在三角板或直尺中求角度 8 2015 2016 瑤海區期末 將一副三 角板按如圖所示擺放 圖中 的度數是 A 120 B 105 C 90 D 75 9 將兩個含 30 和 45 的直角三角板如 圖放置 則 的度數是 A 10 B 15 C 20 D 25 10 一副三角板如圖所示疊放在一起 則圖中 的度數是 11 如圖 將三角板的直角頂點放在直 尺的一邊上 若 1 55 則 2 的度數為 類型四 與平行線結合 12 2015 南充中考 如圖 已知 B C E 在同一直線上 且 CD AB 若 A 75 B 40 則 ACE 的度數為 A 35 B 40 C 115 D 145 13 如圖 AB CD 直線 PQ 分別交 AB CD 于點 F E EG 是 DEF 的平分線 交 AB 于點 G 若 PFA 40 那么 EGB 等 于 A 80 B 100 C 110 D 120 14 如圖 BD 是 ABC 的角平分線 DE BC 交 AB 于點 E A 45 BDC 60 則 BDE 15 如圖 在 ABC 中 點 D 在 BC 上 點 E 在 AC 上 AD 交 BE 于 F 已知 EG AD 交 BC 于 G EH BE 交 BC 于 H HEG 55 1 求 BFD 的度數 2 若 BAD EBC C 44 求 BAC 的度數 類型五 與截取或折疊相關 16 如圖 把 ABC 紙片沿 DE 折疊 當點 A 落在四邊形 BCDE 的外部時 則 A 與 1 和 2 之間有一種數量關系始終保持 不變 請試著找一找這個規律 你發現的規 律是 A A 1 2 B 2 A 1 2 C 3 A 2 1 2 D 3 A 2 1 2 17 如圖 Rt ABC 中 ACB 90 A 52 將其折疊 使點 A 落在邊 CB 上 A 處 折痕為 CD 則 A DB 第 17 題圖 第 18 題圖 18 在 ABC 中 B 70 若沿圖中 虛線剪去 B 則 1 2 等于 19 如圖 1 將 ABC 紙片沿 DE 折疊 成圖 此時點 A 落在四邊形 BCDE 內部 則 A 與 1 2 之間有一種數量關系保持 不變 請找出這種數量關系并說明理由 2 若折成圖 或圖 即點 A 落在 BE 或 CD 上時 分別寫出 A 與 2 A 與 1 之間的關系式 不必證明 3 若折成圖 寫出 A 與 1 2 之 間的關系式 不必證明 參考答案與解析 1 C 2 C 3 解 設 A x 則 C ABC 2x 根據三角形內角和為 180 知 C ABC A 180 即2x 2x x 180 x 36 C 2x 72 在 Rt BDC 中 DBC 90 C 90 72 18 方法點撥 三角形中給出的條件含比例 且不易直接求出時 一般需要設未知數 根 據三角形的內角和列方程求解 4 解 ABC 中 B 26 C 70 BAC 180 B C 180 26 70 84 AD 平分 BAC DAC 1 2 BAC 1 2 84 42 在 ACE 中 CAE 90 C 90 70 20 DAE DAC CAE 42 20 22 DEF AEF AEF DAE 90 DEF DAE 22 5 B 6 80 7 1 證明 AD 平分 BAC BAD CAD 又 EAD EDA EAC EAD CAD EDA BAD B 2 解 設 CAD x 則 E 3x 由 1 知 EAC B 50 EAD EDA x 50 在 EAD 中 E EAD EDA 180 3x 2 x 50 180 解 得 x 16 E 48 8 B 9 B 10 75 11 35 12 C 13 C 14 15 15 解 1 EH BE BEH 90 HEG 55 BEG BEH HEG 35 又 EG AD BFD BEG 35 2 BFD BAD ABE BAD EBC BFD EBC ABE ABC 由 1 可知 BFD 35 ABC 35 C 44 BAC 180 ABC C 180 35 44 101 16 B 17 14 18 250 19 解 1 延長 BE CD 交于點 P 則 BCP 即為折疊前的三角形 由折疊的性 質知 DAE DPE 連接AP 由三角形的外 角 性質知 1 EAP EPA 2 DAP DPA 則 1 2 DAE DPE 2 DAE 即 1 2 2 A 2 圖 中 2 2 A 圖 中 1 2 A 3 圖 中 2 1 2 A 類比歸納專題 與三角形的類比歸納專題 與三角形的 高 角平分線有關的計算模高 角平分線有關的計算模 型型 模型 1 求同一頂點的角平分線與高線 的夾角的度數 1 如圖 AD AE 分別是 ABC 的高和 角平分線 1 已知 B 40 C 60 求 DAE 的度數 2 設 B C 請用含 的代數式表示 DAE 并證明 模型 2 求兩內角平分線的夾角的度數 2 如圖 ABC 中 ABC 和 ACB 的平分線交于點 O 若 BOC 120 則 A 3 如圖 ABC 中 點 P 是 ABC ACB 的平分線的交點 1 若 A 80 求 BPC 的度數 2 有位同學在解答 1 后得出 BPC 90 1 2 A 的規律 你認為正確嗎 請給出 理由 模型 3 求一內角平分線與一外角平分 線的夾角的度數 4 如圖 在 ABC 中 BA1平分 ABC CA1平分 ACD BA1 CA1相交于點 A1 1 求證 A1 1 2 A 2 如圖 繼續作 A1BC 和 A1CD 的平 分線交于點A2 得 A2 作 A2BC和 A2CD 的平分線交于點 A3 得 A3 依此得到 A2017 若 A 則 A2017 模型 4 求兩外角平分線的夾角的度數 方法 5 5 1 如圖 BO 平分 ABC 的外角 CBD CO 平分 ABC 的外角 BCE 則 BOC 與 A 的關系為 2 請就 1 中的結論進行證明 參考答案與解析 1 解 1 B 40 C 60 BAC 180 B C 180 40 60 80 AE 是角平分線 BAE 1 2 BAC 1 2 80 40 AD 是高 BAD 90 B 90 40 50 DAE BAD BAE 50 40 10 2 DAE 1 2 證明如下 B C BAC 180 AE 是角平分線 BAE 1 2 BAC 90 1 2 AD 是高 BAD 90 B 90 DAE BAD BAE 90 90 1 2 1 2 2 60 3 解 1 BP CP 為角平分線 PBC PCB 1 2 ABC ACB 1 2 180 A 1 2 180 80 50 BPC 180 PBC PCB 180 50 130 2 正確 理由如下 BP CP 為角平 分 線 PBC PCB 1 2 ABC ACB 1 2 180 A 90 1 2 A BPC 180 PBC PCB 180 90 1 2 A 90 1 2 A 4 1 證 明 CA1平 分 ACD A1CD 1 2 ACD 1 2 A ABC 又 A1CD A1 A1BC A1 A1BC 1 2 A ABC BA1 平 分 ABC A1BC 1 2 ABC 1 2 ABC A1 1 2 A ABC A1 1 2 A 2 22017 5 1 BOC 90 1 2 A 2 證明 如圖 BO CO 分別是 ABC 的外角 DBC ECB 的平分線 DBC 2 1 ACB A ECB 2 2 ABC A 2 1 2 2 2 A ABC ACB A 180 1 2 1 2 A 90 又 1 2 BOC 180 BOC 180 1 2 90 1 2 A 解題技巧專題 利用全等解決問題的模型與技巧 明模型 先觀察 再猜想 后證明 類型一 全等三角形的基本模型 1 如圖 AC AD BC BD A 50 B 90 則 C 第 1 題圖 第 2 題圖 2 如圖 銳角 ABC 的高 AD BE 相 交于 F 若 BF AC BC 7 CD 2 則 AF 的長為 3 如圖 點 A D C E 在同一條直 線上 AB EF AB EF B F AE 10 AC 6 則 CD 的長為 A 2 B 4 C 4 5 D 3 4 如圖 在 ABC ADE 中 BAC DAE 90 AB AC AD AE 點 C D E 在同一直線上 連接 BD 交 AC 于點 F 1 求證 BAD CAE 2 猜想 BD CE 有何特殊位置關系 并 說明理由 類型二 證明線段間的等量關系 一 等線段代換 5 如圖 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 直線 l 為經過點 A 的任一直線 BD l 于 D CE l 于 E 若 BD CE 試問 1 AD 與 CE 的大小關系如何 請說明 理由 2 線段 BD DE CE 之間的數量關系 如何 請說明理由 二 截長補短法 6 如圖 在四邊形 ABDE 中 C 是 BD 邊的中點 若AC平分 BAE ACE 90 猜想線段 AE AB DE 的長度滿足的數量關 系 并證明 三 倍長中線法 7 在 ABC 中 AB 8 AC 6 則 BC 邊上的中線 AD 的取值范圍是 A 6 AD 8 B 2 AD 14 C 1 AD 7 D 無法確定 參考答案與解析 1 110 2 3 3 A 4 1 證明 BAC DAE 90 BAC CAD DAE CAD 即 BAD CAE 在 BAD 和 CAE 中 AB AC BAD CAE AD AE BAD CAE SAS 2 解 BD CE 理由如下 由 1 可知 BAD CAE ABD ACE BAC 90 ABD AFB 90 又 AFB DFC ACE DFC 90 BDC 90 即 BD CE 5 解 1 AD CE 理由如下 BD l 于 D CE l 于 E BDA AEC 90 CAE ACE 90 BAC 90 BAD CAE 90 BAD ACE 又 AB AC ABD CAE AAS AD CE 2 BD DE CE 理由如下 由 1 可知 ABD CAE BD AE AD CE 又 AE DE AD BD DE CE 6 解 AE AB DE 證明如下 如圖 在 AE 上截取 AF AB 并連接 CF AC 平 分 BAE BAC CAF 又 AC AC BAC FAC SAS BC FC ACB ACF ACE 90 ACF FCE 90 ACB DCE 90 FCE DCE 又 C 為 BD 的中點 BC DC DC FC 又 CE CE FCE DCE SAS DE FE AE AF FE AB DE 7 C 難點探究專題 動態變化 中的三角形全等 以 靜 制 動 不離其宗 類型一 動點變化 1 如圖 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 3 PQ AB 點 P 與點 Q 分別在 AC 和 AC 的垂線 AD 上移動 則當 AP 時 ABC 和 APQ 全等 2 如圖 ABC 中 AB AC 12cm B C BC 8cm 點 D 為 AB 的中點 如 果點 P 在線段 BC 上以 2cm s 的速度由 B 點 向 C 點運動 同時 點 Q 在線段 CA 上由 C 點向 A 點運動 若點Q 的運動速度為 vcm s 則當 BPD 與 CQP 全等時 v 的值為 提示 三角形中有兩個角相 等 則這兩個角所對的邊相等 3 2016 達州中考 ABC 中 BAC 90 AB AC ABC ACB 45 點 D 為直線 BC 上一動點 點 D 不與 B C 重 合 以AD為邊在AD右側作正方形ADEF 連接 CF 方法 11 1 觀察猜想 如圖 當點 D 在線段 BC 上時 BC 與 CF 的位置關系為 線段 BC CD CF 之間的數量關系 為 將結論直接寫在橫線上 2 數學思考 如圖 當點 D 在線段 CB 的延長線上時 結論 是否仍然成 立 若成立 請給予證明 若不成立 請你 寫出正確結論再給予證明 類型二 圖形變換 4 如圖甲 已知 A E F C 在一條直 線上 AE CF 過 E F 分別作 DE AC BF AC 且 AB CD 連接 BD 1 試問 OE OF 嗎 請說明理由 2 若 DEC 沿 AC 方向平移到如圖乙 的位置 其余條件不變 上述結論是否仍成 立 請說明理由 5 如圖 在 Rt ABC 中 ACB 90 點 D F 分別在 AB AC 上 CF CB 連接 CD 將線段 CD 繞點 C 按順時針方向旋轉 90 后得 CE 連接 EF 1 求證 BCD FCE 2 若 EF CD 求 BDC 的度數 參考答案與解析 1 3 或 6 解析 ABC 和 APQ 全 等 AB PQ 有 ABC QPA 或 ABC PQA 當 ABC QPA 時 則有 AP BC 3 當 ABC PQA 時 則有 AP AC 6 當 AP 3 或 6 時 ABC 和 APQ 全等 故答案為 3 或 6 2 2 或 3 解析 當 BD PC 時 BPD 與 CQP 全等 點 D 為 AB 的中點 BD 1 2A AB 6cm PC 6cm BP 8 6 2 cm 點 P 在線段 BC 上以 2cm s 的速度 由 B 點向 C 點運動 運動時間為 1s DBP PCQ CQ BP 2cm v 2 1 2 cm s 當 BD CQ 時 BDP QCP PB PQ B CQP 又 B C C CQP PQ PC PB PC BD 6cm BC 8cm PB PC QC 6cm BP 4cm 運動時間為4 2 2 s v 6 2 3 cm s 故答案為 2 或 3 3 解 1 垂直 BC CD CF 2 CF BC 成立 BC CD CF 不成立 正確結論 CD CF BC 證明如下 正方形 ADEF 中 AD AF DAF BAC 90 BAD CAF 在 DAB 與 FAC 中 AD AF BAD CAF AB AC DAB FAC SAS ABD ACF DB CF ACB ABC 45 ABD 180 45 135 BCF ACF ACB ABD ACB 90 CF BC CD DB BC DB CF CD CF BC 4 解 1 OE OF 理由如下 DE AC BF AC DEC BFA 90 AE CF AE EF CF EF 即 AF CE 在 Rt ABF 和 Rt CDE 中 AB CD AF CE Rt ABF Rt CDE HL BF DE 在 BFO 和 DEO 中 BFO DEO BOF DOE BF DE BFO DEO AAS OE OF 2 結論依然成立 理由如下 AE CF AE EF CF EF AF CE 同 1 可得 BFO DEO FO EO 即結論依然 成立 5 1 證明 將線段 CD 繞點 C 按順 時針方向旋轉 90 后得 CE CD CE DCE 90 ACB 90 BCD 90 ACD FCE 在 BCD 和 FCE 中 CB CF BCD FCE CD CE BCD FCE SAS 2 解 由 1 可 知 DCE 90 BCD FCE BDC E EF CD E 180 DCE 90 BDC 90 易錯易混專題 等腰三角 形中易漏解或多解的問題 易錯歸納 各個擊破 類型一 求長度時忽略三邊關系 1 2016 賀州中考 一個等腰三角形的 兩邊長分別是 4 8 則它的周長為 A 12 B 16 C 20 D 16 或 20 2 學習了三角形的有關內容后 張老師 請同學們交流這樣一個問題 已知一個等 腰三角形的周長是 12 其中一條邊長為 3 求另兩條邊的長 同學們經過片刻思考和 交流后 小明同學舉手說 另兩條邊長為 3 6 或 4 5 4 5 你認為小明的回答是否正 確 理由是 3 已知等腰三角形中 一腰上的中線將 三角形的周長分成 6cm 和 10cm 兩部分 求 這個三角形的腰長和底邊的長 類型二 當腰或底不明求角度時沒有分 類討論 4 已知等腰三角形的一個內角為 40 則這個等腰三角形的頂角為 A 100 B 40 C 40 或 100 D 60 5 等腰三角形的一個外角等于 100 則與這個外角不相鄰的兩個內角的度數分 別為 A 40 40 B 80 20 C 80 80 D 50 50 或 80 20 6 已知一個等腰三角形兩內角的度數 之比為 1 4 則這個等腰三角形頂角的度數 為 類型三 三角形的形狀不明時沒有 分類討論 7 等腰三角形的一個角是 50 則它一 腰上的高與底邊的夾角是 A 25 B 40 C 25 或 40 D 不能確定 8 在 ABC 中 AB AC AB 的垂直 平分線與 AC 所在的直線相交所得到的銳角 為 50 則 B 等于 9 如果兩個等腰三角形的腰長相等 面 積也相等 那么我們把這兩個等腰三角形稱 為一對合同三角形 已知一對合同三角形的 底角分別為 x 和 y 則 用含 x 的 代數式表示 10 已知等腰三角形一腰上的高與另一 腰的夾角的度數為 20 求頂角的度數 類型四 一邊確定 另兩邊不確定 求等腰三角形個數時漏解 11 2016 武漢中考 平面直角坐標系 中 已知 A 2 2 B 4 0 若在坐標軸上 取點 C 使 ABC 為等腰三角形 則滿足條 件的點 C 的個數是 A 5 B 6 C 7 D 8 12 如圖 在 4 5 的點陣圖中 每兩 個橫向和縱向相鄰陣點的距離均為 1 該點 陣圖中已有兩個陣點分別標為 A B 請在 此點陣圖中找一個陣點 C 使得以點 A B C 為頂點的三角形是等腰三角形 則符合條 件的 C 點有 個 參考答案與解析參考答案與解析 1 C 2 不正確 沒考慮三角形三邊關系 3 解 設腰長為 xcm 腰長與腰長的 一半是 6cm 時 x 1 2x 6 解得 x 4 底 邊長 10 1 2 4 8 cm 4 4 8 4cm 4cm 8cm 不能組成三角形 腰長與腰長 的一半是 10cm 時 x 1 2x 10 解得 x 20 3 底邊長 6 1 2 20 3 8 3 cm 三角形的 三邊長為20 3 cm 20 3 cm 8 3 cm 能組成三角 形 綜上所述 三角形的腰長為20 3 cm 底邊 長為8 3cm 4 C 5 D 6 120 或 20 7 C 8 70 或 20 9 x 或 90 x 解析 兩個等腰三角 形的腰長相等 面積也相等 腰上的高相 等 當這兩個三角形都是銳角或鈍角三角 形時 y x 當兩個三角形一個是銳角三 角形 一個是鈍角三角形時 y 90 x 故答 案為 x 或 90 x 10 解 此題要分情況討論 當等腰三 角形的頂角是鈍角時 腰上的高在其外 部 如圖 所示 得頂角 ACB D DAC 90 20 110 當等腰三角形的 頂角是銳角時 腰上的高在其內部 如圖 所示 故頂角 A 90 ABD 90 20 70 綜上所述 頂角的度數為 110 或 70 11 A 12 5 解題技巧專題 等腰三角 形中輔助線的作法 形成精準思維模式 快速解題 類型一 利用 三線合一 作輔助線 一 已知等腰作垂線 或中線 角平分線 1 如圖 在 ABC 中 AB AC AE BE 于點 E 且 BE 1 2BC 若 EAB 20 則 BAC 2 如圖 在 ABC 中 AB AC D 為 BC邊的中點 過點D作DE AB DF AC 垂足分別為 E F 1 求證 DE DF 2 若 A 90 圖中與 DE 相等的有哪 些線段 不說明理由 3 如圖 ABC 中 AC 2AB AD 平分 BAC 交 BC 于 D E 是 AD 上一點 且 EA EC 求證 EB AB 二 構造等腰三角形 4 如圖 ABC 的面積為 1cm2 AP 垂 直 ABC 的平分線 BP 于 P 則 PBC 的面 積為 A 0 4cm2 B 0 5cm2 C 0 6cm2 D 0 7cm2 5 如圖 已知 ABC 是等腰直角三角 形 A 90 BD 平分 ABC 交 AC 于點 D CE BD 求證 BD 2CE 類型二 巧用等腰直角三角形構造 全等 6 2016 銅仁中考 如圖 在 ABC 中 AC BC C 90 D 是 AB 的中點 DE DF 點 E F 分別在 AC BC 上 求 證 DE DF 類型三 等腰 邊 三角形中截長補短 或作平行線構造全等 7 如圖 已知 AB AC A 108 BD 平分 ABC 交 AC 于 D 求證 BC AB CD 8 如圖 過等邊 ABC 的邊 AB 上一點 P 作 PE AC 于 E Q 為 BC 延長線上一 點 且 PA CQ 連 PQ 交 AC 邊于 D 1 求證 PD DQ 2 若 ABC 的邊長為 1 求 DE 的長 參考答案與解析 1 40 2 1 證明 如圖 連接 AD AB AC D 是 BC 的中點 EAD FAD 又 DE AB DF AC DE DF 2 解 若 BAC 90 圖中與 DE 相等 的有線段 DF AE AF BE CF 3 證明 如圖 作 EF AC 于 F EA EC AF FC 1 2AC AC 2AB AF AB AD 平分 BAC BAD CAD 又 AE AE ABE AFE SAS ABE AFE 90 EB AB 4 B 5 證明 如圖 延長 BA 和 CE 交于點 M CE BD BEC BEM 90 BD平分 ABC MBE CBE 又 BE BE BME BCE ASA EM EC 1 2MC ABC 是等腰直角三角形 BAC MAC 90 BA AC ABD BDA 90 BEC 90 ACM CDE 90 BDA EDC ABE ACM 又 AB AC ABD ACM ASA DB MC BD 2CE 6 證明 如圖 連接 CD AC BC D 是 AB 的中點 CD 平分 ACB CD AB CDB 90 ACB 90 BCD ACD 45 B 180 CDB BCD 45 ACD B BCD CD BD ED DF EDF EDC CDF 90 又 CDF BDF 90 EDC BDF ECD FBD ASA DE DF 7 證明 如圖 在線段 BC 上截取 BE BA 連接 DE BD 平分 ABC ABD EBD 又 BD BD ABD EBD SAS BED A 108 DEC 180 DEB 72 又 AB AC A 108 ACB ABC 1 2 180 108 36 CDE DEB ACB 180 36 72 CDE DEC CD CE BC BE EC AB CD 8 1 證明 如圖 過 P 作 PF BC 交 AC 于點 F AFP ACB FPD Q PFD QCD ABC 為等邊三角形 A ACB 60 AFP 60 APF 是等邊三角形 AP PF AP CQ PF CQ PFD QCD ASA PD DQ 2 解 APF 是等邊三角形 PE AC AE EF PFD QCD CD DF DE EF DF 1 2AC 又 AC 1 DE 1 2 模型構建專題 共頂點的等模型構建專題 共頂點的等 腰三角形腰三角形 明模型 悉結論 類型一 共直角頂點的等腰直角三角形 1 如圖 已知 ABC 和 DBE 均為等 腰直角三角形 1 求證 AD CE 2 猜想 AD和CE是否垂直 若垂直 請說明理由 若不垂直 則只要寫出結論 不用寫理由 類型二 共頂點的等邊三角形 2 如圖 等邊 ABC 中 D 是 AB 邊 上的動點 以CD為一邊 向上作等邊 EDC 連接 AE 1 DBC 和 EAC 會全等嗎 請說明 理由 2 試說明 AE BC 的理由 3 如圖 將 1 中動點 D 運動到邊 BA 的延長線上 所作仍為等邊三角形 請問是 否仍有 AE BC 證明你的猜想 參考答案與解析參考答案與解析 1 1 證明 ABC 和 DBE 均為等 腰直角三角形 AB BC BD BE ABC DBE 90 ABC DBC DBE DBC 即 ABD CBE ABD CBE SAS AD CE 2 解 垂直 理由如下 如圖 延長 AD 分別交BC和CE于G和 F ABD CBE BAD BCE BAD ABC BGA BCE AFC CGF 180 BGA CGF AFC ABC 90 AD CE 2 解 1 DBC 和 EAC 全等 理由 如下 ABC 和 EDC 為等邊三角形 BC AC DC EC ACB DCE 60 ACB ACD DCE ACD 即 BCD ACE DBC EAC SAS 2 DBC EAC EAC B 60 又 ACB 60 EAC ACB AE BC 3 仍有 AE BC 證明如下 ABC EDC 為等邊三角形 BC AC DC CE BCA DCE 60 BCA ACD DCE ACD 即 BCD ACE 在 DBC 和 EAC 中 BC AC BCD ACE CD CE DBC EAC SAS EAC B 60 又 ACB 60 EAC ACB AE BC 類比歸納專題 證明線段相 等的基本思路 理條件 定思路 幾何證明也容 易 類型一 已知 邊的關系 或 邊 角關系 用全等 1 如圖 已知 AB AE BC ED B E AF CD F 為垂足 求證 1 AC AD 2 CF DF 2 如圖 C 90 BC AC D E 分 別在 BC 和 AC 上 且 BD CE M 是 AB 的 中點 求證 MDE 是等腰三角形 類型二 已知角度關系或線與線之 間的位置關系用 等角對等邊 3 如圖 在 ABC 中 CE CF 分別平 分 ACB 和 ACB 的外角 ACG EF BC 交 AC 于點 D 求證 DE DF 4 2015 2016 孝南區期末 如圖 在 ABC 中 ACB 2 B BAC 的平分線 AD 交 BC 于 D 過 C 作 CN AD 交 AD 于 H 交 AB 于 N 1 求證 AN AC 2 試判斷 BN 與 CD 的數量關系 并說 明理由 類型三 已知角平分線 垂直或垂直 平分用相應的性質 5 如圖 ABC 中 CAB 的平分線 與 BC 的垂直平分線 DG 相交于 D 過點 D 作 DE AB DF AC 求證 BE CF 6 如圖 在 ABC 中 C 90 AD 是 BAC 的平分線 DE AB 于 E F 在 AC 上 BD DF 求證 1 CF EB 2 AB AF 2EB 參考答案與解析參考答案與解析 1 證明 1 在 ABC 和 AED 中 AB AE B E BC ED ABC AED AC AD 2 在 Rt ACF 和 Rt ADF 中 AC AD AF AF ACF ADF CF DF 2 證明 連接 CM 則 BM CM 且 CM MB B MCE 45 BM AM CM 在 MBD和 MCE中 BM CM B MCE BD CE MBD MCE DM EM MDE 是等腰三角形 3 證明 CE 是 ABC 的角平分線 ACE BCE CF 為 ABC 外 角 ACG的 平 分 線 ACF GCF EF BC GCF F BCE CEF ACE CEF F DCF CD ED CD DF DE DF 4 1 證明 CN AD AHN AHC 90 又 AD 平分 BAC NAH CAH 又 在 ANH 和 ACH 中 AHN NAH ANH 180 AHC CAH ACH 180 ANH ACH AN AC 2 解 BN CD 理由如下 連接 ND 在 AND 和 ACD 中 AN AC NAD CAD AD AD AND ACD SAS DN DC AND ACD 又 ACB 2 B AND 2 B 又 BND 中 AND B NDB B NDB NB ND BN CD 5 證明 連接 BD CD AD 是 FAE 的平分線 DE AB DF AC DE DF DG 是 BC 的垂直平分線 BD CD Rt CDF Rt BDE BE CF 6 證明 1 AD 是 BAC 的平分線 DE AB DC AC DE DC 又 BD DF Rt CFD Rt EBD HL CF EB 2 在 Rt ADC 和 Rt ADE 中 AD AD DC DE Rt ADC Rt ADE AC AE AB AE BE AC EB AF CF EB AF 2EB 解題技巧專題 乘法公式的解題技巧專題 乘法公式的 靈活運用靈活運用 計算技巧多 先觀察 再計算 事半功倍 類型一 利用乘法公式進行簡便運算 1 計算 102 98 的結果是 A 9995 B 9896 C 9996 D 9997 2 計算 20152 2014 2016 的結果是 A 2 B 1 C 0 D 1 3 計算 1 512 2 298 302 4 運用公式簡便計算 1 401 3 39 2 3 2 10002 2522 2482 5 閱讀下列材料 某同學在計算 3 4 1 42 1 時 把3 寫 成 4 1 后 發現可以連續運用平方差公式 計算 3 4 1 42 1 4 1 4 1 42 1 42 1 42 1 162 1 請借鑒該同學的 經驗 計算下面式子的值 1 1 2 1 1 22 1 1 24 1 1 28 1 215 類型二 利用乘法公式的變式求值 6 若 a b 1 2 且 a 2 b2 1 4 則 a b 的值為 A 1 2 B 1 2 C 1 D 2 7 若 a b 1 ab 2 則 a b 2的值 為 A 9 B 9 C 9 D 3 8 已知 x 1 x 5 那么 x 2 1 x2的值為 A 10 B 23 C 25 D 27 9 若 m n 1 則代數式 m2 n2 2n 的值為 1 10 2016 巴中中考 若 a b 3 ab 2 則 a b 2 11 閱讀 已知 a b 4 ab 3 求 a2 b2的值 解 a b 4 ab 3 a2 b2 a b 2 2ab 4 2 2 3 10 請你根據上述解題思路解答下面問題 1 已知 a b 3 ab 2 求 a b a2 b2 的值 2 已知 a c b 10 a b c 12 求 a b 2 c2的值 參考答案與解析 1 C 2 D 3 1 2601 2 89996 4 解 1 原式 40 1 3 40 1 3 402 1 3 2 15998 9 2 原式 10002 250 2 2 250 2 2 錯誤錯誤 錯誤錯誤 500 5 解 1 1 2 1 1 22 1 1 24 1 1 28 1 215 2 1 1 2 1 1 2 1 1 22 1 1 24 1 1 28 1 215 2 1 1 216 1 215 2 1 215 1 215 2 6 B 7 B 8 B 9 1 10 1 11 解 1 a b 3 ab 2 a b a2 b2 a b 2 a b a b 2 4ab a b 3 2 4 2 3 3 2 a c b 10 a b c 12 a b 2 c2 a b c 2 2 a b c 10 2 2 12 76 解題技巧專題 選擇合適的解題技巧專題 選擇合適的 方法因式分解方法因式分解 學會選擇最優方法 類型一 一步 提公因式或套公式 分 解因式 1 2016 寧德中考 下列分解因式正確 的是 A ma m m a 1 B a2 1 a 1 2 C a2 6a 9 a 3 2 D a2 3a 9 a 3 2 2 分解因式 1 3x3y3 x2y3 2x4y 2 2 x y 2 y x 3 類型二 兩步 先提后套或二次分解 分解因式 2 3 2016 梅州中考 分解因式 a2b b3 結果正確的是 A b a b a b B b a b 2 C b a2 b2 D b a b 2 4 分解因式 1 2a3 12a2 18a A 2 x2 1 2 4x2 類型三 特殊的因式分解法 分組分 解法 十字相乘法 配方法 5 閱讀下列材料并解答問題 將一個多項式適當分組后 可提公因式 或運用公式繼續分解的方法是分組分解 法 例如 am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n 1 試完成下面填空 x2 y2 2y 1 x2 y2 2y 1 2 試用上述方法分解因式 a2 2ab ac bc b2 6 閱讀與思考 將式子 x2 x 6 分解 因式 這個式子的常數項 6 2 3 一 次項系數 1 2 3 這個過程可用十字 相乘的形式形象地表示 先分解二次項系數 分別寫在十字交叉線的左上角和左下角 再 分解常數項 分別寫在十字交叉線的右上角 和右下角 然后交叉相乘 求代數和 使其 等于一次項系數 如圖所示 這種分解二次 三項式的方法叫 十字相乘法 請同學們認真觀察 分析理解后 解答 下列問題 1 分解因式 x2 7x 18 方法 22 2 填空 若 x2 px 8 可分解為兩個一 次因式的積 則整數 p 的所有可能值是 7 閱讀 分解因式 x2 2x 3 解 原式 x2 2x 1 1 3 x2 2x 1 4 x 1 2 4 x 1 2 x 1 2 x 3 x 1 上述因式分解的方法可以稱之為配方 法 請體會配方法的特點 然后用配方法分 解因式 1 x2 4x 3 2 4x2 12x 7 參考答案與解析參考答案與解析 1 C 2 解 1 原式 x2y 3xy2 y2 2x2 2 原式 x y 2 2 x y x y 2 2 x y 3 A 4 解 1 原式 2a a2 6a 9 2a a 3 2 2 原式 x2 1 2x x2 1 2x x 1 2 x 1 2 5 解 1 x2 y 1 2 x y 1 x y 1 2 原式 a2 2ab b2 ac bc a b 2 c a b a b a b c 6 解 1 原式 x 9 x 2 2 7 7 2 2 解析 若 x2 px 8 可分解為兩個一次因式的積 則整數 p 的 所有可能值分別是 8 1 7 1 8 7 2 4 2 4 2 2 7 解 1 原式 x2 4x 4 4 3 x2 4x 4 1 x 2 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 3 2 原式 4x2 12x 9 9 7 4x2 12x 9 16 2x 3 2 16 2x 3 4 2x 3 4 2x 7 2x 1 易錯專題 分式中常見的陷易錯專題 分式中常見的陷 阱阱 易錯全方位歸納 各個擊破 類型一 分式值為 0 時求值 忽略分母不 為 0 1 分式x 2 4 x 2 的值等于 0 時 x 的值為 A 2 B 2 C 2 D 2 2 要使 m2 9 m2 6m 9的值為 0 則 m 的值 為 A 3 B 3 C 3 D 不存在 3 若分式3 x x 3 的值為零 則 x 的值為 類型二 自主取值再求值時 忽略分 母或除式不能為 0 4 2016 安順中考 先化簡 再求值 1 1 x 1 x 2 x 1 從 1 2 3 中選擇一個 適當的數作為 x 值代入 5 2016 巴中中考 先化簡 x2 x x2 2x 1 2 x 1 1 x 然后再從 2 x 2 的范圍內 選取一個合適的 x 的整數值代入求值 類型三 無解時忽略分式方程化為 一次方程后未知數系數為 0 的情況 6 若關于 x 的分式方程2m x x 3 1 2 x無解 則 m 的值為 A 3 2A A A A A A A A A A A A B 1 C 3 2或 2 D 1 2或 3 2 7 已知關于 x 的分式方程 a x 1 2a x 1 x2 x 0 無解 求 a 的值 類型四 已知方程根的情況求參數 的取值范圍 應舍去公分母為 0 時參數的值 8 2016 齊齊哈爾中考 若關于 x 的分 式方程 x x 2 2 m 2 x的解為正數 則滿足 條件的正整數 m 的值為 A 1 2 3 B 1 2 C 1 3 D 2 3 9 已知關于 x 的分式方程a x x 1 1 的解 為負數