九年級數學 上冊 第一章證明 二 1 你能證明它們嗎 1 證明 一 回顧與思考 永和中學初三數學備課組 每個命題都由條件 condition 和結論 conclusion 兩部分組成 條件是已知事項 結論是由已事項推斷出的事項 一般地 命題可以寫成 如果 那么 的形式 其中 如果 引出的部分是條件 那么 引出的部分是結論 正確的命題稱為真命題 truestatement 不正確的的命題稱為假命題 falsestatement 要說明一個命題是假命題 通常可以舉出一個例子 使之具備命題的條件 而不具備命題的結論 這種例子稱為反例 counterexample 原名 知多少 定義 對名稱和術語的含義加以描述 作出明確的規定 也就是給出它們的定義 definition 命題 判斷一件事情的句子 叫做命題 statement 原名 某些數學名詞稱為原名 公理 公認的真命題稱為公理 axiom 證明 除了公理外 其它真命題的正確性都通過推理的方法證實 推理的過程稱為證明 定理 經過證明的真命題稱為定理 theorem 本套教材選用如下命題作為公理 1 兩直線被第三條直線所截 如果同位角相等 那么這兩條直線平行 2 兩條平行線被第三條直線所截 同位角相等 3 兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等 4 兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等 5 三邊對應相等的兩個三角形全等 6 全等三角形的對應邊相等 對應角相等 原名 知多少 平行線的判定 公理 同位角相等 兩直線平行 1 2 a b 判定定理1 內錯角相等 兩直線平行 1 2 a b 判定定理2 同旁內角互補 兩直線平行 1 2 1800 a b 這里的結論 以后可以直接運用 平行線的性質 公理 兩直線平行 同位角相等 a b 1 2 性質定理1 兩直線平行 內錯角相等 a b 1 2 性質定理2 兩直線平行 同旁內角互補 a b 1 2 1800 這里的結論 以后可以直接運用 三角形內角和定理 三角形內角和定理三角形三個內角的和等于1800 ABC中 A B C 1800 A B C 1800的幾種變形 A 1800 B C B 1800 A C C 1800 A B A B 1800 C B C 1800 A A C 1800 B 這里的結論 以后可以直接運用 關注三角形的外角 三角形內角和定理的推論 推論1 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 推論2 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角 推論3 直角三角形的兩銳角互余 ABC中 1 2 3 1 2 1 3 這個結論以后可以直接運用 學好幾何標志是會 證明 證明命題的一般步驟 與同伴交流你在探索思路的過程中的具體做法 1 理解題意 分清命題的條件 已知 結論 求證 2 根據題意 畫出圖形 3 結合圖形 用符號語言寫出 已知 和 求證 4 分析題意 探索證明思路 由 因 導 果 執 果 索 因 5 依據思路 運用數學符號和數學語言條理清晰地寫出證明過程 6 檢查表達過程是否正確 完善 例1已知 如圖6 13 在 ABC中 AD平分外角 EAC B C 求證 AD BC 證明 EAC B C 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 a b 內錯角相等 兩直線平行 B C 已知 DAC C 等量代換 AD平分 EAC 已知 C EAC 等式性質 DAC EAC 角平分線的定義 一題多解思維靈活 例1已知 如圖6 13 在 ABC中 AD平分外角 EAC B C 求證 AD BC B C 已知 B EAC 等式性質 AD平分 EAC 已知 DAE EAC 角平分線的定義 DAE B 等量代換 a b 同位角相等 兩直線平行 證明 EAC B C 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 一題多解思維靈活 例1已知 如圖6 13 在 ABC中 AD平分外角 EAC B C 求證 AD BC DAC C 已證 BAC B C 1800 三角形內角和定理 BAC B DAC 1800 等量代換 a b 同旁內角互補 兩直線平行 證明 由證法1可得 例2已知 如圖6 14 在 ABC中 1是它的一個外角 E為邊AC上一點 延長BC到D 連接DE 求證 1 2 證明 1是 ABC的一個外角 已知 1 3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角 3是 CDE的一個外角 外角定義 3 2 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角 1 2 不等式的性質 我能行 已知 如圖所示 在 ABC中 外角 DCA 100 A 45 求 B和 ACB的大小 解 DCA是 ABC的一個外角 已知 DCA 100 已知 B 100 45 55 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 又 DCA BCA 180 平角意義 ACB 80 等式的性質 A 45 已知 已知 國旗上的正五角星形如圖所示 求 A B C D E的度數 解 1是 BDF的一個外角 外角的意義 1 B D 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 2 C E 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 又 A 1 2 180 三角形內角和定理 又 2是 EHC的一個外角 外角的意義 A B C D E 180 等式性質 已知 如圖所示 求證 1 BDC A 2 BDC A B C 證明 1 BDC是 DCE的一個外角 外角意義 BDC CED 三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個外角 DEC A 三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個外角 BDC A 不等式的性質 DEC是 ABE的一個外角 外角意義 已知 如圖所示 求證 1 BDC A 2 BDC A B C 證明 2 BDC是 DCE的一個外角 外角意義 BDC C CED 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 DEC A B 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角的和 BDC A B C 等式的性質 DEC是 ABE的一個外角 外角意義 回味無窮 理解幾何命題證明的方法 步驟 格式及注意事項 三角形內角和定理三角形三個內角的和等于1800 ABC中 A B C 1800 推論1 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 推論2 三角形的一