第三章數列 數列求和 第講 4 第一課時 一 等差數列與等比數列的求和方法等差數列的前n項和公式是采用 推導的 等比數列的前n項和公式是采用推導的 倒序相加法 錯位相減法 二 常用求和公式 等差數列 三 錯位相減法這是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法 這種方法主要用于求數列 anbn 的前n項和 其中 an bn 分別是等差數列和等比數列 四 倒序相加法將一個數列倒過來排列 倒序 當它與原數列相加時 若有公因式可提 并且剩余的項的和易于求得 則這樣的數列可用倒序相加法求和 等差數列的求和公式就是用倒序相加法推導出來的 五 分組求和法有一類數列 既不是等差數列 也不是等比數列 若將這類數列適當拆開 可分為幾個等差 等比或常見的數列 即能分別求和 然后再合并 六 裂項法這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用 裂項法的實質是將數列中的項分解 然后重新組合 使之能消去一些項 最終達到求和的目的 七 常見的拆項公式有 1 2 3 4 5 n n n 1 n 1 若數列1 1 2 1 2 22 1 2 22 23 1 2 22 2n 1 的前n項和sn 1020 那么n的最小值是 a 7b 8c 9d 10 令an 1 2 22 2n 1 2n 1 則數列 an 的前n項和即為sn 故sn 2n 1 2 n 則2n 1 2 n 1020 解得n 10 d 2 二次函數y n n 1 x2 2n 1 x 1 當n依次取1 2 3 4 k 時 圖象在x軸上截得的線段的長度的總和為 a 1b 2c 3d 4 令y 0 則n n 1 x2 2n 1 x 1 0 得或則當n取k時 圖象在x軸上截得的線段的長度所以所求線段的長度的總和為 故選a 3 設sn 1 2 3 4 1 n 1 n 則s17 s33 s50 a 1b 0c 1d 2依題意 s17 1 2 3 4 17 9 s33 1 2 3 4 31 32 33 17 s50 1 2 3 4 49 50 25 則s17 s33 s50 1 故選c c 題型1 分組求和法 點評 點評 求數列的前n項和 首先要研究數列的通項公式的特點 再確定相應的求和方法 如本題中的 1 小題運用分組求和法 2 小題中 由于an的項是正負相間 故采用并項求和法 但解題中要注意分奇數 偶數討論 求數列1 a a2 a2 a3 a4 a3 a4 a5 a6 a 0 的前n項和sn 據題設條件分析可知 an an 1 an an 1 a2n 2 當a 1時 an n 所以當a 1時 當a 1時 當a 1時 題型2 錯位相減法求和 2 求值 分a 1和a 1兩種情況 當a 1時 當a 1時 將上式兩邊同乘以 得兩式相減 得 即綜上所述 得 點評 若和式的項是一個等差數列與一個等比數列的積的形式 就用錯位相減法求和 其步驟主要有 先在和式兩邊乘 或除 以等比數列的公比 然后兩式中有n 1項參與錯位相減 相減后這n 1項構成一個新的等比數列 然后可求得其和 如果是含參數的等比數列 注意按公比是否為1進行討論 已知等比數列 an 的前n項和為sn a 2n b 且a1 3 1 求a b的值及數列 an 的通項公式 2 設 數列 bn 的前n項和為tn 證明 tn 1 當n 2時 an sn sn 1 2n 1 a 而 an 為等比數列 得a1 21 1 a a 又a1 3 得a 3 從而an 3 2n 1 n n 又因為a1 2a b 3 所以b 3 2 證明 因為所以兩式相減得則 3 求下列各數列的前n項和sn 1 2 1 因為所以 題型3 裂項法求和 2 因為所以 點評 裂項法 一般適用于分式型求和 和式中的項的結構特點一般是 或 其中 an 是公差為d d 0 的等差數列 利用變形后 一些項相抵消 注意前后各有哪些項保留 1 從分析數列