第四節逆矩陣及伴隨矩陣 1逆矩陣 P110 定義2 9 一基本概念 1 互逆矩陣可換 是同階方陣 即 若成立 則也成立 2 逆矩陣唯一 3 零矩陣不可逆 單位矩陣與其自身互為逆陣 4 注 2奇異矩陣 P111 例2 P111 例3 例 1 河南財經學院信息學院廖揚 3伴隨矩陣 二逆矩陣存在定理 1 矩陣可逆的充要條件是 2 若A可逆 則 P114 例4 P115 例5 P117 例6 2 河南財經學院信息學院廖揚 三轉置矩陣 逆矩陣 伴隨矩陣的運算性質 例 3 河南財經學院信息學院廖揚 使得呢 使得 即 對于任意非零的數 如果存在另一個數 倒數 則說是的倒數 一 逆矩陣產生的背景 矩陣 運算中的1 矩陣 在矩陣的運算中 單位陣相當于數的乘法 那么 對于矩陣 是否存在另一個 4 河南財經學院信息學院廖揚 1 逆矩陣的概念 例如設 使得 則說矩陣是可逆的 并把矩陣稱為的一個 逆矩陣 記作 對于階矩陣 如果存在階矩陣 定義2 4 1 5 河南財經學院信息學院廖揚 6 河南財經學院信息學院廖揚 事實上 若設和都是的逆矩陣 則有 可得 所以的逆矩陣是唯一的 7 河南財經學院信息學院廖揚 2奇異矩陣與非奇異矩陣 設 是奇異矩陣 是非奇異矩陣 8 河南財經學院信息學院廖揚 定義2 設為階方陣 的行列式的元素的代數余子式所構成的矩陣的轉置矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣 即 記為 3伴隨矩陣 9 河南財經學院信息學院廖揚 解 P114 例4 求的伴隨矩陣 10 河南財經學院信息學院廖揚 逆矩陣的存在定理 證明 若可逆 矩陣可逆的充要條件是 且當A可逆時 11 河南財經學院信息學院廖揚 12 河南財經學院信息學院廖揚 按逆矩陣的定義得 牢記 記住了嗎 13 河南財經學院信息學院廖揚 若可逆 則 證明 14 河南財經學院信息學院廖揚 若可逆 則也可逆 且 證明 15 河南財經學院信息學院廖揚 若 是同階可逆陣 則也可逆 且 證明 特別有 反序定律 16 河南財經學院信息學院廖揚 證明 求證 回顧 17 河南財經學院信息學院廖揚 求證 證明 18 河南財經學院信息學院廖揚 求證 證明 19 河南財經學院信息學院廖揚 20 河南財經學院信息學院廖揚 若可逆 則也可逆 且 證明 求證 21 河南財經學院信息學院廖揚 求證 證明 22 河南財經學院信息學院廖揚 求證 證明 原命題得證 23 河南財經學院信息學院廖揚 P111 例2 證明矩陣 證明 的逆矩陣為 故 原命題得證 24 河南財經學院信息學院廖揚 P111 例3 求證A可逆 并求其逆矩陣 證明 故 A可逆 且 25 河南財經學院信息學院廖揚 例 可逆 并求它們的逆矩陣 由 證明 26 河南財經學院信息學院廖揚 由 還可以得到 但是 等式右端為0的這個結論對于本題沒有用處 我們希望等式右端應該為E或者kE 27 河南財經學院信息學院廖揚 解 P115 例5 28 河南財經學院信息學院廖揚 P117 例6 設A是非奇異矩陣 且AB AC 求證 B C 將AB AC兩端同乘以得 證明 由于A是非奇異矩陣 故存在 即 從而 同理 A可逆時 由AB O可得B O 即消去律成立 29 河南財經學院信息學院廖揚 例 設A的逆矩陣為 求 解 30 河南財經學院信息學院廖揚 31 河南財經