第二章測量誤差與不確定度基礎(chǔ)及測量數(shù)據(jù)處理 第一節(jié)測量誤差的基本概念 實(shí)際測量中 由于對(duì)客觀規(guī)律認(rèn)識(shí)的局限性 測量器具不準(zhǔn)確 測量手段不完善 測量條件發(fā)生變化及測量工作中的疏忽或錯(cuò)誤等原因 都會(huì)使測量結(jié)果與真值不同 一 測量誤差的定義測量誤差是指測量結(jié)果與被測量真值的差別 真值 一個(gè)量在被觀測時(shí)所具有的真實(shí)大小 測量誤差可用絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差表示 1 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差又叫做絕對(duì)真誤差 它可以表示為 x 絕對(duì)真誤差x 被測量的測量值x0 被測量的真值 2 相對(duì)誤差絕對(duì)真誤差不能確切反映測量的準(zhǔn)確程度 1 相對(duì)真誤差 相對(duì)誤差 相對(duì)真誤差指絕對(duì)誤差與被測量真值的比值 表示為 示值相對(duì)誤差 標(biāo)稱相對(duì)誤差 絕對(duì)誤差 x與測量值x的比值 絕對(duì)誤差較大時(shí)不適合用示值相對(duì)誤差表示 一些儀器的準(zhǔn)確程度 常用誤差的絕對(duì)形式和相對(duì)形式表示 例 某信號(hào)發(fā)生器輸出脈沖寬度誤差表示為 10 0 025us 2 分貝誤差 相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表示在電子學(xué)和聲學(xué)中常用分貝來表示相對(duì)誤差 稱為分貝誤差 分貝誤差與相對(duì)真誤差 例 測量某電路網(wǎng)絡(luò) 其電壓傳遞函數(shù)真值為A0 可以將A0用分貝表示為電壓傳遞函數(shù)測量值A(chǔ) 用分貝表示為A與A0之間相差 A 即 A dB 與A0 dB 之間相差 dB 即 dB 與 關(guān)系怎樣呢 例 某單級(jí)放大器電壓增益的真值A(chǔ)0為100 某次測得電壓增益A 95 求該測量的相對(duì)誤差和分貝誤差 例 某電壓放大器 ui 1 2mV 測得uo 6000mV 設(shè)ui的誤差不計(jì) uo的測量誤差 1 3 求該電壓放大器電壓增益的絕對(duì)誤差 A 相對(duì)誤差 及分貝誤差 dB 3 引用誤差引用誤差指測量值的絕對(duì)誤差與儀表量程的比值 用來表示儀表的準(zhǔn)確程度 常用的電工儀表分為七個(gè)級(jí)別 表示它們引用誤差不超過的百分比 例 檢定一個(gè)1 5級(jí)量程為100mA的電流表 發(fā)現(xiàn)在50mA處的誤差最大 為1 4mA 其他刻度處誤差均小于1 4mA 問此電流表是否合格 二 測量誤差的分類根據(jù)測量誤差的性質(zhì)和特點(diǎn) 測量誤差可分為系統(tǒng)誤差 隨機(jī)誤差和粗大誤差三類 一 系統(tǒng)誤差在相同條件下 對(duì)同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差稱為系統(tǒng)誤差 在重復(fù)條件下測量同一量時(shí) 系統(tǒng)誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定 修正值 用于修正系統(tǒng)誤差 由于系統(tǒng)誤差確切值的不可知 修正值對(duì)系統(tǒng)誤差的修正并不是完美的 但能夠使測量結(jié)果更接近于真值 二 隨機(jī)誤差在重復(fù)條件下 某次測量結(jié)果與對(duì)同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果平均值之差稱為這次測量的隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差是由對(duì)測量結(jié)果影響較小的 互不相關(guān)的因素引起的 某一次測量的隨機(jī)誤差不可預(yù)測 不能控制 但足夠多次測量中 隨機(jī)誤差總體上服從統(tǒng)計(jì)的規(guī)律 在多次測量中 隨機(jī)誤差的特性 有界性 隨機(jī)誤差的絕對(duì)值實(shí)際上不會(huì)超過一定的界限 對(duì)稱性 絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同 抵償性 隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)的無限增加而趨于零 三 粗大誤差超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差 粗大誤差使測量結(jié)果明顯偏離真值 對(duì)含有粗大誤差的測量值做剔除處理 三 測量誤差的估計(jì)和處理根據(jù)不同誤差的性質(zhì)和特點(diǎn) 對(duì)其處理的方法也不同 一 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理足夠多次測量中 隨機(jī)誤差體現(xiàn)了很強(qiáng)的規(guī)律性 對(duì)隨機(jī)誤差的研究采用概率 統(tǒng)計(jì)的方法 研究隨機(jī)誤差的分布形狀和主要數(shù)字特征 1 隨機(jī)誤差的概率分布密度電子測量中常用的概率分布密度的圖形 分布曲線 有 正態(tài)分布 矩形 均勻 分布 三角分布等 1 正態(tài)分布服從正態(tài)分布隨機(jī)誤差形成因素應(yīng)滿足中心極限定理的條件 即隨機(jī)誤差為多種互不相關(guān)的因素造成的許多微小誤差的總和 服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差概率密度表達(dá)式 該隨機(jī)誤差影響下的測量值概率密度表達(dá)式 2 矩形分布矩形分布又稱均勻分布 3 三角形分布2 隨機(jī)誤差影響下測量值的數(shù)學(xué)期望和方差隨機(jī)誤差的影響 使測量值在一定范圍內(nèi)上下波動(dòng) 測量值是一個(gè)隨機(jī)變量 測量值的取值可能是連續(xù)的 也可能是離散的 1 測量值為離散值時(shí)的數(shù)學(xué)期望和方差假設(shè)測量值X的可能取值個(gè)數(shù)為m 對(duì)其進(jìn)行n次測量 測量值X的數(shù)學(xué)期望表示為 當(dāng)n 時(shí) 可以用第k個(gè)取值發(fā)生的頻率nk n來代替第k個(gè)取值發(fā)生的概率pk k 1 m 則測量值X的數(shù)學(xué)期望表示為 以1 n取代nk n 上式可寫成 測量值的數(shù)學(xué)期望反映了測量值的平均情況 并不能體現(xiàn)測量值的離散程度 測量值的離散程度通常用測量值的方差D X 來表示 方差的物理意義標(biāo)準(zhǔn)偏差 標(biāo)準(zhǔn)差 均方差 方差的算術(shù)平方根 2 測量值為連續(xù)值時(shí)的數(shù)學(xué)期望和方差測量值在其取值區(qū)間內(nèi)連續(xù)的時(shí)候 取值有無窮多個(gè) 某一個(gè)取值出現(xiàn)的可能性 概率 趨于0 此時(shí)只能用概率密度的概念來對(duì)測量值進(jìn)行分析 概率密度表達(dá)式 測量值的數(shù)學(xué)期望為 測量值的方差為 3 用有限次測量值估計(jì)數(shù)學(xué)期望和方差總體的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差單次測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差實(shí)際測量是有限次測量 只能根據(jù)n次測量結(jié)果對(duì)測量值數(shù)學(xué)期望和方差進(jìn)行估計(jì) 隨機(jī)樣本 樣本 1 有限次測量值平均值的性質(zhì)有限次測量平均值的數(shù)學(xué)期望與測量值數(shù)學(xué)期望的關(guān)系有限次測量平均值的方差與測量值方差的關(guān)系 2 數(shù)學(xué)期望和方差的估計(jì)判斷估計(jì)合理的兩個(gè)原則 估計(jì)的一致性原則和無偏性原則A 一致性原則假設(shè)為的估計(jì)值 當(dāng)樣本容量n無限增大時(shí) 估計(jì)值依概率收斂于 則稱為的一致估計(jì)值 B 無偏性原則如果的數(shù)學(xué)期望等于 則可以作為的無偏估計(jì)值 數(shù)學(xué)期望的估計(jì) 用n次測量的平均值作為M X 的估計(jì)值 方差的估計(jì) 貝塞爾公式 殘差 剩余誤差 n次測量中第k次測量值與平均值之差 三 處理系統(tǒng)誤差的一般方法對(duì)系統(tǒng)誤差 沒有通用的處理方法 通常針對(duì)具體的測量條件采用一定的技術(shù)措施盡量減小系統(tǒng)誤差對(duì)測量結(jié)果的影響 1 系統(tǒng)誤差的判別系統(tǒng)誤差可分為恒值系差和變值系差 1 理論分析法 二 用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法剔除異常數(shù)據(jù) 2 剩余誤差觀察法測量中 固定其他測量條件不變 使某一條件有規(guī)律變化 記錄測量值 計(jì)算剩余誤差 觀察剩余誤差的變化規(guī)律 從而了解系統(tǒng)誤差隨該條件的變化規(guī)律 WHY 假設(shè)該測量中 系統(tǒng)誤差由變化部分和恒定部分組成 則測量值可以寫成 隨機(jī)誤差較大時(shí) 剩余誤差中隨機(jī)誤差起主導(dǎo)作用 觀察剩余誤差的變化規(guī)律就很難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律 3 公式判斷法 馬利科夫判據(jù)常用來判別累進(jìn)性系統(tǒng)誤差 阿卑 赫梅特判據(jù)常用來判別周期性系統(tǒng)誤差 通常M的絕對(duì)值不小于最大的殘差絕對(duì)值時(shí) 則認(rèn)為有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差 2 測量前盡量消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源3 消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù) 1 零示法 圖中檢流計(jì)G示數(shù)為0時(shí) 2 代替法 置換法 舉例 電橋中代替法測位置電阻 3 交換法 對(duì)照法 舉例 電橋測電阻時(shí)將被測電阻放在不同臂端測量并取平均值 4 微差法零示法要求標(biāo)準(zhǔn)量與被測量完全相等 若標(biāo)準(zhǔn)量不能連續(xù)可變 可用微差法進(jìn)行測量 設(shè)被測量為x 和它相近的標(biāo)準(zhǔn)量為B 被測量x與標(biāo)準(zhǔn)量B之間的微差為A A的數(shù)值可以由指示儀表測量 相對(duì)誤差為 A A 試分析x的相對(duì)誤差 微差法測未知電壓Vx 用電壓表V測量被測電壓Vx與標(biāo)準(zhǔn)電壓V之間的微差 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)電壓的相對(duì)誤差不大于萬分之五 電壓表的相對(duì)誤差不大于百分之一 相對(duì)微差為五十分之一 求被測電壓的相對(duì)誤差為多少 第二節(jié)測量不確定度及測量結(jié)果的表征一 測量不確定度及其分類評(píng)定測量不確定度實(shí)際上是指測量結(jié)果的可信程度 二 測量結(jié)果的置信問題及擴(kuò)展不確定度三 測量誤差和不確定度的合成1 測量誤差的合成 1 誤差傳遞公式誤差的合成是研究如何根據(jù)分項(xiàng)誤差求總誤差的問題 分項(xiàng)與總合之間是各種各樣的函數(shù)關(guān)系 常見函數(shù)的合成誤差 和差函數(shù) 積函數(shù) 商函數(shù) 冪函數(shù) 和差函數(shù) 積函數(shù) 商函數(shù) 冪函數(shù) 2 系統(tǒng)誤差的合成 3 隨機(jī)誤差的合成2 測量不確定度的合成四 測量結(jié)果報(bào)告五 測量結(jié)果的準(zhǔn)確度及相關(guān)術(shù)語的演變 例 測量電阻R消耗的功率P時(shí) 可間接測量電阻值R 電阻兩端的電壓U 通過電阻的電流I 然后通過不同的計(jì)算方案得到P 假設(shè)對(duì)R U I測量的相對(duì)誤差分別為 試分析哪一種計(jì)算方案的誤差最小 第三節(jié)加權(quán)平均與回歸分析一 非等權(quán)測量和加權(quán)平均測量結(jié)果的分散性主要取決于測量條件 即相同條件下的每組測量具有相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差 測量條件改變 測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差也會(huì)不同 一個(gè)特例 在測量條件不變時(shí) 對(duì)被測量進(jìn)行幾組測量并用幾組測量結(jié)果的平均值作為最終測量結(jié)果 但這幾組測量的測量次數(shù)不同 例如 在環(huán)境和條件不變的情況下 測量某電壓值 進(jìn)行了兩組測量 第一組測量100次 第二組測量10次 這110次測量具有相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差 但對(duì)于這兩組測量結(jié)果的平均值