用函數觀點看方程（組）與不等式教學過程知識點1 一次函數與一元一次方程由于任何一元一次方程都可以化為axb0（a、b為常數，a0）的形式，所以解一元一方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值，從圖像上，這相當于已知直線yaxb，確定它與x軸交點的橫坐標的值。【例1】利用函數圖像解出x（1）3x2x4；（2）5x37x1；分析：先將方程化為axb0的形式，再在坐標系中畫出函數yaxb的圖像，然后觀察出直線yaxb與x軸的交點坐標，從而取定所求x的值。圖1【解答】（1）由3x2x4得2x60由圖1看出直線y2x6與x軸的交點（3，0）所以x3（2）由5x37x1，得2x40由圖2看出直線y2x4與x軸的交點為（2，0）所以x2圖2【解后感悟】利用函數圖像解一元一次方程，一般需將方程變形為axb0的形式，然后通過觀察直線yaxb與x軸的交點坐標確定方程的解。【例2】如圖3將一個邊長為1的正方形紙片，剪成四個大小一樣的正方形，然后將其中的一個在按同樣的方法剪成四個正方形，如此循環下去，觀察下列圖形和所給表格中的數據后回答問題：操作的次數12345正方形個數47101316當所操作的次數為多少時，得到的正方形的個數為25個？圖3【解析】可設未知數列方程解答。【解答】解法1：設經過x次的操作后能得到的正方形的個數為25個，則依題意：3x125解得x8解法2：設經過x次操作后，能得到y個正方形，依題意得：y3x1令y25，則有3x125，即3x240.由圖4可看出直線y3x24與x軸的交點為（8，0），得x8.圖4【方法探究】雖然像這樣用一次函數圖像來解方程未必簡單，但是從函數的角度看問題能發現一次函數與一元一次方程的聯系，這種用函數的觀點認識問題的方法，對于繼續學習數學很重要。知識點2 一次函數與一元一次不等式由于任何一元一次不等式都可以轉化為axb0或axb0（a、b為常數，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大（小）于0時，求自變量相應的取值范圍。【例3】畫出函數y2x1的圖像，利用圖像求：（1）方程2x10的根；（2）不等式2x10的解集；（3）當y3時，求x的取值范圍；（4）當33時，求x的取值范圍；【分析】此題必須先畫出圖像，再根據圖像求解，通過解方程或不等式也能得到準確答案，但不符合題意要求，本題主要考察觀察函數圖像的能力。【解答】函數y2x1是一次函數，取兩點x0y10連結A（0，1）、B（，0）兩點，如圖5，直線AB就是函數y2x1的圖像。圖5（1）直線AB與x軸的交點是B（，0）從圖像可以看出當x時，y0即2x10.就是方程2x10的解。（2）從圖像上可以看到，射線BA在x軸的上方，它上面的點的縱坐標都不小于零，即y2x10.射線BA上點的橫坐標滿足x，不等式2x10的解集是.（3）過點（0，3）引平行于x軸的直線CC，交直線AB于C，C的坐標為（1，3），直線CC上點的縱坐標y均等于3，直線下方的點的縱坐標y均小于3，射線CD上點的橫坐標滿足x1.y時，x的取值范圍為x.（4）過（0，3）點作平行于x軸的直線，交直線AB于D（2，3）.從圖像中可見，線段DC上的點的縱坐標滿足，而橫坐標滿足。【解后感悟】本例（3）（4）也可以將y2x1代入中求相應的x的值與取值范圍，這個事實說明：當給定函數值的一個取值范圍，欲求相應的自變量的取值范圍時，實質就是解不等式。知識點3 一次函數與二元一次方程（組）一般地，每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線，從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這個函數值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標。【例4】利用函數圖像解方程組.【分析】由于二元一次方程的解可以看作是y關于x的一次函數圖像上的點的坐標，所以方程組的解為兩個一次函數圖像的交點坐標，從而可通過畫出兩個一次函數圖像，從圖像上觀察出交點坐標，得到方程組的解。【解答】由x2y3得；由2xy1得.在同一直角坐標系內作出一次函數的圖像和y2x1的圖像，如圖所示：觀察圖像的交點為P（1，1）.所以方程組的解是。【方法技巧】準確地將方程整理為函數解析式是基礎；用兩點確定直線的方法畫一次函數圖像，方程組的解直觀地體現在圖像上是關鍵。【同類變式一】如圖所示，直線在直角坐標系內的交點坐標為（0，2）。試問（0，2）的橫、縱坐標可看作是怎樣的方程組的解中x、y的值？【分析】用待定系數法求出直線的函數解析式，即可知道是怎樣的方程組。【解答】如圖所示經過點（0，2）和（2，0），經過點（0，2）和（3，0），從而由一次函數解析式的求解方法得的解析式為yx2，的解析式為所以（0，2）的橫、縱坐標可看作方程組的解中x、y的值。【同類變式二】設一次函數yx1與的交點為P，它們與x軸的交點分別為B、A.試求ABC的面積。【分析】由于方程組的解與一次函數交點的坐標只是形式上不同，本質上是一樣的，故可以由二元一次方程組的解來確定兩個一次函數交點坐標，再結合三角形的性質可求出ABC的面積。【解答】P點的坐標為方程組的解，解得如圖所示，一次函數與x軸交于A（4，0），直線yx1與x軸交于B（1，0）。所以AB4（1）5，過P點作PCAB于C，PC5.所以【例5】某中學的校長準備在暑假帶領該校的一些“市級三好學生”去北京旅游。甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學生可享受半價優惠”。乙旅行社說：“包括校長在內，全體人員均按全票的6折優惠”。若蘇州到北京的全票單價為1000元。（1）設學生人數x人，甲旅行社收費為元，乙旅行社收費為元，分別寫出兩家旅行社的收費表達式；（2）就學生人數x，討論哪家旅行社更優惠？【分析】先求出與的表達式，在分別令，三種情況討論甲、乙兩旅行社哪家