精品文檔等差數列【知識梳理】1等差數列的定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示2等差中項如果三個數a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項這三個數滿足的關系式是A.3等差數列的通項公式已知等差數列an的首項為a1，公差為d遞推公式通項公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)【常考題型】題型一、等差數列的判定與證明【例1】判斷下列數列是否為等差數列(1)在數列an中an3n2；(2)在數列an中ann2n.解(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)由n的任意性知，這個數列為等差數列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常數，所以這個數列不是等差數列【類題通法】定義法是判定(或證明)數列an是等差數列的基本方法，其步驟為：(1)作差an1an；(2)對差式進行變形；(3)當an1an是一個與n無關的常數時，數列an是等差數列；當an1an不是常數，是與n有關的代數式時，數列an不是等差數列【對點訓練】1已知等差數列an的首項為a1，公差為d，數列bn中，bn3an4，問：數列bn是否為等差數列？并說明理由解：數列bn是等差數列理由：數列an是首項為a1，公差為d的等差數列，an1and(nN*)bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d.根據等差數列的定義，數列bn是等差數列.題型二、等差數列的通項公式【例2】(1)在等差數列an中，已知a510，a1231，求通項公式an.(2)已知數列an為等差數列a3，a7，求a15的值解(1)a510，a1231，則an2(n1)33n5通項公式an3n5.(nN*)(2)法一：由得解得a1，d.a15a1(151)d14().法二：由a7a3(73)d，即4d，解得d.a15a3(153)d12().【類題通法】1應用等差數列的通項公式求a1和d，運用了方程的思想一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，從而確定通項公式2若已知等差數列中的任意兩項am，an，求通項公式或其他項時，則運用aman(mn)d則較為簡捷【對點訓練】2(1)求等差數列8,5,2，的第20項；(2)401是不是等差數列5，9，13，的項？如果是，是第幾項？解：(1)由a18，d583，n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得這個數列的通項公式為an54(n1)4n1，由題意知，4014n1.得n100，即401是這個數列的第100項題型三、等差中項【例3】已知等差數列an，滿足a2a3a418，a2a3a466.求數列an的通項公式解在等差數列an中， a2a3a418，3a318，a36.解得或當時，a116，d5.ana1(n1)d16(n1)(5)5n21.當時，a14，d5.ana1(n1)d4(n1)55n9.【類題通法】三數a，b，c成等差數列的條件是b(或2bac)，可用來進行等差數列的判定或有關等差中項的計算問題如若證an為等差數列，可證2an1anan2(nN*)【對點訓練】3(1)已知數列8，a,2，b，c是等差數列，則a，b，c的值分別為_，_，_.(2)已知數列an滿足an1an12an(n2)，且a25，a513，則a8_. 解析：(1)因為8，a,2，b，c是等差數列，所以(2)由an1an1 2an (n2)知，數列an是等差數列，a2，a5，a8成等差數列a2a82a5，a82a5a2213521.答案：(1)514(2)21【練習反饋】1已知等差數列an的首項a12，公差d3，則數列an的通項公式為()Aan3n1Ban2n1Can2n3 Dan3n2解析：選Aana1(n1)d2(n1)33n1.2等差數列的前3項依次是x1，x1,2x3，則其通項公式為()Aan2n5 B.an2n3Can2n1 Dan2n1解析：選Bx1，x1,2x3是等差數列的前3項，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3.3等差數列的第3項是7，第11項是1，則它的第7項是_解析：設首項為a1，公差為d，由a37，a111得，a12d7，a110d1，所以a19，d1，則a73.答案：34已知：1，x，y,10構成等差數列，則x，y的值分別為_解析：由已知，x是1和y的等差中項，即2x1y，y是x和10的等差中項，即2yx10 ，由，可解得x4，y